6.4数列求和、数列的综合应用.pdf

1、专题六 数列 数列求和、数列的综合应用考点一 数列求和 公式法（）直接用等差、等比数列的求和公式求解（）掌握一些常见的数列的前 项和公式：（）；（）；（）（）；（）倒序相加法如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式：（）（）；（）（）（）()；（）分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可

2、分为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，再合并，形如：（），其中是等差数列，是等比数列；（）（），（），考点二 数列的综合应用 解答数列应用题的基本步骤（）审题仔细阅读材料，认真理解题意；（）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征以及要求什么；（）求解求出该问题的数学解；（）还原将所求结果还原到实际问题中数列应用题常见模型（）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值，那么该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差其一般形式是（常数）（）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，那么该模型是等比模型，这个固定的数就是公比其一般形式是

3、（为常数，且）（）混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型（）生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少），称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等如设贷款总额为，年利率为，等额还款数为，分 期还完，则（）（）（）递推模型：如果容易推导该数列任意一项 与它的前一项（）（或前几项）间的递推关系式，那么我们可以用数列的知识求解考点一 数列求和在等差数列中，设 （），则数列的前 项之和 （）答案 数列的前 项和为，若 （），则 等于（）答案 已知等差数列的前 项和为，且 ，（）求 及；（）令 （），求证：数列为

4、等差数列已知等差数列 满足（）（）（）（）（）（）求数列的通项公式；（）求数列 的前 项和 考点二 数列的综合应用已知数列满足 （）（）（），我们把使乘积 为整数的数 叫做“优数”，则在区间（，年高考年模拟 版（教师用书）内的所有“优数”的和为（）答案 已知数列的前 项和为，且 ，若首项为 的数列满足 ，则数列的前 项和为（）答案（山东仿真联考）已知正项数列 满足 ，是的前 项和，则下列四个命题中错误的是（）（）（）是递增数列答案 已知公差不为 的等差数列的首项 ，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设 ，是数列的前 项和，求使 成立的最大的正整数 考点一 数列求和（福建漳州一模，）已知数

5、列 和 的首项均为，且（），数列 的前 项和为，且满足 ，则 （）答案 （），（），另外，由，可得 ，数列 是等差数列，首项为，公差为 （），故选（广东茂名一模，）已知 为数列的前 项和，（）求数列的通项公式；（）若 ，求数列的前 项和 解析（）由 ，得 （），得 ，（），由 ，得 ，是以 为首项，为公比的等比数列，（），（）（）（）（）（）（）设（），求 ()()()的值解析 （），（），（）（），()()()()()()，()()()()()()，考点二 数列的综合应用（湖南岳阳一模，）已知从 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为，第二行为，第三行为，第四行为，如图所示，在宝塔形

6、数表中位于第 行，第 列的数记为，例如，若，则（）答案 由题中数表可知：第 行有 个奇数，第 行有 个奇数，第 行有 个奇数，则前 行共有（）个奇数，设 在第 行中，又 是从 开始的连续奇数的第 个奇数，则有（），（），解得 ，即 在第 行，则前 行共 个数，又第 行的奇数从右到左，从小到大排列，则 为第 行从右到左的第 个数，即 为第 行从左到右的第 个数，故 ，故 ，故选 已知函数（），点（，）在（）的图象上，数列的前 项和为，（）求使 的 的最大值；（）求 解析（）由已知得 （），则 （），当 （），即 时，（）单调递增，当 （），即 时，（）单调递减专题六 数列 又，即，当 时，当 时

7、，当 时，使 的 的最大值为（）（）（）（）（）（）（辽宁葫芦岛兴城高中模拟）设函数（），过点（，）作 轴的垂线 交函数（）图象于点，以 为切点作函数（）图象的切线交 轴于点，再过 作 轴的垂线 交函数（）图象于点，以此类推得点，记 的横坐标为，（）证明数列为等比数列，并求出通项公式；（）设直线 与函数（）的图象相交于点，记 （其中 为坐标原点），求数列的前 项和 解析（）以点（，）（）为切点的切线方程为 （）当 时，即 ，又 ，数列是以 为首项，为公比的等比数列，通项公式为 ()（）由题意，得()，()，()()（）()，()()()，()()()两式相减，得 ()()()()()，化简，得

8、 ()()考法一 错位相减法求和 例 （届浙江嘉兴 月教学测试，）已知数列的前 项和为，（）求数列的通项公式；（）令 ，求数列的前 项和 解题导引 （）根据 与 的关系求得 ，然后求得为等比数列，求出（）由已知条件可得 ，用分组、错位相减法求和解析（）当 时，得 ；当 时，（），两式相减得 ，变形得（）（），数列是等比数列，且公比为 又 ，（）（），于是 （）（）（）（）（），令 ，即 （）（），（），得 （）（），（），（）方法总结 当数列是等差数列，是等比数列时，求数列的前 项和常采用错位相减法用错位相减法求和时，应注意：（）要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形（）在写出“

