2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义 第三讲 功和能 第二节 机械能（含解析）.docx

1、第二节 机械能自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。一、重力势能1重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。如图5.28所示，我们分别计算物体沿不同路径从高度运动至高度时，重力做的功。物体沿下落时，有。物体沿下落时，设与水平方向夹角为，则，因为，因此。可见，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿下降时重力的功。将曲线分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为，则综上可知，

2、重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用来计算重力做的功，其中表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则表示物体的重心在初、末位置的高度差。2重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力（重力）做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。重力势能的计算公式为，在国际单位制中，重力势能的单位是焦（）。式中是物体重心相对某个参考平面（零势能面）的高度，选择不同的参考平面，物体的高

3、度不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为的物体从房顶落到地面，下落高度为，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少。例1 （上海第27届大同杯初赛）两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分和按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为（ ）。A比较大B比较大C一样大D无法判断分析与解 和质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者的重心高度即可。设原来正方体的边长为，则的重心高度为。的重心高度等于图中等腰直角三角形的重

4、心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的距离为的中线长度，因此重心的高度，显然，选项正确。例2 一根质量为、长为的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为的小球，如图5.30所示。由静止释放，当链条刚离开桌面时，重力做功为_，系统重力势能变化量为_。 分析与解 本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来处理。画出链条刚离开桌面时的位置如图5.31所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于链条中部和底部的两铁球的，相当于后来的，位置，其间的链条位置也相当于位置，未发生变化。整个链条下落的过程仅相当于

5、桌面上的铁球运动到了最低处，以及间的链条运动到了处。由此，铁球下降的高度为，链条的重心下降了，则重力做的功为，系统重力势能减少了。二、弹性势能弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都具有弹性势能。弹性势能用表示，单位是焦耳。对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比，即。利用图像，可以得出弹簧的弹性势能与形变量的关系。如图5.32（）所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。由于拉力等于弹簧弹力，可画出拉力随弹簧形变量的关系，如图5.32（）所示，

6、当弹簧形变为时，图下方三角形的面积即为拉力所做的功：，则弹簧的弹性势能为，其中为弹簧的劲度系数。三、动能动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即，动能的单位是（焦耳）。注意动能公式中的“”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。例3 某地强风的风速约为，空气密度（即体积为的空气质量为），如果把通过横截面积为的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率的公式_，产生的电功率的大小约为_。分析与解 经过时间，有长度为的空气柱通过截面，如图5.

7、33所示，则时间内通过截面的空气柱体积为，空气柱的质量，空气柱的动能，由于风的动能全部转化为电能，得电功率，代入数据可得。四、机械能和机械能守恒在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。机械能是用来表示物体的机械运动状态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。对于一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往往是动能与重力势能之和。不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。当只有重力或者是弹簧的弹力

8、做功时，物体（包括弹簧）的机械能总和保持不变，即机械能守恒。机械能守恒是指动能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体之间转化。例4 如图5.34所示，小球从点自由落下，在点恰与竖立在地面上的弹簧接触，并在点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）。A小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒B小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒C小球在点速度达到最大D小球在点时弹簧的弹性势能小于小球在点时的重力势能分析与解 小球从点下落到点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力势

9、能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒，选项正确。小球从到的过程中，小球在点和在点速度均为零，小球减少的重力势能最终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项B错误。小球到达点时，弹簧还未被压缩，小球在点还要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可见，点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置（弹力等于重力的位置）应在，两点之间，选项C错误。当小球到达点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在点时的重力势能转化为弹簧的弹性势能

10、与小球在点的重力势能，因此，选项D正确。本题正确选项为AD。例5 如图5.35所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。以地面为重力势能零点，则动能恰好与重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为（ ）。A15B30C45D60分析与解 木杆在倒地过程中，其机械能守恒。设木杆质量为，长为，则木杆初始状态动能为0，重心高度为，重力势能为，因此初始状态下的机械能为，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为，则其重心高度为，重力势能为，此时的机械能为。由杆的机械能守恒，得，即，显然，。选项正确。五、功和能量变化的关系能量是一个状态量，一定的状态

