河北省保定市第一中学2014-2015学年高二数学下学期第一次段考试题 理.doc

1、保定一中20142015学年第二学期第一次阶段考试高二理科数学试题答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1设复数，则的虚部为 （C ） A. B. C. D. 2设函数，则 (D)A为的极大值点 B为 的极小值点C为的极大值点 D为的极小值点3已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与 的夹角为(C)A30 B45 C60D904. 如图，函数与相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( B )A.1B. C. D.25用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(n

2、N*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为(B)A2k1 B2(2k1) C D6. 已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设，.若k与k2互相垂直，则实数k的值为（ C ）A B C 或 D或7. 下列积分值等于1的是（D）A B C D8(1t,1t，t)，(2，t，t)，则|的最小值是(C)A.B. C.D. 9. 给出下列四个命题： 是增函数，无极值.在上没有最大值由曲线所围成图形的面积是 函数存在与直线平行的切线，则实数取值范围是其中正确命题的个数为（A）A1 B2 C3 D410设点是曲线：（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围

3、是（ D ） A B C0， D0，)11设的三边长分别为的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则（ C ）A. B . C . D .12. 若函数对任意的都有恒成立，则（ C ）A B C D与的大小不确定二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则_ (用，表示)14. 下面是关于复数z的四个命题：p1：|z|2, p2：z22i， p3：z的共轭复数为1i, p4：z的虚部为1，其中真命题的个数为 .2 p2，p415.函数的单调递减区间是_. 16.

4、 已知函数，如果成立，则实数a的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数，当x1时，f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值； 解析(1)f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，即ax3cxdax3cxd，dd，d0(或由f(0)0得d0)f(x)ax3cx，f (x)3ax2c，又当x1时，f(x)取得极值2，即解得f(x)x33x.(2)f (x)3x233(x1)(x1)，令f (x)0，得x1，当1x1时，f (

5、x)0，函数f(x)单调递减；当x1时，f (x)0，函数f(x)单调递增；函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)；递减区间为(1,1)因此，f(x)在x1处取得极大值，且极大值为f(1)2.18. （本题满分12分）设数列的前n项和为，且满足. （1）求； （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明解析：（1）a=1, a=3, a=7, a=15（2）猜想 =2-1证明： n=1时成立 假设n=k时成立，即=2-1则n=k+1时，S=2,又S=2两式相减得：由假设及上式得：即：所以；n=k+1时也成立由知=2-1，nN时成立19. （本题满分12分）如图所示，平行六面体ABCDA1B

6、1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60. (1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.20（本小题满分10分）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点(1)求证：；(2)求证：平面解(1)证明设a，b，c，根据题意，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2

7、b20.，即CEAD.(2)证明：（ab），bc cba. c2b20. a 2b20. , 即 CEAD.， 又 故 平面21（本小题满分12分）已知函数f(x)x22(a1)x2alnx(a0)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)0在区间1，e上恒成立，求实数a的取值范围解析(1)a1，f(x)x24x2lnx，f (x)(x0)，f(1)3，f (1)0，所以切线方程为y3.(2)f (x)(x0)，令f (x)0得x1a，x21，当0a0，在x(a,1)时，f (x)1时，在x(0,1)或x(a，)时，f (x)0

8、，在x(1，a)时，f (x)0，f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，)，单调递减区间为(1，a)(3)由(2)可知，f(x)在区间1，e上只可能有极小值点，f(x)在区间1，e上的最大值必在区间端点取到，f(1)12(a1)0且f(e)e22(a1)e2a0，解得a.22（小题满分12分）已知函数在点处的切线的斜率为（）求实数的值；（）证明：函数的图象恒在直线的下方（点除外）；（）设点，当时，直线的斜率恒大于，试求实数的取值范围（）因为，又因为函数在点处的切线斜率为，所以，所以； （）因为，所以，所以的方程为：，令，则，又因为， 所以当时，；当时，所以函数在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值，所以，所以，即函数的图象恒在其切线的下方（切点除外）；（）因为，所以当时，即，. 令，所以在单调递增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以.