9、”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式（）应用等比数列求和公式必须注意公比 是否等于，如果 ，应用公式 例（河南、河北两省联考，）已知数列 的前 项和为，（）（）求证：数列 为等差数列；（）令 ，求数列的前 项和 解析（）证明：由（）得 ，又 ，所以数列 是首项为，公差为 的等差数列（）由（）可知 （），所以 当 时，（）（）又 符合上式，所以 （），所以 （），所以 （），（）（），所以得（）（）年高考年模拟 版（教师用书）（）（）（）（）（）例（湖南长沙明德中学 月月考，）设等差数列的前 项和为，首项 ，且 数列的前 项和为，且满足 （）（）求数

10、列和的通项公式；（）求数列 的前 项和 解析（）设数列的公差为，因为（）（），所以 为一个等差数列，所以 ，所以 故，所以 当 时，时也满足，故 ，数列对任意正整数 满足 ，当 时，解得 ；当 时，（）（），所以 （），所以是首项为，公比为 的等比数列，故数列的通项公式为 ()（）由（）知 ，所以 ，得 ()()()，所以 考法二 裂项相消法求和 例 （届河南洛阳期中，）已知数列是递增的等差数列，首项 ，前 项和为，且 ，成等比数列（）求数列的通项公式；（）令 （）（），求数列 的 前 项和 解析（）设等差数列的公差为 等差数列递增，成等比数列，（）（）（），又，（）（）（）（）()，()()

11、（）（）方法总结 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式型数列的求和多用此法利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等 例 已知数列 的前 项和为，且 ，（）求数列的通项公式；（）求数列 的前 项和 解析（），时，即 ，又 ，（），数列是等比数列，且首项为 ，公比为，（）（）（）数列 的前 项和 例（浙江嵊州期末，）已知等比数列的前 项和为，满足 ，数列的首项为，且（）（）求数列的通项公式；（）设 ，证明：解析（）解法一：因为是等比数

12、列，所以 ，所以 又因为 ，所以 专题六 数列 设等比数列 的公比为，则 ，解得 所以 解法二：设等比数列的公比为，由 知 ，所以 又因为 ，所以，故（）（），即 ，解得 ，代入 ，解得 所以 （）证明：当 时，由 可知，所以 ，所以 所以 （）（）（）当 时，（）（）（）（）（）（）（）（）（）又 ，所以 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）考法一 错位相减法求和（广东揭阳第三中学第一次月考，）已知是公差 的等差数列，成等比数列，数列是公比 为正数的等比数列，且 ，（）求数列，的通项公式；（）求数列的前 项和（普通高等学校招生全国统一考试考前演练）已知数列为等差数列，是数列的前 项和

13、，且 ，数列满足 ，当，时，（）（）求数列，的通项公式；（）令 ，证明：考法二 裂项相消法求和（湖南长沙明德中学 月月考）在各项都为正数的等比数 列 中，若，且，则 数 列（）（）的前 项和是（）答案（湖南岳阳一模，）曲线 （）在 处的切线斜率为，则数列 的前 项和为 答案（天津静海大邱庄中学第一次质量检测，）已知等比数列的首项为，公比为，依次成等差数列（）求 的值；（）当 时，求数列的前 项和；（）当 时，求证：()考法一 错位相减法求和（福建闽侯第八中学期末，）已知数列的前 项和为，且 ，则使得 的最小正整数 的值为 答案 解析 ，则 ，两式相减得 （），故 （），因为 ，故 （），令 ，

14、故最小正整数 的值为（河南安阳第二次模拟，）设等差数列 的前 项和为，点（，）在函数（）（，）的图象上，且 （）求数列的通项公式；（）记 （），求数列的前 项和 年高考年模拟 版（教师用书）解析（）设数列的公差为，则 （）()，又 ，两式对照得 ，解得 ，所以 ，所以数列的通项公式为 （）（）由（）知 （）（）（），则 （），（）（），两式相减得 （）（）（）（）（）（江苏南师附中期初检测，）设各项均为正数的数列的前 项和为，已知 ，且 对一切 都成立（）当 时，求数列的通项公式；若 （），求数列的前 项和；（）是否存在实数，使数列是等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由解析（）时，

15、则（）（），又，化简，得 当 时，故可得 ，即（），当 时，时上式也成立，数列是首项为，公比为 的等比数列，（），（），（），（），（）（）（），（）令 ，得 ，令 ，得 （），要使数列是等差数列，必须有 ，解得 当 时，（），且 当 时，（）（）（），整理，得 ，则有 ，从而 ，化简，得，综上所述，（）时，数列是等差数列考法二 裂项相消法求和（湖 南 株 洲 醴 陵 第 二 中 学、第 四 中 学 联 考，）数 列 的前 项的和为（）答 案 因 为 ，所 以 故选（浙江省重点高中统练，）已知数列 的各项均为正数，若数列 的前 项和为，则 答案 解析 本题考查等差数列的概念以及数列的前 项和；

