2021届新高考数学（理）二轮复习专题能力训练19　排列、组合与二项式定理 WORD版含解析.docx

1、专题能力训练19排列、组合与二项式定理专题能力训练第44页一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案:B解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A55=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有A44=24种不同的排法.所以共有A55+4A44=216种不同的排法.2.已知x2+1xn的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.10答案:D解析:

2、令x=1,得2n=32,所以n=5,则C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为C52=10.3.(2019天津,理10改编)2x-18x38的展开式中的常数项为()A.8B.14C.21D.28答案:D解析:Tr+1=C8r(2x)8-r1-8x3r=C8r28-r-18rx8-4r.令8-4r=0,解得r=2.故常数项为C8226-182=C8226126=C82=28.4.若x6+1xxn的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:展开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6

3、n-152r,因为展开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,即n=54r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.(2020全国,理8)x+y2x(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20答案:C解析:因为(x+y)5的通项公式为C5rx5-ryr(r=0,1,2,3,4,5),所以当r=1时,y2xC51x4y=5x3y3,当r=3时,xC53x2y3=10x3y3,所以x3y3的系数为10+5=15.6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲

4、顺序的种数为()A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020答案:C解析:依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21C63A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22C62A22A32=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.若二项式(3-x)n(nN*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba+ab的最小值为()A.2B.52C.136D.92答案:

5、B解析:令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,ba+ab=2n+12n,令t=2n,t2,则ba+ab=2n+12n=t+1t2+12=52.故选B.8.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600答案:B解析:若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视

6、台记者2人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案:C解析:(1+x)6展开式的通项为Tr+1=C6rxr,(1+y)4展开式的通项为Th+1=C4hyh,(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6rC4hxryh,f(m,n)=C6mC4n.f(3,0)+f(2,1)+

7、f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.10.已知二项式x+12ax9的展开式中含x3的系数为-212,则e1x+ax的值为()A.e2+12B.e2+32C.e2-32D.e2-52答案:C解析:二项式x+12ax9的展开式的通项公式为Tr+1=C9rx9-r12axr=C9r12arx9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得C9312a3=-212,解得a=-1,e1x-1xdx=12x2-lnx|e1=e2-32.故选C.11.(2020全国,理14)x2+2x6的展开式中常数项是.(用数字作答)答案:240解

8、析:x2+2x6的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r2xr=C6rx12-3r2r,当且仅当12-3r=0,即r=4时,Tr+1为常数项,即T5=C6424=240.12.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案:4解析:二项展开式的通项Tr+1=Cnr(3x)r=3rCnrxr,令r=2,得32Cn2=54,解得n=4.13.(2020全国,理14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案:36解析:由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的安排方法共有C42A33=36(种).14.在

9、3x-2xn的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.答案:112解析:由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r-2xr=(-2)rC8rx83-43r,求常数项则令83-43r=0,所以r=2,所以T3=112.15.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法.(用数字作答)答案:240解析:甲、乙分得的门票连号,共有5A22=52=10种情况,其余四人每人分得1张门票,共有A44=24种情况,所以共有1024=240种.16.已知多项式

10、(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.答案:164解析:由二项式展开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=1322=4.17.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案:660解析:由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有:C84C41C31-C64C41C31=660种.1

11、8.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=4039=1560条毕业留言.二、思维提升训练19.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A.210B.84C.343D.336答案:D解析:7个台阶上每一个只站一人有A73种;若有一个台阶有2人,则共有C31A72种,共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种.20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1

12、展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案:B解析:由题意可知,a=C2mm,b=C2m+1m,13a=7b,13(2m)!m!m!=7(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1.解得m=6.故选B.21.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种答案:B解析:首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有C42A33种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数A33排除

13、,继而所求的安排方法有C42A33-A33=30种,故答案为B.22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+a11)等于()A.27B.28C.7D.8答案:C解析:令x=-1,得a0+a1+a2+a12=28,令x=-3,得a0-a1+a2-a3+a12=0,由-,得2(a1+a3+a11)=28,a1+a3+a11=27,log2(a1+a3+a11)=7.23.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017

14、的“完美四位数”的个数为()A.71B.66C.59D.53答案:A解析:根据题意,四位数字相加和为10的情况有0,1,3,6;0,1,4,5;0,1,2,7;0,2,3,5;1,2,3,4;共5种情况,当四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有26=12个“完美四位数”;当四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有26=12个“完美四位数”;当四个数字为0,1,2,7时,千位数字为7时,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,千位数字为2时,有2071,

15、2107,2170,2701,2710,共5种情况,此时有6+5=11个“完美四位数”;当四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有36=18个“完美四位数”,当四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为3或4或2,有3种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有36=18个“完美四位数”.则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”.24.1-90C101+902C102-903C103+(-1)k90kC10k+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87答案:B解析

16、:1-90C101+902C102+(-1)k90kC10k+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+C10988+1,前10项均能被88整除,余数是1.25.某人根据自己爱好,希望从W,X,Y,Z中选2个不同字母,从0,2,6,8中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个答案:A解析:不选2时,有A33A42=72种;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有A3

17、2C21C31=36种,当2在数字的第三位时,有A32A31=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26.已知(2+ax)(1+x)5的展开式中含x2项的系数为15,则展开式中所有项的系数和为.答案:32解析:(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5rxr,(2+ax)(1+x)5的展开式中含x2项的系数为2C52+aC51=15,即a=-1.设(2-x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=25=32.27.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字且为5的倍数的四

18、位数,把所组成的全部四位数从小到大排列起来,则3 125是第个数.答案:54解析:当千位数字为1时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C21A42=24个数;当千位数字为2时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C21A42=24个数;当千位数字为3时且比3125小的有5个(3015,3025,3045,3105,3120).综上,比3125小的数共有53个,所以3125是第54个数.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(

19、2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61C44+C62C43+C63C42+C64C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105-C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21C84种方法;二是选2名主任有C22C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21C84+C22C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105-C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有C84-C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84-C54=191.