2021_2022学年新教材高中数学第2章函数测评含解析北师大版必修第一册20210604230.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列四个图象,表示的不是函数图象的是()解析:选项A,C,D均是函数图象,选项B中,当x取某些值时,y有两个值与之对应,不符合函数的定义,故它不是函数的图象.答案:B2.下列各组函数为同一个函数的是()A.f(x)=2,g(x)=2xxB.f(x)=x-2,g(x)=x2-4x+2C.f(x)=|x|,g(x)=x2D.f(x)=x+2x-2,g(x)=x2-4解析:函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为x|x0,定义域不同,故A不是

2、同一个函数;函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为x|x-2,定义域不同,故B不是同一个函数;因为g(x)=x2=|x|=f(x),故两函数是同一个函数;函数f(x)的定义域为x|x2,函数g(x)的定义域为x|x-2,或x2,定义域不同,故D不是同一个函数.答案:C3.已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=()A.2B.1C.0D.-2解析:f(x)为奇函数,f(-1)=-f(1)=-1+11=-2.答案:D4.如图是函数y=f(x)的图象,则f(f(2)的值为()A.3B.4C.5D.6解析:由题中图象可得,当0x3时,y=f(x)=2x,f(

3、2)=4.当3f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:因为f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又当x0时,f(x)单调递增,所以f(2)f(3)f(),从而f(-2)f(-3)f().答案:A6.函数y=-x2-3x+4x的定义域为()A.-4,1B.-4,0)C.(0,1D.-4,0)(0,1解析:要使函数有意义,需满足x0,-x2-3x+40,得-4x0或0f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)a,且f(x)是R上的减函数,f(a2+1)f(a).而

4、其他选项中,当a=0时,自变量均是0,应取等号.故选D.答案:D8.定义在R上的偶函数f(x)在区间-2,-1上单调递增,将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)在下列区间上一定单调递减的是()A.3,4B.1,2C.2,3D.-1,0解析:偶函数f(x)在区间-2,-1上单调递增,则在区间1,2上单调递减,f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后在区间3,4上单调递减,即g(x)在区间3,4上单调递减.答案:A9.定义在区间1+a,2上的偶函数f(x)=ax2+bx-2在区间1,2上()A.单调递增B.单调递减C.先单调递增后单调递减D.先单调递减后单

5、调递增解析:函数f(x)是偶函数,b=0.又定义域为1+a,2,则1+a=-2,得a=-3.f(x)=-3x2-2,其图象开口向下,对称轴为y轴,则在区间1,2上单调递减.答案:B10.已知函数f(x)=1-x+x+3的最大值为M,最小值为m,则mM的值为()A.22B.32C.12D.53解析:由题意,函数f(x)的定义域是-3,1,f(x)=1-x+x+3=4+2-x2-2x+3,由于-x2-2x+3在区间-3,1上的最大值是4,最小值是0,则M=22,m=2,故mM的值为22.答案:A11.若函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+)上单调递减,又f(3)=0,则f(x)+f(-x)x0的

6、解集为()A.(-3,3)B.(-,-3)(3,+)C.(-3,0)(3,+)D.(-,-3)(0,3)解析:函数y=f(x)为偶函数,f(x)+f(-x)x0转化为xf(x)0时,由(*)知f(x)0,即f(x)3,则x3;当x0,即f(x)f(3)=f(-3),又f(x)为偶函数,且在区间(0,+)上单调递减,f(x)在区间(-,0)上单调递增,x-3,则-3x0.综上可得,f(x)+f(-x)x0的解集是(-3,0)(3,+).答案:C12.定义区间(a,b),a,b),(a,b,a,b的长度均为d=b-a,用x表示不超过x的最大整数,例如3.2=3,-2.3=-3.记x=x-x,设f(

7、x)=xx,g(x)=x-1,若用d表示不等式f(x)g(x)的解集的区间长度,则当0x3时,d的值为()A.1B.2C.3D.4解析:f(x)=xx=x(x-x)=xx-x2,g(x)=x-1,f(x)g(x)xx-x2x-1即(x-1)x1,则x;当x1,2)时,x=1,(*)式可化为00,(*)式可化为xx+1,则x2,3);当x=3时,(*)式可化为2x8,得x4,x=3.f(x)g(x)在区间0,3上的解集为2,3,故d=1.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(2x+1)的定义域为.