16、考查学生运算求解的能力；考查数学运算的核心素养由已知可得 ，即数列 是等差数列，首项是 ，公差是，所以 （），又 ，所以 ，所以 ，由题意得 ，解得 （湖北十堰调研，）已知数列 中，其前 项和为，且当 时，（）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（）令 （）（），记数列的前 项和为，求 解析（）当 时，（）（），（）又由 ，可推知对一切正整数 均有，数列是等比数列，当 时，又 ，（），（）（）当 时，（）（）（）（）（）（），又知 ，（），（）（）（），则 当 时，（）（），则 ，又当 时，符合上式，（）专题六 数列 例（河北邯郸大名一中周测，）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦

17、溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛，等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层 件，以后每一层比上一层多 件，最后一层是 件已知第一层货物的单价为 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 若这堆货物的总价是()万元，则 的值为（）解题导引 由题意，第一层货物的总价为 万元，第二层货物的总价为 万元，第三层货物的总价为()万元，第 层货物的总价为()万元，可设这堆货物的总价为 万元，从而可得到 ()()，利用错位相减法可求出 的表达式，结合 ()可求出答案解析 由题意，得第 层货物的总价为()万元，

18、设这堆货物的总价为 万元，则 ()()，()()()，两式相减得 ()()()()()()()()，则 ()()()，解得 ，故选 答案 方法总结 （）本题以数学文化为背景考查数列求和，考查数学建模、数学抽象、数学运算的核心素养（）认真阅读题意，理解数量关系；建立相应的数学模型；求解数学模型，得出数学结论（山东潍坊 月模拟）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问相逢时良马比驽马多行（）里 里 里 里答案（多选题）（届江苏栟茶中学学情调研）

19、在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关”则下列说法正确的是（）此人第二天走了九十六里路此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里此人第三天走的路程占全程的 此人后三天共走了 里路答案（山东省实验中学期中）古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 倍，已知她 天共织布 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于 尺，则至少需要（）天 天 天 天答案 年高考年模拟 版（教师用书）例 设函数（）()，为坐标原点，为函数（）图象

20、上横坐标为（）的点，向量与向量 （，）的夹角为，则满足：的最大整数 的值为 解析 由题意可得 ，()()，为坐标原点，()()，向量与向量 （，）的夹角为，()()()()（）()，因此数列 的前 项和为 ()()，令()，()，令 ，分别代入验证知，最大整数 的值为，故答案为 答案（山东师范大学附中最后一卷）对 个不同的实数，可得！个不同的排列，每个排列为一行写成一个！行的数阵对第 行，记 （），！例如用，可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是，所以 那么，在用，形成的数阵中，等于（）答案（上海建平中学期中，）数列 为，首先给出 ，接着复制该项后，再添加其后继数，于是 ，然后再复制前面

21、的所有项，再添加 的后继数，于是 ，接下来再复制前面的所有项，再添加，如此继续，则 （）答案（课标理，分）周期序列在通信技术中有着重要应用若序列 满足 ，（，），且存在正整数，使得 （，）成立，则称其为 周期序列，并称满足 （，）的最小正整数 为这个序列的周期对于周期为 的 序列 ，（）（，）是描述其性质的重要指标下列周期为 的 序列中，满足（）（，）的序列是（）答案 考点一 数列求和（浙江，分）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列（）就是二阶等差数列数列（）（）的前 项和是 答案（课标文，分）数列满足（），前 项和为，则 答案（课标，分）等差数列的前 项和为，则

22、答案（北京，分）已知 为等差数列，为其前 项和若 ，则 答案（课标理，分）设 是公比不为 的等比数列，为，的等差中项专题六 数列（）求的公比；（）若 ，求数列的前 项和（课标理，分）设数列满足 ，（）计算，猜想的通项公式并加以证明；（）求数列的前 项和（天津，分）已知 为等差数列，为等比数列，（），（）（）求和的通项公式；（）记的前 项和为，求证：（）；（）对任意的正整数，设 （），为奇数，为偶数求数列的前 项和（课标，分）为等差数列的前 项和，且 ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，（）求，；（）求数列的前 项和（天津，分）已知为等差数列，前 项和为（），是首项为 的等比数列，且公比

23、大于，（）求和的通项公式；（）求数列的前 项和（）（山东，分）已知数列 的前 项和 ，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 （）（），求数列的前 项和 考点二 数列的综合应用（课标，分）已知数列 和 满足 ，（）证明：是等比数列，是等差数列；（）求和的通项公式（天津，分）设 是等差数列，是等比数列已知 ，（）求和的通项公式；（）设数列满足 ，其中（）求数列（）的通项公式；（）求 （）考点一 数列的求和（课标理，分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，其中第一项

24、是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前 项和为 的整数幂那么该款软件的激活码是（）答案 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力不妨设（）（）（）（其中、，），则有 （），因为，所以 由等比数列的前 项和公式可得 因为，所以，所以，即，因为，所以，故，因为，所以，故 所以，从而有 ，因为，所以 当 时，不合题意；当 时，满足题意，故所求 的最小值为 解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出 一题多解 本题也可以分别把 ，代入，利用排除法求解（课标文，分）等差数列的公差为，若，成等比数列，则的前 项和 （）（）（）（）（）答案 ，成等比