11、对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。功和能的关系是：功是能量变化的量度。1重力做功和重力势能变化的关系设一个质量为的物体，如果初状态时的高度为（相对于某一位置），重力势能为；末状态时的高度为，重力势能为，这一过程中，重力做的功。由上式可得：（1）若，表示物体高度下降，重力做正功，即重力势能减少；若，表示物体高度上升，重力做负功，即重力势能增加。（2）只要始末位置一定，即，一定，不管经过哪一路径，重力做的功就是一定的，即重力做功跟路径无关。2外力做功和物体动能变化的关系设一个质量为的物体，初状态时的

12、速度为，在恒定的外力的作用下，发生一段位移，的方向与速度方向相同，末状态时的速度为，则有外力做的功，如果物体受几个力，上述结论仍正确，但是所有外力对物体做的功的代数和。上式表示：外力对物体做的功等于物体动能的增量。这一结论叫做动能定理。从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。合外力是阻力，物体的动能就减小，物体克服阻力做的功等于物体动能的减少量。例6 （上海第27届大同杯初赛）如图5.36所示，一个质量为的圆环在一根固定的水平粗糙直杆上，现给环一个向右的初速度，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力的作用，已知力的大小（为常数，为环的运动速度），物

13、体的动能与速度的关系为，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功（杆足够长）可能为（ ）。AB0CD分析与解 本题中由于力与速度有关，因此杆对环的弹力也在发生变化，则环受到的摩擦力大小也随速度变化，直接求解环克服摩擦力做的功有困难。由于环运动过程中只有摩擦力做功，则环克服摩擦力做的功等于其动能的减少量。下面分情况讨论环的运动情况：若初始时，即，则杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，环恰以速度做匀速直线运动，克服摩擦力做功为零。选项正确。若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向下，环受滑动摩擦力，因此环将减速，而随着环速度的减小，力逐渐减小，当力减小到时，即环的速度时，杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，

14、此后环保持这个速度做匀速直线运动，因此环克服摩擦力做功为，选项正确。若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向上，环受滑动摩擦力而减速，随着环速度的减小，力逐渐减小，而弹力逐渐增大，滑动摩擦力逐渐增大，直至环速度减为零。因此，环克服摩擦力做功为，选项正确。综上所述，本题正确选项为。3外力做功与机械能变化的关系如果除了重力（和弹力）外，还有其他外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，机械能和其他形式能之间发生转化。若其他力做正功，物体的机械能增加；其他力做负功，物体的机械能减少。用表示重力和弹簧弹力以外的力做的功，分别表示物体初、末状态的机械能，则有，即除重力、弹力以外的其他力做的功等于物体机械

15、能的增加量。例7 （上海第30届大同杯初赛）滑块以某初速度从固定的粗糙斜面底端向上运动，然后又滑回到斜面底端，若滑块向上运动的距离中点为，取斜面底端重力势能为零，则滑块（ ）。A上滑过程机械能减小，下滑过程机械能增大B上滑过程机械能减小，下滑过程机械能也减小C上滑至点时动能大于重力势能D下滑至点时动能大于重力势能分析与解 设滑块的质量为，受到的摩擦力为；滑块上滑的高度为，通过的路程为。根据能量关系，滑块在最开始具有的动能为。当滑块上滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能大于重力势能。当滑块下滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能小于重力势能。本题

16、正确选项为。利用功能关系，可以求解变力做的功，即只需要确定变力所做的功等于哪些能量的变化，求出这些能量的增减情况，就可以得出变力做功的值。例8 （上海第27届大同杯初赛）如图5.37所示，容器的质量为，若从容器的底部通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为。现将小孔打开，水自然会从小孔流出，与此同时提升容器，使容器内的水面相对地面始终保持原有高度，当容器内的水全部流走时，需要做的功为（ ）。ABCD分析与解 本题中的变力较为复杂，所做的功也显然无法用第一节中求变力做功的几种方法求解，因此可以考虑利用功能关系来求解。通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为，设这些水的重心高度为，则水的重力势

