2021-2022学年高中数学 第二章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则课后篇巩固提升（含解析）北师大版选修2-2 (2).docx

1、第二章DIERZHANG变化率与导数4导数的四则运算法则课后篇巩固提升A组1.已知f(x)是函数f(x)的导数,f(x)=x2+2xf(1),则f(0)等于()A.2B.-2C.-4D.0解析f(x)=2x+2f(1),f(1)=2+2f(1).f(1)=-2.f(x)=2x+2(-2)=2x-4.f(0)=-4.答案C2.下列函数中,导函数是偶函数的是()A.y=sin xB.y=exC.y=ln xD.y=cos x-12解析由y=sinx得y=cosx为偶函数;当y=ex时,y=ex为非奇非偶函数,B错;y=lnx的定义域为x0,C错;D中y=cosx-12时,y=-sinx为奇函数,故

2、D错.答案A3.已知函数f(x)=x+sin x+1,其导函数记为f(x),则f(2 021)+f(2 021)+f(-2 021)-f(-2 021)=()A.2 021B.2C.1D.0解析因为f(x)=1+cosx,所以f(x)为偶函数,所以f(2021)-f(-2021)=f(2021)-f(2021)=0,所以原式等价于f(2021)+f(-2021)=2021+sin2021+1+(-2021-sin2021+1)=2.故选B.答案B4.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标为()A.(-1,4)B.(1,-4)C.(-1,-4)或(1,4)D.(-1,4)或(1,-4)解

3、析y=6x2-6,由y=0,得x=1,分别代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4,即所求点为(1,-4)或(-1,4).答案D5.曲线y=3x+sin x在(0,0)点处的切线方程为.解析对函数y=3x+sinx求导得y=3+cosx,则y|x=0=4,因此,曲线y=3x+sinx在(0,0)点处的切线方程为y=4x,即4x-y=0.答案4x-y=06.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)0的解集为.解析由f(x)=x2-2x-4lnx,得函数的定义域为(0,+),且f(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x=2(x+1)(x-2)x,由f(x)0,解得x2.故f(x)0的解集为

4、(2,+).答案(2,+)7.已知f(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f(1)3x+x2,则f(2)=.解析因为f(x)=f(1)3x+x2,所以f(x)=f(1)3xln3+2x,得f(1)=f(1)3ln3+2,则f(1)=21-3ln3,所以f(2)=21-3ln39ln3+4=6ln3+41-3ln3.答案6ln3+41-3ln38.若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a的取值范围是.解析曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,y=3x2-4ax+2a0恒成立.=16a2-24a0.0a32.答案0a329.求下列函数的导数:(1)y=xc

5、os x+x;(2)y=sin4x4+cos4x4;(3)y=lgxxn.解(1)y=(xcosx)+(x)=cosx-xsinx+12x-12.(2)y=sin4x4+cos4x4=sin2x4+cos2x42-2sin2x4cos2x4=1-12sin2x2=1-121-cosx2=34+14cosx,y=34+14cosx=-14sinx.(3)y=(lgx)xn-lgx(xn)(xn)2=xnxln10-lgxnxn-1x2n=xn-11ln10-nlgxx2n=1-nlgxln10xn+1ln10.10.曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在点(0,1)处的切线为l1:y=x+1,在

6、点(3,4)处的切线为l2:y=-2x+10,求曲线C的方程.解由已知得点(0,1)与点(3,4)均在曲线C上,d=1,27a+9b+3c+d=4.y=3ax2+2bx+c,由导数的几何意义得c=1,27a+6b+c=-2.解得d=1,c=1,a=-13,b=1.所以曲线C的方程为y=-13x3+x2+x+1.B组1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为()A.2B.-1C.1D.-2解析由条件可知,点A(1,3)在直线y=kx+1上,则k=2.点A在曲线y=x3+ax+b上,a+b+1=3,即a+b=2.由y=x3+ax+b,得y=3x2+a,3+a

7、=k=2.a=-1,b=3.2a+b=1.答案C2.(2021全国甲,理13)曲线y=2x-1x+2在点(-1,-3)处的切线方程为.解析由y=2x-1x+2,得y=5(x+2)2,则在点(-1,-3)处的切线的斜率为5,所以切线方程为y+3=5(x+1),即5x-y+2=0.答案5x-y+2=03.函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两互不相等的常数),则af(a)+bf(b)+cf(c)=.解析f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,f(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca.f(a)=(a-b)(a-c),同理f(b)=(b

8、-a)(b-c),f(c)=(c-a)(c-b).代入原式,得af(a)+bf(b)+cf(c)=0.答案04.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,求数列ann+1的前n项和的公式.解y=xn(1-x),y=nxn-1(1-x)-xn=nxn-1-(n+1)xn.当x=2时,y=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,f(2)=-2n.所求的切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0,则y=(n+1)2n.an=(n+1)2n,ann+1=2n.故数列ann+1的前n项和为2(1-2n)1-2=2n+1-2.5.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中xR,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,求a,b的值,并写出切线l的方程.解f(x)=3x2+4ax+b,g(x)=2x-3,由于曲线y=f(x)与y=g(x)在(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f(2)=g(2)=1.由此得8+8a+2b+a=0,12+8a+b=1,解得a=-2,b=5.所以切线l的方程为x-y-2=0.