2021版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件与古典概型练习理北师大版2020041001108.doc

1、第4讲 随机事件与古典概型 基础题组练1若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4C0.6 D0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4，故选B.2(2019高考全国卷)西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读

2、过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5 B0.6C0.7 D0.8解析：选C.根据题意阅读过红楼梦西游记的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为0.7.3现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A. BC. D解析：选C.将5张奖票不放回地依次取出共有A120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3A

3、AA36种取法，所以P.故选C.4据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是()A. BC. D解析：选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S55a1m80，即a12m16，且a1，m均为正整数，若a12，则m7，此时a530，若a14，m6，此时a528，若a16，m5，此时a526，若a18，m4，此时a524，若a

4、110，m3，此时a522，若a112，m2，此时a520，若a114，m1，此时a518，所以“公”恰好分得30个橘子的概率为.故选B.5(2020陕西榆林模拟)大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为()A. BC. D解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有CA36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有CACA12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为，故选C.6(2019高考全国卷)我国高

5、铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_解析：经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.答案：0.987(2020四川绵阳诊断改编)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则P

6、1_，P2_解析：三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，231，312，321，共6种方案一坐3号车可能为：132，213，231，共3种，所以P1；方案二坐3号车可能为：312，321，共2种所以P2.答案：8已知|p|3，|q|3，当p，qZ，则方程x22pxq210有两个相异实数根的概率是_解析：由方程x22pxq210有两个相异实数根，可得(2p)24(q21)0，即p2q21.当p，qZ时，设点M(p，q)，如图，直线p3，2，1，0，1，2，3和直线q3，2，1，0，1，2，3的交点，即为点M，共有49个，其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点)当点M(p，q)落在圆p2

7、q21外时，方程x22pxq210有两个相异实数根，所以方程x22pxq210有两个相异实数根的概率P.答案：9某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金

8、额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.11 000100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为0.24，由频率估计概率得P(C)0.24.10在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，

9、每个岗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么P(EA)，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P(E)，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()1P(E).(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P11P2.综合题组练1已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己

10、身份证的概率为()A. BC. D解析：选A.甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数nA6，恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数mCCC3，所以恰有一人取到自己身份证的概率为p.故选A.2如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个223的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()A. BC. D解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有A5 040(种)因为不能连续向上，所以先把不向

11、上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列为A.接下来，就是把3次向上插到4次不向上之间的空隙中，5个位置排3个元素，也就是A，则最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有AA1 440(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P.故选B.3连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为幸运数字，则幸运数字为3的概率是_解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子3次，所含基本事件总数n666，要使a1a2a36，则a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三种情况，其所含的基本事件个数mAC110.故幸运数字为3的概率为P.

12、答案：4如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i1，2，3；j1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为_解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C84种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有CCC6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.答案：5某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查这1 000名购物者2017年网上购物金额(单位：万元)均在区间0.3，0.9内，样本分组为：0.3，0.4)，0.4，0.5)，0.5，0.6)，0.6，0.7)，0.7，0.8)，0.8，0.9，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券

13、，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组0.3，0.5)0.5，0.6)0.6，0.8)0.8，0.9发放金额50100150200(1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3x0.50.5x0.60.6x0.80.8x0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为(5040010030015028020020)96.(2)由获得优惠券

14、金额y与购物金额x的对应关系及(1)知，P(y150)P(0.6x0.8)0.28，P(y200)P(0.8x0.9)0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y150)P(y150)P(y200)0.280.020.3.6(2020延安一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)5015025035

15、0450天数6630126(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？解：(1)由题意，寄出方式有以下三种可能：情况第一个包裹第二个包裹礼物质量(kg)快递费(元)礼物质量(kg)快递费(元)甲支付的总快递费1A0.310B，C3.325352B1.815A，C1.815

16、303C1.515A，B2.12035所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为.(2)由题目中的天数得出频率，如下：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126频率0.10.10.50.20.1若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250350450频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53500.24500.1260故公司每日利润为260531001 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数(近似处理)50150250350450实际揽件数50150250300300频率0.10.10.50.20.1平均揽件数500.11500.12500.53000.23000.1235故公司每日利润为23552100975(元)综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利