17、能，即。当提升容器，使得水面高度恒为时，实际上相当于将水的重心提高了的高度，因此要对水做功，而容器最终被提升的高度为，因此对容器做的功，所以，提升容器时需要做的总功为，选项正确。练习题1长为的细绳，一端被固定于点，另一端系住一个质量为的小球，若让小球从图5.38中的点下摆至最低位置点，小球的重力势能减少了（ ）ABCD2下列有关动能的叙述，正确的是（ ）。A甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能是相等的B甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为4：1C甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为2：1D甲、乙两物体质量之比为，它们的速度

18、之比为，则两物体的动能之比为1：43（上海第7届大同杯复赛）一只垒球以某一速度飞向木栅栏，会被木栅栏弹回来，而一辆汽车以相同的速度撞向这一栅栏，木栅栏就会被汽车撞坍，这是因为汽车（ ）。A具有较大的势能B具有较大的动能C具有较大的弹性D具有较大的功率4（上海第9届大同杯复赛）如图5.39所示，用倾斜放置的传送带将货物匀速地自低处运送到高处。在这一过程中，货物的重力势能不断增加。这是因为（ ）。A静摩擦力做功B重力做功C支持力做功D动能转化为势能5（上海第10届大同杯复赛）两辆汽车分别在水平公路和盘山公路上行驶，如果它们的牵引力相同，当它们行驶了相同的路程后，汽车牵引力所做的功分别为和，则（ ）

19、。ABCD条件不足，无法比较6（上海第31届大同杯初赛）如图5.40所示，弹簧开始处于原长，在物体由静止释放后下降的过程中（ ）。A物体的动能与下降的距离成正比B物体重力势能的变化量与下降的距离成正比C弹簧的弹性势能与下降的距离成正比D物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小，后增大7（上海第29届大同杯初赛）将小球竖直上抛，然后又落回到抛出点。小球向上过程的中点为，取抛出点的重力势能为零。若该球在整个过程所受的空气阻力大小不变，则小球（ ）。A上升过程损失的机械能大于下降过程损失的机械能B上升过程损失的机械能等于下降过程损失的机械能C上升至点时的动能大于势能D下落至点时的动能大于势能8（上海

20、第27届大同杯初赛）关于功、功率和机械效率相互关系的说法中，正确的是（ ）。A机械效率越高，机械做功越快B做功越多的机械，机械效率越高C功率越大的机械，做功越多D做功越快的机械，功率越大9（上海第27届大同杯初赛）如图5.41所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的点，另一端可自由伸长到点。今使一质量为的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到点，然后释放，小物体能在水平面上运动到点静止，已知；若将小物体系在弹簧上，在点静止释放，直到最后静止，小物体通过的总路程为，则下列说法中可能的是（ ）。ABCD10（上海第26届大同杯初赛）如图5.42所示，长为的轻杆一端通过光滑铰链铰在竖直墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，重

21、力的物体通过细线经滑轮系于墙上点，平衡时恰好水平。现将点沿着竖直墙向上缓慢移动少许，重新平衡后轻杆受到的压力恰好也为，该过程中，外力所做的功至少为（数点后保留两位）（ ）。ABCD11某物体速度增大为原来的3倍，则它的动能增大为原来的_倍。洒水车在洒水过程中匀速前进，则它的动能_，重力势能_（选填“减小”“增大”或“不变”）。12某物体在离地高处具有的重力势能，该物体的质量为_，若将该物体移至离地高处，则它的重力势能增加了_（取）13一质量为且分布均匀、边长为的立方体金属块放在水平地面上，以地面为参照平面，则金属块的重力势能为_。14（上海第8届大同杯复赛）已知铜的密度大于铝的密度。把质量相等