25、数列，即（）（）（），将 代入上式，解得 ，（）（），故选（课标文，分）数列满足（），则的前 项和为（）答案 当 时，当 时，（）（）（）（）（）（江苏理，分）设数列满足 ，且 （），则数列 前 项的和为 答案 解析 由已知得，（），则有 （）（），因为 ，所以 （），即 年高考年模拟 版（教师用书）（），又当 时，也适合上式，故 （），所以 ()，从而 ()()()()()（天津理，分）设是等比数列，公比大于，其前 项和为（），是等差数列已知 ，（）求和的通项公式；（）设数列的前 项和为（）（）求；（）证明 （）（）（）（）解析 本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前 项

26、和公式等基础知识考查数列求和的基本方法和运算求解能力（）设等比数列的公比为 由 ，可得 因为，可得 ，故 设等差数列的公差为 由 ，可得 由 ，可得 ，从而 ，故 所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 （）（）由（），有 ，故 （）（）（）证明：因为（）（）（）（）（）（）（）（），所 以，（）（）（）()()()方法总结 解决数列求和问题的两种思路（）利用转化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成（）不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和（课标文，分）设数列满足（）（）求的通项公式；（）求数列 的前 项和解

27、析（）因为（），故当 时，（）（）两式相减得（）所以 （）又由题设可得 ，从而的通项公式为 （）（）记 的前 项和为 由（）知（）（）则 思路分析 （）条件 （）的实质就是数列（）的前 项和，故可利用 与 的关系求解（）利用（）求得的的通项公式，然后用裂项相消法求和易错警示 （）要注意 时，是否符合所求得的通项公式；（）裂项相消后，注意留下了哪些项，避免遗漏（山东理，分）已知是各项均为正数的等比数列，且 ，（）求数列的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系 中，依次连接点（，），（，），（，）得到折线，求由该折线与直线 ，所围成的区域的面积 解析 本题考查等比数列基本量的计算，错位相减法求和（）

28、设数列的公比为，由已知知 由题意得，所以 因为，所以 ，因此数列的通项公式为 （）过，向 轴 作 垂 线，垂 足 分 别 为，由（）得 ，记梯形 的面积为，由题意 （）（），所以 （）（），（）（）得 （）（）（）（）所以 （）解题关键 记梯形 的面积为，以几何图形为背景确定的通项公式是关键方法总结 一般地，如果 是等差数列，是等比数列，求数列的前 项和时，可采用错位相减法在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“”的表达式（课标文，分）等差数列 中，（）求的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和，其中表示不超专题六 数列 过 的最大整数，如 ，解析（）设数列的公

29、差为，由题意有 ，解得 ，（分）所以的通项公式为 （分）（）由（）知，（分）当 ，时，；当 ，时，；当 ，时，；当 ，时，（分）所以数列的前 项和为 （分）评析 本题考查了等差数列，同时对考生的创新能力进行了考查，充分理解的意义是解题的关键（浙江文，分）设数列的前 项和为 已知 ，（）求通项公式；（）求数列 的前 项和解析（）由题意得 ，则 ，又当 时，由 （）（），得 所以，数列的通项公式为 ，（）设 ，则 ，当 时，由于，故 ，设数列的前 项和为，则 ，当 时，（）（）（），所以 ，易错警示 （）当 时，得出 ，要注意 与 是否满足此关系式（）在去掉绝对值时，要考虑 ，时的情形在求和过程中

30、，要注意项数，最后 要写成分段函数的形式（北京文，分）已知 是等差数列，是等比数列，且 ，（）求的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和解析（）等比数列的公比 ，（分）所以 ，（分）设等差数列的公差为 因为 ，所以 ，即 （分）所以 （，）（分）（）由（）知，因此 （分）从而数列的前 项和 （）（）（分）规范解答 要规范解答过程，分步书写，这样可按步得分（天津理，分）已知是各项均为正数的等差数列，公差为 对任意的，是 和 的等比中项（）设 ，求证：数列是等差数列；（）设 ，（），求证：解析（）证明：由题意得 ，有 ，因此 （），所以是等差数列（）证明：（）（）（）（）（）（）所以 （）()()评

31、析 本小题主要考查等差数列及其前 项和公式、等比中项等基础知识考查数列求和的基本方法、推理论证能力和运算求解能力（天津，分）已知是等比数列，前 项和为（），且 ，（）求的通项公式；（）若对任意的，是 和 的等差中项，求数列（）的前 项和解析（）设数列 的公比为 由已知，有 ，解得 ，或 又由 ，知，所以 ，得 所以 （）由题意，得 （）（），即是首项为 ，公差为 的等差数列设数列（）的前 项和为，则（）（）（）（）评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力（福建文，分）等差数列 中，（）求数列的通项公式；年高考年模拟 版（教师用书）（）

