2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.4曲线与方程训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第二章平面解析几何2.4曲线与方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列方程中表示相同曲线的一对方程是()A.x=y与y=x2B.y=x与xy=1C.y=12lg x与y=lgxD.y=x与x2-y2=0答案C2.方程x2+y2=1(xy0)的曲线形状是()答案C解析方程x2+y2=1(xy0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.3.已知02,点P(cos ,sin )在曲线(x-2)2+y2=3上,则的值为()A.3B.53C.3或53D.3或6答案C解析由(cos-2)2+sin2=3,得cos=12.又00)的点M的轨迹方程为x+y=a(a0)答案ABD解析对于A,方程yx

2、-2=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线且去掉点(2,0),所以A错误;对于B,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以B错误;对于C,方程|x-3|+(y2-9)2=0表示(3,-3),(3,3)两个点,所以C正确;对于D,轨迹方程应为|x|+|y|=a(a0),所以D错误.11.在直角坐标平面内,点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足tanPABtanPBA=m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()A.x2-y2m=1(y0)B.x2-y2m=1C.x2+y2m=1(y0)D.x2+y2m=1答案C解析设P(x,y),由题意,得yx+1yx-1=-m(m0

3、),化简可得x2+y2m=1(y0).12.直线y=kx+1与y=2kx-3(k为常数,且k0)交点的轨迹方程是.答案y=5(x0)解析y=kx+1与y=2kx-3联立,消去k,得y=5.由y=kx+1=5,得kx=4.k0,x0.故所求的轨迹方程为y=5(x0).13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足APO=BPO,其中O为原点,则点P的轨迹方程是.答案(x-2)2+y2=4(y0)解析由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,设P(x,y),则(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,整理得(x-2)2+y2=4(y0).14.已知P为圆(x+2)2+y2=

4、1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.解设M(x,y),P(x1,y1).M为线段OP的中点,x=x12,y=y12,即x1=2x,y1=2y,即P(2x,2y).将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)2+y2=1,可得(2x+2)2+(2y)2=1,即(x+1)2+y2=14,此方程为点M的轨迹方程.点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,12为半径的圆.15.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;(2)记(1)中轨迹曲线为C,过点N(-2,3

5、)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程.解(1)由题意,得|MP|MQ|=5,即(x-26)2+(y-1)2(x-2)2+(y-1)2=5,化简,得x2+y2-2x-2y-23=0,所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25.轨迹曲线是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段长度为252-32=8,所以l:x=-2符合题意.当直线l的斜率存在时,设过点N(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.圆心(1,1)到l的距离d=|3k+2|k2+1.由题意,得|3k+2|k2+12+42=

6、52,解得k=512.所以直线l的方程为512x-y+236=0,即5x-12y+46=0.综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.学科素养拔高练16.在ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足GA+GB+GC=0,|MA|=|MB|=|MC|,GMAB,则顶点C的轨迹方程为.答案x24+y212=1(y0)解析设C(x,y)(y0),则由GA+GB+GC=0,即G为ABC的重心,得Gx3,y3.又|MA|=|MB|=|MC|,即M为ABC的外心,所以点M在y轴上,又GMAB,则有M0,y3.由|MC|=|MA|,得x2+y-y32=4+y29,化简

7、得x24+y212=1,y0.17.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数(0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.解如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P=M|MN|=|MQ|(0).因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.设点M的坐标为(x,y),则2(x-2)2+y2=x2+y2-1,整理,得(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0,当=1时,方程化为x=54,它表示一条直线;当1时,方程化为x-222-12+y2=1+32(2-1)2,它表示圆心为222-1,0,半径为1+32|2-1|的圆.