22、的实心铜球和实心铝球静止地放在同一水平桌面上，如图5.43所示，则铜球具有的机械能_铝球具有的机械能；若它们都由图示位置掉落到水平地面上，则铜球减少的重力势能_铝球减少的重力势能（填“大于”“小于”或“等于”）。15（上海第17届大同杯复赛）有报道说：台湾地区一家厂商发明了一种“手机自生能”技术，装上特制的电池，上下左右摇晃，即可产生电能，每摇一分钟可通话两分钟。如果将手机上下摇动一次，相当于将的重物举高，每秒约摇一次，则根据报道可知手机使用时的功率约为_（）。16如图5.44所示，边长为、质量为的正方形均匀木板竖直放置在水平地面上，若以此板的一个顶点为支点，使木板在竖直平面内缓慢绕此支点转动

23、，它的重力势能的最大值为_，此过程中外力做的功为_。17（上海第26届大同杯复赛）交通运输中用“客运效率”来反映交通工具的某项效能，即客运效率=人数路程/消耗能量。一个人骑电动自行车，消耗100万焦的能量可行驶30千米，一辆载有4人的普通轿车，消耗3200万焦的能量可行驶100千米，则电动自行车与这辆轿车的客运效率之比是_。有一种自动充电式电动车，前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或车自行滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，转化成电能储存起来。某人骑车以500焦的初动能在粗糙的水平路面上滑行，若关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图5.45中的图线1

24、所示；若启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线2所示，则向蓄电池所充电能是_焦。18如图5.46所示，一块质量为、边长为的立方体石块放在粗糙地面上，缓慢地翻动它，使石块移动距离，对石块至少要做多少功？如果用水平力推石块，使石块匀速移动距离，所做的功跟缓慢地翻动石块做的功一样多，则石块和地面之间的动摩擦因数为多少？19（上海第9届大同杯复赛）某学生用质量不同的滑块以不同的速度，从地面沿倾角为的光滑斜面往上滑，如图5.47所示。他记录了滑块滑至最高点（此时小球速度为零）的高度，如表5.1所示.表51滑块质量123速度1.02.03.04.05.01.02.03.04.05.01.02.03.

25、04.05.0高度0.050.200.450.801.250.050.200.450.801.250.050.200.450.801.25根据上述数据分析，归纳出：（1）小球能够达到的最大高度跟它在斜面底端的速度和质量有无关系，有何关系，并写出关系式。（2）若假定小球在地面的重力势能为0，且重力势能的大小跟小球离地高度成正比，跟小球质量成正比，则小球在斜面底端的动能与小球在斜面底端的速度、质量有何关系。参考答案1D。先求出，两点的竖直高度差。点到点的竖直高度差为，则，间的竖直高度差为，重力势能的减少量。2D。提示：动能的表达式为。3B。垒球和汽车以相同的速度撞向栅栏，汽车能把栅栏撞坍，是因为汽

26、车质量较大，具有较大的动能。4A。物块受重力、支持力和静摩擦力的作用，其中支持力与传送带垂直，不做功，重力做负功。由于物块有相对于传送带下滑的趋势，静摩擦力方向沿传送带向上，静摩擦力与物块运动方向相同，使物体匀速上升，重力势能增加，因此静摩擦力对物块做正功是物块重力势能增加的原因。5B。提示：汽车牵引力始终朝向汽车运动方向，因此牵引力做功等于牵引力与路程的乘积。6BD。设物体下落距离为，则物体重力势能减少了，弹簧的弹性势能增加了，减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能，另一部分转化为物块的动能，则物体动能，可见，动能与下落距离是二次函数的关系，选项错误，选项正确；由可知，当时（即此时弹力与重

