2020年九年级数学上学期期末考点练习 二次函数和一元二次方程（含解析）.docx

1、二次函数和一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程之间的联系已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x 的值.就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.典例1如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A-1x5 Cx5 Dx1或x5【答案】D【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），图象与x轴的另一个交点坐标为（1，0）。由图象可知

2、：ax2+bx+c0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）=0抛物线与x轴相切；没有交点0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac0没有公共点没有实数根典例1已知二次函数y=x2x+m1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）Am5Bm2Cm5Dm2【答案】A【详解】二次函数y=x2x+m1的图象与x轴有交点，=(-1) 2-41( m-1)0，解得：m5，故选A典例2二次函数yx26x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A（1，0）B（4，0）C（5，0）D（6，0）【答案】B【详解】解：由二次函数

3、y=x2-6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，故选：C巩固训练一、单选题（共10小题）1函数y=ax2+2ax+m（a0）的图象过点（2，0），则使函数值y0成立的x的取值范围是（）Ax4或x2 B4x2 Cx0或x2 D0x2【答案】A【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），a0，抛物线开口向下，当x-4或x2时，y0故选A【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求

4、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质2二次函数yx26x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（）A（1，0）B（4，0）C（5，0）D（6，0）【答案】B【详解】解：由二次函数y=x2-6x+m得到对称轴是直线x=3，则抛物线与x轴的两个交点坐标关于直线x=3对称，其中一个交点的坐标为(1,0)，则另一个交点的坐标为(5,0)，故选：C【名师点睛】考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质3二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程a

5、x2+bx+m-1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为( )A0 B-1 C1 D2【答案】A【详解】一元二次方程ax2bxm10有两个不相等的实数根，可以理解为yax2bx和y1m有交点，可见1m2，m1，m的最小值为0，故答案选A.【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的基本性质，解此题的要点在于理解“ax2bxm10有实数根，可以理解为yax2bx和y1m有交点”这句话的意义.4已知m，n（mn）是关于x的方程（xa）（xb）=2的两根，若ab，则下列判断正确的是Aambn BmanbCamnd Dmabn【答案】D【详解】解：（x-a）（x-b）=2，m、n可看作抛物线y=（x

6、-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标，抛物线y=（x-a）（x-b）与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，mabn故选：D【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系；根据题意得出m、n可看作抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=2的两交点的横坐标是解决问题的关键5图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）Ay=-2x2 By=2x2 Cy= -12x2 Dy=12x2【答案】C【解析】抛物线顶点为（0,0），所以设抛物线方程为y=ax2(a

7、0);（2，-2）是图像上的点，所以-2=a22,a=-12;故选C6已知一元二次方程1（x3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1x2），则下列判断正确的是( )A2x1x23Bx123x2C2x13x2Dx12x23【答案】B【详解】设y=-（x3）（x+2），y1=1（x3）（x+2）y=0时，x=-2或x=3，y=-（x3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），1（x3）（x+2）=0，y1=1（x3）（x+2）的图像可看做y=-（x3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，-10，两个抛物线的开口向下，x123x2，故选B.【名师点睛】

8、本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.7如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴一个交点为(-2,0)，对称轴为直线x=1，则y4或x-2 B-2x4C-2x3D0x0，即（-4）2-4k0，k4，故答案为：k4.【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.12已知抛物线y=3x24x+c的顶点在x轴上方，则c应满足的条件_【答案】c43【详解】抛物线y=3x24x+c的开口向上，其顶点的纵坐标为：4ac-b24a=43c-4243=3c-43，由于抛物线的顶点在x轴上方，所以3c-430，解得：c4

9、3，故答案为：c43.【名师点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题中的抛物线开口向上，因此也可以通过根的判别式小于0来求解.13若函数y(a1)x24x2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_【答案】1或2或1【解析】函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)2a=0，解得：a1=-1，a2=2，当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.故答案为：-1或2或1.14二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为(1，0)，与y轴的交点为(0，3)，则方程ax

10、2+bx+c=0(a0)的解为_【答案】x1=1，x2=-3【详解】解：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点是（1，0），对称轴为直线x=-1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（-3，0），方程ax2+bx+c=0（a0）的解为：x1=1，x2=-3故答案为：x1=1，x2=-3【名师点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出抛物线与x轴的交点坐标是解题关键15如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线.若其与x轴一交点为A(3，0)则由图象可知，不等式的解集是_.【答案】1x3【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）图象与x轴的另一个

11、交点坐标为（-1，0）利用图象可知：ax2+bx+c0的解集即是y0的解集，-1x3三、解答题（共2小题）16已知二次函数y=2x-1x-m-3（m为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？【答案】（1）证明见解析；（2）m-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.【解析】分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标x1=1，x2=m+3,即可得出答案;(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.详解：（1）证明：当y=0时，2x-1x-m-3=0.解得x1=1，x2=m+3.当m+3=1

12、，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；当m+31，即m-2时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.（2）解：当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+60，即m-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.【名师点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.17二次函数y=ax2bxc(a0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题(1)写出方程ax2bxc0的两个根；(2)写出不等式ax2bxc0的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自

13、变量x的取值范围；(4)若方程ax2bxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围【答案】（1）x1或x3是方程ax2bxc0的两个根；（2）lx3；（3）当x2时，y随x的增大而减小；（4）k2【解析】1）图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；（2）不等式ax2+bx+c时，通过图中可以看出：当1x0，不等式ax2+bx+c0的解集为(1，3)；（3）图中可以看出对称轴为x=2，当x2时，y随x的增大而减小；（4）抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，解得：a=2，b=8，c=6，2x2+8x6=k,移项得2x2+8x6k=0，=644(2)(6k)0，整理得：168k0，k2时,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。