2023届江苏省南通市高三考前练习卷 数学.pdf

1、 数学试卷 第1页（共4页）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知集合|ln0Axx，|22xBx，则 AB 2 已知函数2log0()sin0 x xf xx x，则()6ff 3 若3iizz，复数 z 与 z 在复平面内对应的点分别为 A，B，则 AB 4 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5 升，最大的 三只茶壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为 5 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质比 如，双曲线有如下性质：A

2、B，分别为双曲线2222:1(00)yxCabab，的左、右顶点，从C 上一点 P（异于 A B，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数若C 的 离心率为 2，则该常数为 6 在平行四边形 ABCD 中，42ABAD，1324AMAD ANAB，9CM CN，则 DM DN A(1)，B(0 1)，C1()2，D1(0)2，A2 B1 C 1 D2 A2 B 2 2 C3 D4 A 0.25 升 B 0.5 升 C1升 D1.5 升 A33 B3 C 13 D3 A 1 B1 C158 D3 数学试卷 第2页（共4页）7 正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，M

3、 是11A D 的中点，点 N 在棱1CC 上，12CNNC，则平面 AMN 与侧面11BB C C 的交线长为 8 已知2()ln(1)f xxx，若211(ln)()(tan)332afbfcf，则 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 某学校高三年级有男生 640 人，女生 360 人为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值 175，方差为 36，女生样本的平均值为 165，方差为 36，则

4、下列说法正确的是 A若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的平均值为 171.4 B若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的方差为 36 C若男、女的样本量都是 50，则总样本的平均值为 170 D若男、女的样本量都是 50，则总样本的方差为 61 10已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点(2 0)F，作斜率为3 的弦 AB，其中点 A 在第一象限，则 AAOFBOF B90AOB C163AB D3AFFB 11明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，一个半径 为 4 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 2 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度

5、为 2 m设 筒车上的某个盛水桶 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下记 d 为负数），若从 盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 A当筒车转动 5 秒时，盛水桶距离水面 4 m B盛水桶出水后至少经过 10 秒就可到达最高点 C盛水桶第二次距离水面 4m 时用时 15 秒 D盛水桶入水后至少需要 20 秒才可浮出水面 A3 B132 C 2 103 D 2 133 A abc Bbac Ccab Dbca d水面OP 数学试卷 第3页（共4页）12在边长为 2 的菱形 ABCD 中，3BAD，将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折成空间四边形 ABCD，使得2A BC设 E，F 分

6、别为棱 BC，AD 的中点，则 A3EF B直线 AC 与 EF 所成角的余弦值为33 C直线 A C与 EF 的距离为 12 D四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1342(32)xxx 的展开式中含3x 项的系数为 14已知圆221:()(1)1Cxay 与圆222:3Cxy交于 A B，两点，若直线 AB 的 倾斜角为 60，则 AB 15已知sincossin，sincossin2，0 2，则 cos 16已知函数()f x，()g x 的定义域均为 R，()f x 是偶函数，(1)1g x 是奇函数，且(2)()4g

7、xf x，(4)3f ，则(1)g ；20231()kg k 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 在线段 AC 上，2BDCDAD（1）若2ac，求b；（2）若3B，求角 A 18（12 分）已知数列 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且满足 13123aabbb，2424aabb将数列 na与 nb的公共项按照由小到大的顺序 排列，构成新数列 nc（1）证明：2nncb；（2）求数列nna c的前 n 项和nS 数学试卷 第4页（共4页

8、）19（12 分）某微型电子集成系统可安装 3 个或 5 个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独立若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作（1）若该系统安装了 3 个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了 5 个元件的系统与安装了 3 个元件的系统哪个更稳定 20（12 分）如图，在三棱台111ABCA B C中，112ACA C，四棱锥11ABCC B的体积为32 （1）求三棱锥111AA B C的体积；（2）若ABC是边长为 2 的正三角形，平面11A ACC 平面 ABC，平面11A ABB 平面 ABC，求二面角11AB CB的

9、正弦值 21（12 分）已知椭圆221:12xCy 的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C 的焦点到2C 的渐近线的距离为33 直线:l ykxt 与2C 相交于 A B，两点，3OA OB （1）求证：2281kt；（2）若直线l 与1C 相交于 P Q，两点，求 PQ 的取值范围 22（12 分）已知函数22()f xxaxa，1()2exg xax（1）若1a ，证明：曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有一条公切线；（2）当1x 时，()()2f xg xax，求 a 的取值范围 数学试卷及参考答案 第1页（共12页）一、选择题：本题共 8 小题，每