32、设 ，求 的值解析（）设等差数列的公差为 由已知得，（）（），解得 ，所以 （）（）由（）可得 所以 （）（）（）（）（）（）（）（）（）评析 本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力（课标理，分）为数列的前 项和已知，（）求的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和解析（）由 ，可知 可得（），即（）（）（）由于，可得 又 ，解得 （舍去）或 所以是首项为，公差为 的等差数列，通项公式为 （分）（）由 可知（）（）()设数列的前 项和为，则 ()()()（）（分）（安徽文，分）已知数列是递增的等比数列，且 ，（）求数列的通项公式；（）设 为数列的前 项和，求数列 的

33、前 项和 解析（）由题设知 ，又 ，可解得 ，或 ，（舍去）由 得公比为 ，故 （）（），又 ，所以 ()()()评析 本题考查等比数列通项公式及等比数列性质，等比数列求和（天津理，分）已知数列满足 （为实数，且），且 ，成等差数列（）求 的值和的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和解析（）由已知，有（）（）（）（），即 ，所以（）（）又因为，故 ，由 ，得 当 （）时，；当 （）时，所以，的通项公式为 ，为奇数，为偶数（）由（）得 设的前 项和为，则 （），（），上述两式相减，得 ，整理得，所以，数列的前 项和为 ，评析 本题主要考查等比数列及其前 项和公式、等差中项等基础知识考查数列求和的

34、基本方法、分类讨论思想和运算求解能力（山东文，分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为（）求数列的通项公式；（）设 （），求数列的前 项和 解析（）设数列的公差为 令 ，得 ，所以 令 ，得 ，所以 解得 ，所以 （）由（）知 ，所以 ，所以 ，两式相减，得 （）专题六 数列 所以 （）（浙江文，分）已知数列和满足 ，（），（）（）求 与；（）记数列的前 项和为，求 解析（）由 ，得 （）由题意知：当 时，故 当 时，整理得 ，所以 （）（）由（）知 ，因此 ，所以 故 （）（）评析 本题主要考查数列的通项公式，等差和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论

35、证能力（天津文，分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且 ，（）求和的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和解析（）设数列 的公比为，数列 的公差为，由题意知 由已知，有，消去，整理得 又因为，解得 ，所以 所以数列的通项公式为 ，；数列的通项公式为 ，（）由（）有 （），设的前 项和为，则 （）（），（）（），上述两式相减，得 （）（）（），所以，（），评析 本小题主要考查等差数列、等比数列及其前 项和公式等基础知识考查数列求和的基本方法和运算求解能力（湖北文，分）设等差数列 的公差为，前 项和为，等比数列的公比为 已知 ，（）求数列，的通项公式；（）当 时，记 ，求数列的前 项和 解

36、析（）由题意有，即，解得 ，或 ，故 ，或 （），()（）由，知 ，故 ，于是 ，可得 ，故 （湖南文，分）已知数列 的前 项和 ，（）求数列的通项公式；（）设 （），求数列的前 项和解析（）当 时，；当 时，（）（）故数列的通项公式为 （）由（）知，（），记数列 的前 项和为，则 （）（）记 ，则 （），（）（）（）故数列的前 项和 评析 本题考查数列的前 项和与通项的关系，数列求和等知识，含有（）的数列求和要注意运用分组求和的方法（北京文，分）已知是等差数列，满足 ，数列满足 ，且为等比数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前 项和解析（）设等差数列的公差为，由题意得 所以 （）（，）设

37、等比数列的公比为，由题意得 ，解得 所以 （）从而 （，）（）由（）知 （，）数列的前 项和为 （），数列的前 项和为 所以数列的前 项和为 （）评析 本题主要考查等差数列与等比数列通项公式及前 项和公式，考查数列综合应用属基础题（大纲全国理，分）等差数列 的前 项和为已知 ，为整数，且（）求的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和 年高考年模拟 版（教师用书）解析（）由 ，为整数知，等差数列 的公差 为整数又，故，于是，解得 因此 数列的通项公式为 （分）（）（）（）()（分）于是 ()()()()（）（分）评析 本题考查了等差数列的定义及其前 项和、裂项相消法求数列前 项和第（）问的解题关键

38、在于分析已知条件“为整数”“”所隐含的条件；在第（）问中，对通项公式 进行裂项过程中易漏了系数 而导致错解（山东理，分）已知等差数列的公差为，前 项和为，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）令 （），求数列的前 项和 解析（）因为 ，由题意得（）（），解得 ，所以 （）（）（）（）（）（）()当 为偶数时，()()()()当 为奇数时，()()()()所以 ，为奇数，为偶数或 （）()评析 本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式和数列的求和，同时考查分类讨论的思想、运算求解能力和逻辑推理能力（课标文，分）已知 是递增的等差数列，是方程 的根（）求的通项公式；（）求数列 的前 项和解析（）

39、方程 的两根为，由题意得 ，设数列的公差为，则 ，故 ，从而 所以的通项公式为 （）设 的前 项和为，由（）知 ，则 ，两式相减得 所以 评析 本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前 项和，第（）中由条件求首项、公差，进而求出结论是基本题型，第（）问中，运算准确是关键（安徽文，分）数列 满足 ，（）（），（）证明：数列 是等差数列；（）设 ，求数列的前 项和 解析（）证明：由已知可得 ，即 所以 是以 为首项，为公差的等差数列（）由（）得 （），所以 从而 ，（）得 （）（）所以 （）评析 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的前 项和，解题时利用题（）提示对递推关系进行变形是关键（

