2020-2021学年高一数学 第八章 立体几何初步 专题强化练七 空间角和距离（含解析）.docx

1、第八章 立体几何初步专题强化练7 空间角和距离一、选择题 1.一个正方体的平面展开图如图所示，在该正方体中，给出如下3个命题:AFCG；AG与MN是异面直线且夹角为60；BG与平面ABCD所成的角为45.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.如图所示，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，ACB=90，且PA=PB=AB=2，PC=3，则点C到平面PAB的距离等于()A.13B.63C.33D.233.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()A.t

2、|255t23B.t|255t2C.t|2t23D.t|2t224.(多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=23AB=2，ABAC，D，E分别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且ECB1C=DCBC.则下列说法正确的是()A.ED平面ACC1B.该三棱柱的外接球的表面积为68C.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为32D.二面角A-EC-D的余弦值为413二、填空题5.如图，已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等，点E满足CE=3EB，点P在棱AB上运动，设EP与平面BCD所成的角为，则sin 的最大值为.6.边长为2的等边ABC和直角ABC1所在半平面构成60的二

3、面角，当AC1B=90，C1AB=30时，线段CC1的长度为.三、解答题7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点.(1)证明:DE平面BCC1B1；(2)若AB=2，直线B1B与直线CD所成的角为45，求点B到平面B1CD的距离.8.如图，平面ABCD平面EBC，四边形ABCD为矩形，AB=1，EBC=3，且M、N分别为AB、CE的中点.(1)证明:MN平面AED；(2)若BC=BE=2，求二面角E-AD-B的大小.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2，(1)求证

4、:PD平面PBC；(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.10.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为a，E为AB的中点.(1)若a=1，证明B1E平面A1EC；(2)若a=2，求直线B1E与平面A1EC所成角的正弦值.答案全解全析一、选择题1.C将平面展开图还原成正方体，如图所示:对于，连接MB，易知MBCG，MBAF，AFCG，正确；对于，连接AC，易知MNAC，GAC是异面直线AG与MN所成的角，易知GAC为等边三角形，GAC=60，正确；对于，连接BD，易知GBD为BG与平面ABCD所成的角，GBD45，错误.故选C.2.C取AB的中点G，连接PG

5、、CG，作CHPG，垂足为H，如图所示，PA=PB=AB=2，PAB为等边三角形.G为AB的中点，PGAB，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，CGAB，又PGCG=G，AB平面PCG，又CH平面PCG，ABCH.又CHPG，PGAB=G，CH平面PAB，即CH就是点C到平面PAB的距离.在等边三角形PAB中，PG=322=62，在RtABC中，CG=112=22，在PCG中，由余弦定理的推论可得cosPGC=PG2+CG2-PC22PGCG=622+222-(3)226222=-33，sinPGC=1-cos 2PGC=1-332=63，在RtCHG中，CH=CGsin(-PGC)=226

6、3=33，点C到平面PAB的距离为33.故选C.3.D设平面AD1E与直线BC交于点G，则G为BC的中点，连接AG、EG，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，则A1MD1E，MNEG.A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，A1M平面D1AE，同理可得MN平面D1AE.A1M、MN是平面A1MN内的两条相交直线，平面A1MN平面D1AE.A1F平面D1AE，F是线段MN上的动点.连接B1F，设直线A1F与平面BCC1B1所成的角为，当点F与点M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此时所成角达到最小值，满足tan =A1B1B1M=2.当点F为

7、MN的中点时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，此时tan =A1B1B1F=A1B122B1M=22.t构成的集合为t|2t22.4.AD在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，因为ECB1C=DCBC，所以EDBB1CC1，因为ED平面ACC1，CC1平面ACC1，所以ED平面ACC1，A项正确；因为AA1=AC=23AB=2，所以AB=3，因为ABAC，所以BC=22+32=13，所以B1C=13+4=17，易知B1C是三棱柱外接球的直径，所以外接球的表面积为41722=17，故B错误；AA1BB1，所以BB1C为异面直线B1C与AA1所成的角.在RtB1BC

8、中，BB1=2，BC=13，所以tanBB1C=BCBB1=132，所以C错误；过A作AFBC于F，由直三棱柱的定义可知AFCC1，因为CC1BC=C，所以AF平面BCC1B1，过F作FGB1C于G，连接AG，则AGB1C，所以AGF是二面角A-EC-D的平面角.在RtBAC中，可得AF=613，CF=413，因为sinB1CB=217，所以FG=413217，所以AG=3613+641317，所以cosAGF=FGAG=4132173613+641317=413，所以D正确.故选AD.二、填空题5.答案223解析依题意可知，该几何体为正四面体，设顶点A在底面内的射影是O，则O为BCD的中心，