10、小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。1 已知集合|ln0Axx，|22xBx，则 AB 【答案】D 2 已知函数2log0()sin0 x xf xx x，则()6ff 【答案】C 3 若3iizz，复数 z 与 z 在复平面内对应的点分别为 A，B，则 AB 【答案】A 4 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5 升，最大的 三只茶壶容积之和为 2.5 升，则从小到大第 5 只茶壶的容积为【答案】B 5 古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质比 如，双曲线有如下性质：A B，分别为双曲

11、线2222:1(00)yxCabab，的左、右顶点，从C 上一点 P（异于 A B，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数若C 的 离心率为 2，则该常数为 A(1)，B(0 1)，C1()2，D1(0)2，A2 B1 C 1 D2 A2 B 2 2 C3 D4 A 0.25 升 B 0.5 升 C1升 D1.5 升 数学试卷及参考答案 第2页（共12页）【答案】D 6 在平行四边形 ABCD 中，42ABAD，1324AMAD ANAB，9CM CN，则 DM DN 【答案】B 7 正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，13AA，M 是11A D 的中点，点 N 在棱1

12、CC 上，12CNNC，则平面 AMN 与侧面11BB C C 的交线长为【答案】C 8 已知2()ln(1)f xxx，若211(ln)()(tan)332afbfcf，则【答案】B 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9 某学校高三年级有男生 640 人，女生 360 人为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值 175，方差为 36，女生样本的平均值为 165，方差为 36，则下列说法正确的是

13、A若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的平均值为 171.4 B若男、女样本量分别为 64，36，则总样本的方差为 36 C若男、女的样本量都是 50，则总样本的平均值为 170 D若男、女的样本量都是 50，则总样本的方差为 61【答案】ACD A33 B3 C 13 D3 A 1 B1 C158 D3 A3 B132 C 2 103 D 2 133 A abc Bbac Ccab Dbca 数学试卷及参考答案 第3页（共12页）10已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p的焦点(2 0)F，作斜率为3 的弦 AB，其中点 A 在第一象限，则 AAOFBOF B90AO

14、B C163AB D3AFFB【答案】BD 11明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图，一个半径 为 4 m 的筒车按逆时针方向每分钟转 2 圈，筒车的轴心 O 距离水面的高度为 2 m设 筒车上的某个盛水桶 P 到水面的距离为 d（单位：m）（在水面下记 d 为负数），若从 盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间，则 A当筒车转动 5 秒时，盛水桶距离水面 4 m B盛水桶出水后至少经过 10 秒就可到达最高点 C盛水桶第二次距离水面 4m 时用时 15 秒 D盛水桶入水后至少需要 20 秒才可浮出水面 【答案】ABC 12在边长为 2 的菱形 ABCD 中，3BAD，将菱

15、形 ABCD 沿对角线 BD 折成空间四边形 ABCD，使得2A BC设 E，F 分别为棱 BC，AD 的中点，则 A3EF B直线 AC 与 EF 所成角的余弦值为33 C直线 A C与 EF 的距离为 12 D四面体 ABCD 的外接球的表面积为 4【答案】AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1342(32)xxx 的展开式中含3x 项的系数为 【答案】3 14已知圆221:()(1)1Cxay 与圆222:3Cxy交于 A B，两点，若直线 AB 的 倾斜角为 60，则 AB d水面OP 数学试卷及参考答案 第4页（共12页）【答案】3 15已知sincos

16、sin，sincossin2，0 2，则 cos 【答案】4 1717 16已知函数()f x，()g x 的定义域均为 R，()f x 是偶函数，(1)1g x 是奇函数，且(2)()4g xf x，(4)3f ，则(1)g ；20231()kg k 【答案】1；2021 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 在线段 AC 上，2BDCDAD（1）若2ac，求b；（2）若3B，求角 A【解】（1）因为2BDCDAD，ADCDb，所以2133BDCDb ADb，在ABD中

17、，由余弦定理，得 22222542coscos99ABADBDAD BDADBbbADB，在BCD中，由余弦定理，得 22222882coscos99BCCDBDCD BDBDCbbADC 2 分 因为ADBBDC，所以 coscos0ADBBDC，由 2+，得22222ABBCb，即22222acb 又因为2ac，所以6b 5 分（2）设CBD，则3ABD，因为 BDCD，所以2ADB，所以23BAD 在ABD中，由正弦定理，得 sinsinADBDABDBAD，数学试卷及参考答案 第5页（共12页）即122sinsin33，所以2sin2sin33，7 分 即22sincoscossin2