8、解析:函数f(x)的定义域为(-1,1),-12x+11,得-1x0,则函数f(2x+1)的定义域为(-1,0).答案:(-1,0)14.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.解析:f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),即x2-|-x+a|=x2-|x+a|,|x-a|=|x+a|,平方,整理得ax=0,要使xR时恒成立,则a=0.答案:015.已知函数f(x)=x2-|x|,若f(-m2-1)f(2),则实数m的取值范围是.解析:因为f(x)=x2-|x|=|x|2-|x|=|x|-122-14,所以f(x)为偶函数,且在区间12,+上单调递增.所以f(-m2-1)f(2)

9、可转化为f(m2+1)f(2),又m2+11,所以m2+12,即m21,得-1m1.答案:-1m0时,f(x)=-x(1+x),求函数f(x)的解析式.解:(1)令x+2=t,则x=t-2,g(t)=f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1,把t换成x可得函数g(x)的解析式为g(x)=2x-1.(2)设x0.当x0时,f(x)=-x(1+x),f(-x)=-x(1-x).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=-f(-x)=-x(1-x),f(0)=0.综上可得,f(x)=-x(1+x),x0,-x(1-x),x0,x0).(1)求证:f(x)在区间(0,+)上是增函数;(2)若f(x)在

10、区间12,2上的值域是12,2,求实数a的值.(1)证明:设x1,x2是区间(0,+)上的任意两个实数,且x1x2.则f(x1)-f(x2)=1a-1x1-1a-1x2=1x2-1x1=x1-x2x1x2.0x1x2,x1-x20.x1-x2x1x20.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(0,+)上是增函数.(2)解:f(x)在区间12,2上的值域是12,2,又由(1)知,f(x)在区间12,2上单调递增,f12=12,f(2)=2,即1a-2=12,1a-12=2,解得a=25.19.(12分)已知幂函数y=f(x)=x-2m2-m+3,其中mx|-2x2,

11、xZ,满足:是区间(0,+)上的增函数;对任意的xR,都有f(-x)+f(x)=0.求同时满足条件,的幂函数f(x)的解析式,并求x0,3时f(x)的值域.解:x|-2x0,即2m2+m-30,得-32m0时,f(x)0成立,f(2)=-4.(1)求f(0),f(1),f(3)的值;(2)证明函数f(x)在R上是减函数;(3)解不等式f(x2)+f(2x)-6.(1)解:因为对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)成立,所以令m=n=0,得f(0)=f(0)+f(0),则f(0)=0.令m=n=1,得f(2)=f(1)+f(1)=-4,则f(1)=-2,令m=1,n=2,得f(3)

12、=f(1)+f(2)=-2-4=-6.(2)证明:设x1,x2是两个任意的实数,且x10,所以f(x2-x1)0,所以f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1),所以f(x)在R上是减函数.(3)解:因为对任意m,n有f(m+n)=f(m)+f(n),所以f(x2)+f(2x)-6,即f(x2+2x)-6,又由(1)知f(3)=-6,所以f(x2+2x)3,解得x1,或x-3.故不等式f(x2)+f(2x)1,或x-3.21.(12分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)=x2-2x.(1)当x0时,求函数f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.解:(1)设x0.又当x0时,f(x)=x2-2x,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.又f(x)是定义在R上的偶函数,f(-x)=f(x).当x0时,f(x)=x2+2x.(2)由(1)知,f(x)=x2-2x,x0,x2+2x,x0,且f(x)一定为奇函数,故当命题p为真命题时,有a0;若g(x)=mx2+2x-1在区间12,+上单调递减,必有m0,即m3k;命题q为假命题时,m-2,因为“命题p为真命题”是“命题q为假命题”的充分条件,但不是必要条件,所以3k-2,解得k-23,即实数k的取值范围是-23,+.