2021-2022学年高中数学人教A版选择性必修第一册测评：3-3-1　抛物线及其标准方程 WORD版含解析.docx

1、3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.抛物线y=1ax2的准线方程是y=1,则a的值是()A.14B.-14C.4D.-4解析抛物线y=1ax2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-a4,又抛物线准线方程为y=1,得1=-a4,解得a=-4.答案D2.已知抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x解析由抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,根据抛物线的定义可得p2=12,p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2

2、x.故选B.答案B3.(2020河北保定高二期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.8解析如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.过A作AAl,垂足为A,则|AF|=|AA|,即54x0=x0+p2=x0+14,x0=1.答案C4.点M是抛物线y2=2px(p0)上一点,点F为抛物线的焦点,FMx轴,且|OM|=5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2解析抛物线y2=2px的焦点为Fp2,0,点M为抛物线上的点,且FMx轴,Mp2,p.又|OM|=5,p22+p2=5

3、,解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.答案A5.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析抛物线的准线为l:x=-14,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M,过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,所以|MH|=32,故M到y轴的距离为32-14=54,故选C.答案C6.如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,

4、射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.25B.12C.15D.13解析易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),直线AF的斜率k=0-12-0=-12.如图,过点M作MGl于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.在RtMNG中,易知tanMNG=-k=12,|MG|NG|=12,即|NG|=2|MG|,|MN|=|MG|2+|NG|2=5|MG|,|FM|MN|=15.故选C.答案C7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(

5、2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案y2=8x(x0)或y=0(x0)的焦点重合,则实数p的值为.解析在双曲线C:x23-y2=1中,a2=3,b2=1,c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合,在抛物线y2=2px(p0)中,p2=c,即p=4.答案449.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-p2=-2,所以p=4,所以,所求抛

6、物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.关键能力提升练10.(2020浙江温州十校联合体高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线解析由题意知,直线C1D1平面BB1C1C,则C1D1PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.答案D11.(2020河北保定高三联考)如图,过抛物线y2=2

7、px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=3x解析如图,分别过A,B作AA1l于A1,BB1l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,|BC|=2|BF|,|BC|=2|BB1|,BCB1=30,AFx=60,连接A1F,则AA1F为等边三角形,过F作FF1AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,抛物线方程为y2=3x.答案C12.抛物线y2=2px(

8、p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=23.设线段AB的中点M在l上的射影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.3B.32C.33D.34解析设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影分别为Q,P,连接AQ,BP(图略).由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.在四边形ABPQ中,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos23=a2+b2+ab,配方得|AB|2=(a+b)2-ab.又aba+b22,(a+b)2-ab(a+b)2-a+b22=34(a+b)2,得到|AB|32(a+b),

9、|MN|AB|a+b232(a+b)=33,即|MN|AB|的最大值为33.答案C13.(多选题)对抛物线y=18x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,2)B.开口向右,准线方程为x=-132C.开口向右,焦点为132,0D.开口向上,准线方程为y=-2解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.答案AD14.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点.解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x+2=0,故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离,所以F在圆上.答案(2,0

10、)15.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是.解析设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|=|PM|2-12=(x-1)2+y2-1=x2+y2-2x=|x|,即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F12,0,准线方程为x=-12,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-12.过点A作准线的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=72,即有|PA|+|PB|的最小值为3.答案316.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,故p=85,得x2=-165y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能继续通航,设此时船面宽为|AA|,则A(2,yA)(yA0),由22=-165yA,得yA=-54.又知船露出水面的部分高为0.75m,所以h=|yA|+0.75=2(m).所以当水面上涨到与拱桥拱顶相距2m时,小船开始不能通航.