2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章 高考大题冲关系列（2） 三角函数的综合问题 WORD版含解析.doc

1、命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质题型1三角函数图象与性质的综合例1(2019揭阳模拟)已知函数f(x)4cosxsin(0)的最小正周期为. (1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)4cosxsin2sinxcosx2cos2x(sin2xcos2x)2sin

2、.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减冲关策略解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数yAsin(x)b(或yAcos(x)b等)的解析式，然后把x看成一个整体研究函数的性质变式训练1(2019浙江高考)设函数f(x)sinx，xR.(1)已知0,2)，函数f(x)是偶函数，求的值；(2)求函数y22的值域解(1)因为f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x)sin(x)，即sinxc

3、oscosxsinsinxcoscosxsin，故2sinxcos0，所以cos0.又因为0,2)，因此或.(2)y22sin2sin211cos.因此，所求函数的值域是.题型2解三角形与数列的综合问题例2(2020广东深圳外国语学校第一次热身)已知ABC中ACB，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若ABC的外接圆面积为，求ABC周长的最大值解(1)a，b，c依次成等差数列，且公差为2，bacb2，bc2，ac4，ACB，由余弦定理得cos，整理得c29c140，解得c7或c2，又ac40，则c4，c7.(2)设B，外接圆的半径为

4、R，则R2，解得R1，由正弦定理可得2R2，2，可得b2sin，a2sin，c，ABC的周长2sin2sin，2sin2sincos2cossinsincos2sin，又，当，即时，f()取得最大值2.冲关策略纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化变式训练2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2ccos2b.(1)求证

5、：a，b，c成等差数列；(2)若B，S4，求b.解(1)证明：由正弦定理，得sinAcos2sinCcos2sinB，即sinAsinCsinB，sinAsinCsinAcosCcosAsinC3sinB，即sinAsinCsin(AC)3sinB.sin(AC)sinB，sinAsinC2sinB，即ac2b，a，b，c成等差数列(2)SacsinBac4，ac16.又b2a2c22accosBa2c2ac(ac)23ac，由(1)得ac2b，b24b248，b216，即b4.题型3三角变换与解三角形的综合例3(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsi

6、nA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC0，可得cosC，因为C(0，)，所以C.(2)由(1)可得f(x)2sinmcos2x2sin2xcos2cos2xsinmcos2xsin2x(m1)cos2x，因为

7、函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x，所以f(0)f，得m1sin(m1)cos，即m2，所以f(x)sin2xcos2x2sin，又因为f2sin，所以sin，所以cos(2C)coscoscos2sin21.题型4三角函数与平面向量的综合例4(2019龙岩模拟)已知向量a(，1)，b(sin2x,2sin2x1)，xR.(1)若ab，且x0，求x的值；(2)记f(x)ab(xR)，若将函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)的图象当x时，求函数g(x)的值域解(1)因为ab，所以(2sin2x1)sin2x0，即sin2xcos2x.若cos2x0，则sin2x0，与s

8、in22xcos22x1矛盾，故cos2x0.所以tan2x，又x0，所以2x0,2，所以2x或2x，即x或x，即x的值为或.(2)因为f(x)ab(，1)(sin2x，cos2x)sin2xcos2x2sin，所以g(x)2sin2sin，当x时，2x，所以sin，所以2sin1,2，即当x时，函数g(x)的值域为1,2冲关策略(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等变式训练4已

9、知a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，函数f(x)ab.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值解(1)f(x)ab(sinx，cosx)(cosx，cosx)sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数yf(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1)与(x2，f(x2)关于x对称，则x1x2，cos(x1x2)coscoscossinf(x1).题型5解三角形与平面向量的综合例5(2019昆明模拟)已知角A，B，C是AB

10、C的内角，a，b，c分别是其所对边，向量m，n，mn.(1)求角A的大小；(2)若a2，cosB，求b的长解(1)已知mn，所以mnsinA(cosA1)0，即sinAcosA1，即sin.因为0A，所以A.所以A，所以A.(2)在ABC中，A，a2，cosB，sinB.由正弦定理知，所以b.冲关策略解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决变式训练5(2019成都模拟)锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ctanB是btanA和btanB的等差中项(1)求角A的大小；(2)若m(sinB，sinC)，n(cosB，cosC)，求mn的取值范围解(1)由题意知btanAbtanB2ctanB，sinBsinB2sinC，sinB0，sinAcosBcosAsinB2sinCcosA，sinC2sinCcosA，sinC0，cosA，又0A，A.(2)mnsinBcosBsinCcosCsin2Bsin2Csin2Bsinsin，B.mn，即mn的取值范围是.