40、山东文，分）在等差数列 中，已知公差 ，是 与 的等比中项（）求数列的通项公式；（）设 （），记 （），求 解析（）由题意知（）（），即（）（），解得 ，专题六 数列 所以数列的通项公式为 （）由题意知 （）（）所以 （）（）因为 （），所以当 为偶数时，（）（）（）（）（），当 为奇数时，（）（）（）（）（）所以 （），为奇数，（），为偶数评析 本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列的通项公式及数列的求和，分类讨论思想和逻辑推理能力（课标文，分）已知等差数列 的前 项和 满足 ，（）求的通项公式；（）求数列 的前 项和解析（）设的公差为，则 （）由已知可得，解得 ，故的通项公式为 （

41、）由（）知（）（）()，从而数列 的前 项和为()评析 本题考查等差数列的通项公式及前 项和公式，考查了裂项求和的方法，考查了运算求解能力与方程思想（课标理，分）等比数列的各项均为正数，且 ，（）求数列的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和解析（）设数列的公比为 由 得 ，所以 由条件可知，故 由 得 ，所以 故数列的通项公式为 （）（）（）故 （）()，()()()所以数列 的前 项和为 评析 本题主要考查等比数列的通项公式以及裂项求和的基本方法，属容易题考点二 数列的综合应用（浙江，分）设，数列满足 ，则（）当 时，当 时，当 时，当 时，答案 本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体，

42、考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力；考查的核心素养为逻辑推理，数学运算；体现了函数与方程的思想，创新思维的应用令 ，即，即 ，若有解，则 ，即 ，当 时，即存在 ，且 或，使数列为常数列，、选项中，成立，故存在 ，使 （），排除、对于，()，()，()，()，()，而()()()故（江苏，分）已知集合 ，将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 记 为数列 的前 项和，则使得 成立的 的最小值为 答案 解析 本题考查数列的插项问题设 ，当（，）时，有 ，则 ，设 ，年高考年模拟 版（教师用书）则共有 个数，即 ，而 ，（）则 ，则，的对应关系为 观察到 时，则，），时，存在，使，此时 ，则

43、当，），时，（）（），（），（），则 时，即 （福建文，分）若，是函数（）（，）的两个不同的零点，且，这三个数可适当排序后成等差 数 列，也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列，则 的 值等于 答案 解析 依题意有，是方程 的两根，则 ，由，可知，由题意可知 （），或 ，将 代入 可解得 ，此时 ，将 代入 可解得 ，此时 ，则 ，故 评析 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查函数与方程思想、化归与转化思想（安徽理，分）数列 是等差数列，若 ，构成公比为 的等比数列，则 答案 解析 设的公差为，则，由题意可得（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（），公比

44、 （课标文，分）已知是各项均为正数的等比数列，（）求的通项公式；（）设 ，求数列的前 项和解析 本题主要考查等比数列的概念及运算、等差数列的求和；考查学生的运算求解能力；体现了数学运算的核心素养（）设的公比为，由题设得 ，即 解得 （舍去）或 因此的通项公式为 （）由（）得 （），因此数列的前 项和为（天津文，分）设 是等差数列，是等比数列，公比大于 已知 ，（）求和的通项公式；（）设数列满足 ，为奇数，为偶数求 （）解析 本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前 项和公式等基础知识考查数列求和的基本方法和运算求解能力，体现了数学运算素养满分 分（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为

45、 依题意，得，解得 ，故 （），所以，的通项公式为 ，的通项公式为 （）（）（）（）（）（）记 ，则 ，得，（）（）所以，（）（）（）思路分析 （）利用等差、等比数列的通项公式求出公差，公比 即可（）利用的通项公式，进行分组求和，在计算差比数列时采用错位相减法求和解题关键 根据 的奇偶性得数列的通项公式，从而选择合适的求和方法是求解的关键（江苏，分）定义首项为 且公比为正数的等比数列为“数列”（）已知等比数列（）满足：，求证：数列为“数列”；（）已知数列（）满足：，其中 为数列的前 项和求数列的通项公式；设 为正整数，若存在“数列”（），对任意正整数，当 时，都有 成立，求 的最大值解析 本小

46、题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 分（）设等比数列的公比为，所以，由，得，解得 ，因此数列为“数列”专题六 数列（）因为 ，所以 由 ，得 ，则 由 ，得 （），当 时，由 ，得 （）（），整理得 所以数列是首项和公差均为 的等差数列因此，数列的通项公式为 （）由知，因为数列为“数列”，设公比为，所以 ，因为，所以，其中 ，当 时，有；当 ，时，有 设（）（），则 （）令 （），得 列表如下：（，）（，）（）（）极大值因为 ，所以（）（）取 ，当 ，时，即，经检验知 也成立因此所求 的最大值不小于 若，

