2021-2022学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课后篇巩固提升作业（含解析）新人教A版必修2.docx

1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课后篇巩固提升基础巩固1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1AB=A.答案D2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析如图有两种情况.答案C3.下列命题中,正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;如果两条相交直线和另两条相交

2、直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个解析中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故错误;中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故正确;中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故正确;中,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故正确;故选C.答案C4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交

3、C.异面D.相交或异面解析画出图形,得到结论.如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.答案D5.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析E,F分别是SN和SP的中点,EFPN.同理可证HGPN,EFHG.答案A6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是;(3)直线D1

4、D与直线D1C的位置关系是;(4)直线AB与直线B1C的位置关系是.解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面7.若AOB=120,直线aOA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.解析根据等角定理及两条直线所成角的定义知,a与OB所成的角为60.答案608.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,

5、AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于.解析取A1B1中点M,连接MG,MH,则MGEF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知MGH为正三角形,MGH=60,EF与GH所成的角等于60.答案609.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,求证:(1)EF􀱀E1F1;(2)EA1F=E1CF1.证明(1)连接BD,B1D1,在ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF􀱀12BD,同理E1F1=12B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因

6、为AA1􀱀DD1,AA1􀱀BB1,所以B1B􀱀DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD􀱀B1D1,所以EF􀱀E1F1.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1􀱀B1C1,B1C1􀱀BC,所以MF1􀱀BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以BMCF1,因为A1M􀱀EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1EMB,所以A1EF1C,同理可证:A1FE1C,又EA1F与F1CE1两边的方向均相反,所以EA

7、1F=E1CF1.10.在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解取BD的中点G,连接EG,FG,E,F分别为BC,AD的中点,EG􀱀12CD,GF􀱀12AB.EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.AB=CD,EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30,EGF=30或150.GFE就是EF与AB所成的角,EF与AB所成角为75或15.能力提升1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是()A.正方形B.菱形C.矩形D.空间四边形解析设正

8、方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.答案B2.若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且方向相同B.OBO1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.答案D3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A.12对B.24对C.36对D.48对解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异

9、面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,异面直线共有122=24对.所以B选项是正确的.答案B4.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.解析取CD1的中点G,连接EG,DG.E是BD1的中点,EGBC,EG=12BC.F是AD的中点,且ADBC,AD=BC,DFBC,DF=12BC,EGDF,EG=DF,四边形EFDG是平行四边形,EFDG,DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,四边形ABB1A1,四

10、边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,DGCD1,D1GD=90,异面直线CD1,EF所成的角为90.答案905.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论中正确结论的序号为.解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,ABEF,EF与MN是异面直线,ABCM,MNCD,只有正确.答案6.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.解取AC的中点G,连接EG,FG,则EGAB,GFCD,且由AB=CD知EG=FG,

11、GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.AB与CD所成的角为60,EGF=60或120.由EG=FG知EFG为等腰三角形,当EGF=60时,GEF=60;当EGF=120时,GEF=30.故EF与AB所成的角为60或30.7.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?解AD与BC成60角,HGF=60或120.设AEAB=x,则EFBC=AEAB=x.又BC=a,EF=ax.由EHAD=BEAB=1-x,得EH=a(1-x).S四边形EFGH=EFEHsin60=axa(1-x)32=32a2(-x2+x)=32a2-x-122+14.当x=12时,Smax=38a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为38a2.