27、力等大），动能取得最大值，可见，动能一定是先增大，又减小，而对于弹簧与物块组成的系统，重力势能、弹性势能、动能三者之和为一定值，因此在动能最大时，重力势能与弹性势能之和必最小，选项正确。7BC。设小球上升的最大高度为，空气阻力为，小球在上升和下降时，克服空气阻力做的功均为，所以小球在上升和下降过程中损失的机械能相同，选项正确。由功能关系，小球在刚抛出时具有的机械能为，在上升至中点时，动能为，重力势能，可见，选项正确。小球达到最高点时，速度为零，具有的机械能为，然后下落至中点，此时的动能为，此时的重力势能，可见，选项错误。8D。功率是表示做功快慢的物理量，与做功多少无关；机械效率是指有用功占总功

28、的百分比，与功率也无关。对同一机械，机械效率往往是固定的。9BCD。设物体位于位置时，弹性势能为，再设物体与地面之间的摩擦力为，则物体在由运动到的过程中，由功能关系，弹簧释放的弹性势能等于物体克服摩擦力做的功，即；将小物体系在弹簧上后，物体最终静止时，弹簧可能还有弹性势能，设为，则，即，解得，可见，若，即物体恰好静止在点，则，若，则，本题正确选项为。10A。结合功能关系，外力所做的功等于物体重力势能的增加量，因此只要求出物体上升的高度，即可由求得外力的功。不妨设杆长为，绳子总长度为。由于杆为轻杆，因此杆与两边绳子的夹角必相等，所以初始时杆与绳子夹角为45，则物块与点的竖直高度差为。再设将绳端由

29、点向上移动至点时，轻杆受到的压力恰等于，则易得杆与绳子的夹角为60，如图5.48所示，杆末端滑轮下降的高度为，此时物体与点的竖直高度差为，物体上升的高度，因此外力做功，选项正确。119；减小，减小。由动能表达式，可知速度增加为原来的3倍，则动能增加为原来的9倍。洒水车洒水时，虽然速率不变，但质量减小，所以动能减小；同时由于车内水的重力势能减少，洒水车整体的重力势能也减小。1250，4000。由，解得，重力势能的增加量。13250。提示：公式中，是指重心的高度，正方体的重心在其几何中心，重心离地面高度为。14小于；等于。提示：铝的密度小于铜，质量相同的实心铝球和实心铜球，铝球的体积较大，重心（在

30、球心位置）比铜球重心高，因此铝球重力势能较大。两者都从水平桌面掉落到水平地面上时，下降的高度相同，减少的重力势能也相同。15。由题意，每摇一分钟可通话两分钟，可见手机使用时的功率为发电功率的一半。摇动手机时的发电功率为，可见手机使用时的功率为。16，。木板的重心在其中心，初始时重心高度为。当木板绕图5.49中的顶点在竖直面内转过135时，木板的重心高度最大，为，因此重力势能的最大值为，外力做的功等于重力势能的增加量，所以外力做功=。1724:1，200。利用客运效率=人数路程/消耗能量，可计算出一个人骑电动自行车的客运效率为，而客车的客运效率为，因此两者的客运效率之比为24:1。由图线1，不开

31、启充电装置时，自行车滑行的过程中动能全部用来克服地面的阻力做功，设阻力为，则，解得；开启充电装置时，自行车滑行的过程中动能一部分转化为电能，另一部分用来克服阻力做功，即，解得。18；。缓慢地翻动石块时，只需将石块翻转45，石块就会在重力作用下继续翻转过去，因此翻转一次做的功等于将石块翻转45的过程中克服重力做的功，则；设石块与地面之间的动摩擦因数为，则用水平推力使石块缓慢移动距离应做功，由，解得。19（1）小球能够达到的最大高度跟它的质量无关。因为从表中数据可以看出，当质量不同时，小球以相同的速度从斜面底端冲上斜面，所能到达的最大高度是相同的。小球能够达到的最大高度跟它在斜面底端的速度有关。当上升高度为时，速度为，当上升高度为时，速度为，可以看出，依此类推可以得出。（2）依题意，设物体的重力势能，其中为比例系数。小球达到最大高度时，其动能全部转化为重力势能，则，将代入，得，可见，动能与质量成正比，与速度的平方成正比。