2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.1抛物线的标准方程训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选)对抛物线x2=4y,下列描述不正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1)B.开口向上,焦点为0,116C.开口向右,焦点为(1,0)D.开口向右,焦点为116,0答案BCD解析抛物线的标准方程为x2=4y,2p=4,p=2,解得p2=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.2.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是()A.2B.1C.14D.12答案C解析抛物线y=2x2化为x2=12y,焦点到准线的距离为14.3.平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到直

2、线l:x=-3的距离,则动点M满足的方程是()A.y2=6xB.y2=12xC.x2=6yD.x2=12y答案B解析由条件可知,点M到点F(3,0)的距离与到直线x=-3的距离相等,所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点,x=-3为准线的抛物线,其方程为y2=12x.4.已知双曲线8x2-8y2=-1有一个焦点在抛物线C:x2=2py(p0)的准线上,则p的值为()A.2B.1C.12D.14答案B解析双曲线标准方程是y218-x218=1,a2=b2=18,c2=a2+b2=14,所以c=12,焦点为0,12,所以p2=12,p=1.5.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上

3、一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.8答案C解析如图,F14,0,过A作AA准线l,|AF|=|AA|,54x0=x0+p2=x0+14,x0=1.6.如图所示,一隧道内设有双行线公路,其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全,要求行驶车辆顶部(假设车顶为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6 m,已知行车道总宽度|AB|=7 m,则车辆通过隧道的限制高度为()A.3.90 mB.3.95 mC.4.00 mD.4.05 m答案B解析设抛物线的方程为x2=ay,可知点(5,-5)在该抛物线上,则-5a=52,解得a=-5,所以,抛物线的方程

4、为x2=-5y,将x=3.5代入抛物线方程得-5y=3.52,解得y=-2.45,因此,车辆通过隧道的限制高度为7-2.45-0.6=3.95(m).7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.8.一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为米.答案42解析以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线

5、方程为x2=-2py(p0).由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以4=-2p(-2),解得p=1.所以抛物线的方程为x2=-2y.当水面下降2米,即当y=-4时,可得x2=-2(-4)=8,解得x=22,因此水面宽为42米.9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.解(1)双曲线方程可化为x29-y216=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且-p2=-3,p=6,抛物线的方程为y2=-12x.(2

6、)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2=2nx(n0),A(m,-3),由抛物线定义得5=|AF|=m+n2.又(-3)2=2nm,n=1或n=9,故所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.10.已知点P是抛物线x2=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是(8,7),求|PA|+|PQ|的最小值.解抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,如图,设点P在准线上的射影是点M,根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1|AF|-1=82+(7-1)2-1=10-1=9,当且仅当A,P,F三点共

7、线时,等号成立.故|PA|+|PQ|的最小值为9.关键能力提升练11.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是()A.2B.12C.32D.52答案C解析设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,x1+x22=32.12.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F.P,Q是抛物线上的两个点,若PQF是边长为2的正三角形,则p的值为()A.3-1B.31C.23D.2+3答案C解析根据题意可得Fp2,0,设Py122p,y1,Qy222p,y2(y1y2),由题意可得|PF|=|QF|,以及|PF|=x

8、P+p2=y122p+p2,|QF|=xQ+p2=y222p+p2,y122p+p2=y222p+p2,则y12=y22,又y1y2,y1=-y2.|PQ|=2=2|y1|,|y1|=1,|PF|=12p+p2=2,解得p=23.13.(多选)方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5表示的曲线不可能为()A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆答案BCD解析设P(x,y),由方程(x-2)2+(y-2)2=|3x-4y-6|5得,点P到点F(2,2)的距离等于点P到直线3x-4y-6=0的距离,又点F不在直线3x-4y-6=0上,由抛物线的定义得,曲线为抛物线.14.以下四个命题:平面内

9、与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是|a|4;直线l与抛物线y2=2px(p0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p;正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,则此正三角形的边长为43p.其中正确命题的序号是.答案解析当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线,故错;当a0时,整理抛物线方程得x2=1ay,p=12a.所以焦点坐标为0,14a,抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是14|a|,故错;当直线l不是过抛物线焦点的直线时

10、,直线l与抛物线y2=2px(p0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p不成立,故错;设正三角形另外两个顶点的坐标分别为m22p,m,m22p,-m,由tan30=33=mm22p,解得m=23p,故这个正三角形的边长为2m=43p,故正确.15.已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等.(1)求曲线C的方程;(2)若曲线C上有两个定点A,B分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,求原点O到直线AB的距离.解(1)曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,曲线C的轨迹是以F(1,0)为

11、焦点的抛物线,且p2=1,曲线C的方程为y2=4x.(2)由抛物线的定义结合|FA|=2可得,A到准线x=-1的距离为2,即A的横坐标为1,代入抛物线方程可得y=2,即A(1,2),同理可得B(4,-4),故直线AB的斜率k=2-(-4)1-4=-2,故AB的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0,由点到直线的距离公式可得,原点O到直线AB的距离为|-4|22+12=455.学科素养拔高练16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点M在AB上,且|AM|=13|AB|,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系xAy中,动点

12、P的轨迹方程是,此曲线的焦点为.答案x2=2y+80,-72解析作PNAD,NHA1D1,N,H为垂足,图略,则PN面A1D1DA,由线面垂直的判定可得出PHA1D1.以AD,AB,AA1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),由题意可得M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,x2+(y-1)2=y2+9,整理,得x2=2y+8,即x2=2(y+4),该曲线的焦点可以看作是由x2=2y的焦点向下平移4个单位长度得到的,即0,-72.17.已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)过点F作相互垂直的两条直线l

13、1,l2,曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2,试证明:1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.(1)解点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,设方程为y2=2px(p0),p2=1,p=2.轨迹C的方程为y2=4x.(2)证明由题意知,l1,l2的斜率均存在且不为0.设l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,设P1,P2的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=2k2+4k2,|P1P2|=x1+x2+p=4k2+4k2,以-1k代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,1|P1P2|+1|Q1Q2|=14.