18、 sincoscossin3333，即31cos+sin3cossin22，所以3tan3 因为03，所以6，所以232A 10 分 18（12 分）已知数列 na是公差为 3 的等差数列，数列 nb是公比为 2 的等比数列，且满足 13123aabbb，2424aabb将数列 na与 nb的公共项按照由小到大的顺序 排列，构成新数列 nc（1）证明：2nncb；（2）求数列nna c的前 n 项和nS 【解】（1）由13123aabbb，得11267ab，由2424aabb，得1121210ab，解得，14a，12b 因为数列 na的公差为 3，数列 nb的公比为 2，所以31nan，2nn

19、b 2 分 12b 不是数列 na的项，24b 是数列 na的第 1 项 设231kkbm，则 112222(31)3 22kkkbmm ，所以1kb 不是数列 na的项 4 分 数学试卷及参考答案 第6页（共12页）因为222424(31)3(21)1kkkbmm ，所以2kb 是数列 na的项 所以2nncb 6 分（2）由（1）可知，24nnncb，(31)4nnna cn 234 474104(31)4nnSn，234144 474104(31)4nnSn，8 分 所以23413163 4444(31)4nnnSn 234143 44444(31)4nnn 14(14)43(31)41

20、4nnn 1114(31)43 4nnnnn，所以14nnSn 12 分 19（12 分）某微型电子集成系统可安装 3 个或 5 个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独立若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作（1）若该系统安装了 3 个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了 5 个元件的系统与安装了 3 个元件的系统哪个更稳定【解】（1）设安装 3 个元件的系统稳定工作的概率为 P，则 3 个元件中至少 2 个元件正常工作 又因为各元件是否正常工作相互独立，所以 2322333321220(1)333327PC ppC p 答：安装

21、3 个元件的系统稳定工作的概率为 2027 4 分（2）由（1）知，安装 3 个元件的系统稳定工作的概率 22333233(1)23PC ppC ppp 6 分 数学试卷及参考答案 第7页（共12页）设安装 5 个元件的系统稳定工作的概率为 P，则 3324455543555(1)(1)61510PC ppC ppC pppp 8 分 所以5433261510(23)PPppppp 223(1)(21)ppp 10 分 当12p 时，0PP，PP，两个系统工作的稳定性相同；当102p时，0PP，PP，3 个元件的系统比 5 个元件的系统更稳定；当 112p 时，0PP，PP，5 个元件的系统比

22、 3 个元件的系统更稳定 12 分 20（12 分）如图，在三棱台111ABCA B C中，112ACA C，四棱锥11ABCC B的体积为32 （1）求三棱锥111AA B C的体积；（2）若ABC是边长为 2 的正三角形，平面11A ACC 平面 ABC，平面11A ABB 平面 ABC，求二面角11AB CB的正弦值 【解】（1）连结 BC1 因为三棱台1 11ABCA B C中，1 11ABCA B C，112ACAC，所以112BCB C，所以1112BCCBB CSS，所以11 12A BCCA BB CVV 因为三棱台1 11ABCA B C中，1 11ABCA B C，112A

23、CAC，所以1 1 14ABCA B CSS，所以11 1 14CABCA A B CVV 又因为11CABCA BCCVV，数学试卷及参考答案 第8页（共12页）所以1 1 11 11:1:2:4A A B CA BB CA BCCVVV 2 分 又因为1 11 11A BCC BA BB CA BCCVVV，所以1 1 11 1331166212A A B CA BCC BVV 4 分（2）取 AB 中点 D，AC 中点 E，连结 CD、BE，交于点 F，因为ABC 是正三角形，E 是 AC 中点，所以 BE AC 又因为平面 A1ACC1 平面 ABC，平面 A1ACC1 平面 ABC=

24、AC，BE 平面 ABC，所以 BE 平面 A1ACC1 又因为 A1A 平面 A1ACC1，所以 BE A1A 同理，CD A1A 又因为 CD BE=F，CD，BE 平面 ABC，所以 A1A 平面 ABC 6 分 在平面 ABC 内，过点 A 作 AH AC，以 A 为原点，AH 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 因为 AC=2A1C1，AC=2，所以 A1C1=1，1 1 134A B CS.由（1）可知1 1 1312A A B CV，故11A A 所以(0 0 0)(3 1 0)(0 2 0)ABC，1131(1)(0 1 1