47、分别取 ，得，且 ，从而 ，且，所以 不存在因此所求 的最大值小于 综上，所求 的最大值为（北京文，分）设是等差数列，且 ，（）求的通项公式；（）求 解析（）设的公差为 因为 ，所以 又 ，所以 所以 （）（）因为 ，所以是首项为，公比为 的等比数列所以 （）（江苏，分）设是首项为，公差为 的等差数列，是首项为，公比为 的等比数列（）设 ，若 对 ，均成立，求 的取值范围；（）若 ，（，证明：存在，使得 对 ，均成立，并求 的取值范围（用，表示）解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力（）由条件知 （），

48、因为 对 ，均成立，即（）对 ，均成立即，得 因此，的取值范围为，（）由条件知：（），若存在，使得 （，）均成立，即（）（，）即当 ，时，满足 因为（，所以，从而，对 ，均成立因此，取 时，对 ，均成立下面讨论数列 的最大值和数列 的最小值（，）当 时，（）（）（），当 时，有，从而（）因此，当 时，数列 单调递增，故数列 的最大值为 设（）（），当 时，（）（）所以（）单调递减，从而（）（）当 时，（）()()因此，当 时，数列 单调递减，故数列 的最小值为 因此，的取值范围为（），疑难突破 本题是数列的综合题，考查等差数列、等比数列的概念和相关性质，第（）问主要考查绝对值不等式第（）问要求

49、 的范围，使得 对 ，都成立，首先把 分离出来，变成 ，难点在于讨论 的最大值和 的最小值对于数列 ，可以通过作差讨论其单调性，而对于数列 ，要作商讨论单调 年高考年模拟 版（教师用书）性，（）()，当 时，()()，可以构造函数（）（），通过讨论（）在（，）上的单调性去证明()，得到数列 的单调性，解出最小值两个数列，一个作差得到单调性，一个作商得到单调性，都是根据数列本身结构而得，方法自然合理，最后构造函数判断 ()与 的大小是难点，平时多积累，多思考，也是可以得到的（课标文，分）已知等差数列 的前 项和为，等比数列 的前 项和为，（）若 ，求的通项公式；（）若 ，求 解析 本题考查了等差

50、、等比数列设的公差为，的公比为，则 （），由 得 （）由 得 联立和解得 ，（舍去），或 ，因此的通项公式为 （）由 ，得 解得 或 当 时，由得 ，则 当 时，由得 ，则 （课标文，分）记 为等比数列的前 项和已知 ，（）求的通项公式；（）求，并判断，是否成等差数列解析 本题考查等差、等比数列（）设的公比为，由题设可得（），（）解得 ，故的通项公式为 （）（）由（）可得 （）（）由于 （）（），故，成等差数列方法总结 等差、等比数列的常用公式：（）等差数列：递推关系式：，常用于等差数列的证明通项公式：（）前 项和公式：（）（）（）等比数列：递推关系式：（），常用于等比数列的证明通项公式：前

51、项和公式：（），（）（）（）在证明，成等差、等比数列时，还可以利用等差中项：或等比中项：来证明（北京文，分）已知等差数列 满足 ，（）求的通项公式；（）设等比数列满足 ，问：与数列的第几项相等？解析（）设等差数列的公差为 因为 ，所以 又因为 ，所以 ，故 所以 （）（，）（）设等比数列的公比为 因为 ，所以 ，所以 由 得 所以 与数列的第 项相等（重庆文，分）已知等差数列满足 ，前 项和 （）求的通项公式；（）设等比数列 满足 ，求 的前 项和 解析（）设的公差为，则由已知条件得，化简得 ，解得 ，故通项公式 ，即 （）由（）得 ，设的公比为，则 ，从而 ，故的前 项和 （）（）（福建文，

52、分）在等比数列中，（）求；（）设 ，求数列的前 项和 解析（）设的公比为，依题意得，解得 ，因此，（）因为 ，所以数列的前 项和 （）专题六 数列 时间：分钟 分值：分一、单项选择题（每题 分，共 分）（江西宜春 月联考，）已知函数（）（），记 （）是（）的导函数，将满足（）的所有正数 从小到大排成数列，则数列（）的通项公式是（）（）（）（）（）（）（）答案（河南郑州一模，）已知数列 满足 （），且 ，其 前 项 之 和 为，则 满 足 不 等 式 的最小整数 是（）答案（广东广州天河二模，）已知数列是以 为首项，为公差的等差数列，是以 为首项，为公比的等比数列，设 ，（），则当 时，的最大值

53、是（）答案（届浙江高考选考科目 月联考）数列 中，则下列命题为真命题的是（）不存在实数，使得数列为常数列有且只有一个实数，使得数列为常数列若数列为递增数列，则实数 若实数，则数列为递增数列答案 二、多项选择题（每题 分，共 分）（届山东滨州博兴第三中学月考，）记数列的前 项和为，若存在实数，使得对任意的，都有 ，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是（）若是等差数列，且公差 ，则是“和有界数列”若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差 若是等比数列，且公比 ，则是“和有界数列”若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比 答案（届江苏南京航空航天大学附中期中，）已知等差数列的首项为，公差 ，前