9、连接OB，过P作PHOB，交OB于H，连接HE，如图.易知PEH是直线EP与平面BCD所成的角，设为，设正四面体的棱长为4a，PB=x(0x4a)，在三角形PBE中，PBE=3，由余弦定理得PE=x2+a2-ax，在AOB中，AO=(4a)2-433a2=463a，PHAO=x4a，解得PH=63x，sin =PHPE=63xx2+a2-ax=63ax-122+34，当x=2a时，sin 取得最大值，最大值为223.6.答案102解析如图1，作C1DAB于D，C1O平面ABC于O，连接DO，AB平面ABC，C1OAB，又C1OC1D=C1，AB平面C1DO，又DO平面C1DO，ABDO，C1D

10、O为等边ABC和直角ABC1所在半平面构成的二面角，即C1DO=60，又AC1B=90，C1AB=30，C1B=ABsin 30=1，C1D=C1Bsin 60=32，C1O=C1Dsin 60=34，DO=C1Dcos 60=34，BD=C1Bcos 60=12，画出底面ABC如图2，分析可知:CO=ED2+(CE-OD)2=122+3342=314，CC1=C1O2+CO2=916+3116=102.图1图2三、解答题7.解析(1)证明:如图，取BC的中点G，连接EG、AG，则EGDA，且EG=DA，四边形ADEG为平行四边形，DEAG.B1B平面ABC，AG平面ABC，B1BAG，AB=

11、AC，且G为BC的中点，BCAG，又B1BBC=B，AG平面BCC1B1，又DEAG，DE平面BCC1B1.(2)B1BAD，ADC就是直线B1B与直线CD所成的角，ADC=45，AD=AC=2.设点B到平面B1CD的距离为d，由VB-B1CD=VC-B1BD，可得13d12226=1321242，解得d=433，故点B到平面B1CD的距离d=433.8.解析(1)证明:取DE的中点F，连接AF、FN，又N为BC的中点，FNCD，FN=12CD.矩形ABCD中，M为AB的中点，AMCD，AM=12CD，AMFN，AM=FN，四边形AMNF为平行四边形，AFMN.又AF平面AED，MN平面AED

12、，MN平面AED.(2)过点E作EHBC于H，平面ABCD平面EBC，平面ABCD平面EBC=BC，EH平面ABCD，过H作HGAD于G，连接EG.AD平面ABCD，EHAD，又EHHG=H，AD平面EHG，EG平面EHG，ADEG，EGH即为二面角E-AD-B的平面角.在RtEHB中，EH=EBsin 3=232=3，又HG=AB=1，tanEGH=EHHG=3，EGH=3，二面角E-AD-B的大小为3.9.解析(1)证明:AD平面PDC，PD平面PDC，ADPD，BCAD，PDBC，又PDPB，PBBC=B，PD平面PBC.(2)过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PB

13、C所成的角等于AB与平面PBC所成的角.PD平面PBC，PF为DF在平面PBC上的射影，DFP为直线DF与平面PBC所成的角.ADBC，DFAB，四边形DABF为平行四边形，BF=AD=1.CF=BC-BF=2.ADDC，BCDC.在RtDCF中，可得DF=CD2+CF2=25.在RtDPF中，可得sinDFP=PDDF=55，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.10.解析(1)证明:ABC是正三角形，E为AB的中点，CEAB.三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，平面ABB1A1平面ABC=AB，CE平面A1ABB1，CEB1E.四边形A1ABB1是矩形，且AA1=1，AB=2，A1E2+B1E2=AE2+AA12+EB2+BB12=4=A1B12，A1EB1E.CEB1E，A1EB1E，CEA1E=E，B1E平面A1EC.(2)如图所示，过点B1作B1H平面A1EC，垂足为H，连接B1C，EH，则B1EH为直线B1E与平面A1EC所成的角，在A1B1E中，A1B1=2，A1E=B1E=5，SA1B1E=2，在A1CE中，A1C=22，CE=3，A1E=5，SA1CE=152.VC-A1B1E=VB1-A1CE，13SA1B1ECE=13SA1CEB1H，1323=13152B1H，解得B1H=45，sinB1EH=B1HB1E=45.