25、)22BC，131(1)22AB，1(0 1 1)AC，(31 0)CB，1(01 1)CC，8 分 设平面11ABC 的一个法向量为111()xyz，m，由1100ABAC，mm得11111310220 xyzyz，不妨取3(11)3，m 设平面11BB C 的一个法向量为222()xyz，n，数学试卷及参考答案 第9页（共12页）由100CBCC，nn得2222300 xyyz，不妨取3(1 1)3，n 10 分 设二面角11AB CB的平面角为，0 ，则113cos77733m nmn 因为22sincos1，且sin0 1，所以4 3sin7，即二面角11AB CB的正弦值为 4 37

26、 12 分 21（12 分）已知椭圆221:12xCy 的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C 的焦点到2C 的渐近线的距离为33 直线:l ykxt 与2C 相交于 A B，两点，3OA OB （1）求证：2281kt；（2）若直线l 与1C 相交于 P Q，两点，求 PQ 的取值范围【解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为(1 0)，双曲线渐近线方程为0bxay，所以22233abba，解得21ab ，所以2C 的方程为2212xy 2 分 由2222ykxtxy，消 y，得222(12)4220kxktxt，所以22 222120164(12)(22)0kk t

27、kt ，得 22210tk 数学试卷及参考答案 第10页（共12页）设11()A xy，22()B xy，则12221 224122212ktxxktx xk，4 分 所以1 2121 212()()OA OBx xy yx xkxt kxt 221 212(1)()kx xkt xxt 22 22222224(1)31212tk tktkk，化简得2281kt，得证 6 分（2）由2222ykxtxy，消 x，得222(12)4220kxktxt，所以2 222164(12)(22)0k tkt，即 2221tk 结合 22210tk，2281kt，及0k，20t ，可得2108k 设33(

28、)P xy，44()Q xy，则34223 424122212ktxxktx xk，8 分 所以22222234222 22 28(21)42280()()41212(12)(12)tkkttkxxkkkk，所以22222342 280(1)(1)()(12)kkPQkxxk，2108k 10 分 设212k ，则51 4，所以2116 125，数学试卷及参考答案 第11页（共12页）所以22211801362220(1)05PQ，所以6 505PQ，12 分 22（12 分）已知函数22()f xxaxa，1()2exg xax（1）若1a ，证明：曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有

29、一条公切线；（2）当1x 时，()()2f xg xax，求 a 的取值范围【解】（1）当1a 时，2()1f xxx，1()2exg xx，所以()21fxx，1()2e1xg x，所以曲线()yf x在点2111(1)xxx，处的切线方程为 21111(1)(21)()yxxxxx，即211(21)1yxxx，曲线()yg x在点2 122(2e)xxx，处的切线方程为 221122(2e)(2e1)()xxyxxx，即22112(2e1)2e(1)xxyxx 2 分 令22111212212e112e(1)xxxxx ，得22111212e12e(1)xxxxx ，消去2x，整理得211

30、12ln10 xxx，所以11112ln0 xxx 4 分 设1()2ln(0)h xxxxx，则22(1)()0 xh xx，所以()h x 在(0)，上单调递增，又(1)0h，所以()h x 在(0 ，）上有唯一的零点1x ，所以方程12ln0 xxx有唯一的解1x ，所以曲线()yf x与曲线()yg x有且仅有一条公切线 yx 6 分 （2）因为对1x ，()()2f xg xax恒成立，数学试卷及参考答案 第12页（共12页）所以122e()xxa在1x，上恒成立，所以21()2exxa在1x，上恒成立，令21()()(1)exxaG xx，211()2()()(2)()eexxxa

31、xaxa xaG x ，则当 xa时()0G x，()G x 单调递减，当2axa时，()0G x，()G x 单调递增，当2xa时，()0G x，()G x 单调递减，所以在 xa处()G x 有极小值，在2xa处()G x 有极大值 8 分 当21a ，即1a时，由2max()(1)(1)2G xGa，解得1212a，舍去 10 分 当21a ，即1a 时，则max()max(2)(1)G xG aG，所以，由1214(2)2e(1)(1)2aaG aGa ，解得11ln 21212.aaa ，因为28e，所以232e，所以2ln23，所以211ln2112133 ，所以 1ln 212a 综上，a 的取值范围为 1ln 212a 12 分