54、 项和为，则下列结论成立的是（）数列 的前 项和为 若，成等比数列，则 若 ，则 的最小值为 若 ，则 的最小值为答案 三、填空题（每题 分，共 分）（届广东深圳外国语学校第一次月考，）已知等差数列的前 项和 ，前三项和为，后三项和为，则该数列有 项答案（浙江丽水四校联考，）已知数列 满足：，用 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数，则 的值等于 答案 四、解答题（共 分）（山东夏季高考模拟，）在 ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 存在，求出 的值；若 不存在，说明理由设等差数列的前 项和为，是等比数列，是否存在，使 且？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（届

55、广东深圳外国语学校第一次月考）设数列的前 项和为，都有 ，且 （）求数列的通项公式；（）求证：（届安徽太和第一中学开学摸底检测）已知数列的前 项和为，点（，）在抛物线 上（）求；（）求数列 的前 项和（届山东青岛期初调研）已知数列 的前 项和为，且 为 与 的等差中项，当 时，总有 （）求数列的通项公式；（）记 为 在区间（，（）内的个数，记数列（）的前 项和为，求（届浙江高考选考科目 月联考）已知首项为，公差不为零的等差数列，为，的等比中项，数列 的前 项和为，且 （），（）求数列，的通项公式；（）若 （），数列 的前 项和为，求证：年高考年模拟 版（教师用书）（百校联盟普通高中教育教学质量

56、监测）数列 是等比数列，是其前 项和，则 （）答案 设数列的公比为，由 ，即（），（），解得 或 （舍），（广东揭阳摸底，）已知数列 满足 ，则 的值为（）（）（）答案 （），故 ，所以 （）（），故选（江西南昌二中模拟，）已知等差数列 的前 项和为，则数列 的前 项的和为（）答案 （），等差数列的公差 ，（），（），（）()则数列 的前 项的和为 ()()故选（福建漳州第二次适应性测试，）下图是某省从 月 日至 月 日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省从 月 日至 月 日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前 项和为，则下列说法中正确的是（）数列是递增数列数列是递增数

57、列数列的最大项是 数列的最大项是 答案 因为 月 日新增确诊人数小于 月 日新增确诊人数，即 ，所以 不是递增数列，所以选项 错误；因为 月 日新增确诊病例数为，所以 ，所以数列 不是递增数列，所以选项 错误；因为 月 日新增确诊病例数最多，从 月 日算起，月 日是第 天，所以数列的最大项是，所以选项 正确，数列 的最大项是最后一项，所以选项 错误，故选（多选题）已知数列：，若 ，数列的前 项和为，则（）答案 ，（）()，()()()()（多选 题）在 数 列 中，其 前 项 和 为，若 点，在直线 上，则有（）（）（）（）数列 是等比数列答案 由已知得 ，则 ，又 ，数列 是首项为，公比为

58、的等比数列，（），当 时，（），当 时，（），（），故选（浙江五校十月联考，）设数列的前 项和为，且满足 （）()（），则 ，答案 ；解析 解法一：当 时，解得 ，当 时，（）()，（）()，两式相减得 （）（）()，即（）（）()，当 为偶数时，()，即 为奇数时，专题六 数列 所以 ，（）解法二：当 时，解得 ，当 时，（）（）()，当 为偶数时，有 ()，即 为奇数时，()，所以 ()，()，即 ()()()（山西太原一模，）在数列 中，（）（，），若数列 满足 ()，则数列的最大项为第 项答案 解析 因为 （）（，），所以 （，），所以根据累加法得 （）（）（），又 时，满足上式，所以

59、 （），所以 （）()，因为（），所以当 时，当 时，因此数列的最大项为第 项（天津静海大邱庄中学第一次质量检测，）已知等差数列满足：，的前 项和为（）求 及；（）令 （），求数列的前 项和 解析（）设等差数列的公差为，因为 ，所以，解得 ，所以 （），（）（）由（）知 ，所以 （）（）()，所以 ()()（）（河北邯郸大名一中第六周周测，）已知等比数列的公比，且 ，是，的等差中项数列 满足 ，数列（）的前 项和为（）求 的值；（）求数列的通项公式解析（）由 是，的等差中项得 ，所以 ，解得 所以 由 得 ()，解得 或 ，因为，所以 （）设 （），数列的前 项和为 则 ，当 时，当 时，（）

60、（）当 时，符合上式，由（）可知 ，所以 （）()，故 （）()，（）（）（）（）（）()（）()设 ()（）()，()()（）()（）()，所以 ()()（）()，因此 （）()，又 ，所以 （）()（天津杨村一中第一次月考，）已知数列 的前 项和为，且 （）（）求数列的通项公式；（）令 ，求数列的前 项和；（）记 （）（），是否存在实数 使得对任意的，恒有？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由解析（）当 时，即 ，当 时，即，数列是首项为，公比为 的等比数列，故 （）由（）得 ，可得 ，两式相减得 ，（）（）存在由（）得 （）（）假设存在实数 使得对任意的，恒有，即，则（）（），（）（）（），即（）当 为偶数时，则()，当 为奇数时，()，综上所述，