Matlab讲义-第二章matlab02数值运算功能2-10.pdf

1、第二章 MATLAB的数值计算功能 Matlab 具有出色的数值计算能力，占据世界上数值计算软件的主导地位主要内容2.1数值2.2变量及其赋值2.3矩阵的表示 2.3.1矩阵的输入 2.3.2向量的构造2.4矩阵的操作2.5 矩阵的运算 2.5.1矩阵的点(数组)运算 2.5.2矩阵的关系和逻辑运算 2.5.3矩阵的数学运算2.6矩阵数据处理函数2.7矩阵函数2.5 矩阵的运算矩阵的点(数组)运算 矩阵的数学运算 矩阵的关系和逻辑运算 和矩阵运算符比较，除了加减符号外，其余的数组运算符号均须加上一个“.”符号。2.5.1矩阵的点(数组)运算点运算是两个维数相同的矩阵对应元素之间的运算，在有的教

2、材中也定义为数组运算。矩阵元素与矩阵元素的运算（数组的运算）A.+B（或A+B）矩阵对应元素相加A.-B（或A-B）矩阵对应元素相减A.*B 同维数组对应元素相乘A./B A的元素是被除数(48./2=24)B.A A的元素是被除数(2.48=24)A.nA的每个元素自乘n次A.矩阵的点转置矩阵点加减、点乘除，均要求两矩阵必须有相同的行数和列数 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 901.矩阵点乘a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172987654321a10

3、97531642b已知x，写出y=2e-0.5xcos(4x)的表达式x=0:pi/100:2*pi;y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);【例】a./b=b.a（斜线上方的数为被除数,反斜线下方的数为被除数）a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./a a的元素除以b的对应元素 b的元素除以a的对应元素a.b=b./a2.矩阵点除【例】c1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000z2=1.00 32.00 729.003.数组乘方(.)元素对元素的幂【例】a=1 2 3;b=4 5 6;z1=a.2，z2=a

4、.bz1=1.00 4.00 9.00求A和A.A，A.对于实矩阵:（）或（.）求转置结果一样；对于含复数的矩阵:将同时对复数进行共轭处理;.则只是将其排列形式进行转置。4.矩阵的转置和点转置 转置说明：ans=15913261014371115481216b=1+2i 2-7ib=1+2i 2-7i.b=1.0000-2.0000i2.0000+7.0000ib=1.0000+2.0000i2.0000-7.0000i共轭 转置 点转置 1.矩阵的关系运算符2.5.2 矩阵的关系和逻辑运算注意：1=a=2错误1a=2正确对矩阵的每个元素进行比较判断，运算结果为与原矩阵大小一样的由0和1组成的

5、矩阵。：,=,=,=A=1 1 1;2 3 2;4 4 4B=0 0 00 1 01 1 1B=A=3a=1-2-4 5;b=a=-2b=1 1 0 1A=1 1 12 3 24 4 4【例】【例】2.矩阵的逻辑运算符A和B对应元素，不相同返回1，相同返回0应用举例：xor(1 1 0 0,0 1 0 1)ans=1 0 0 1A&B（and(A,B),A|B(or(A,B),A(not(A),xor(A,B)xor(A,B)函数：异或运算等同直接用:error,ber=biterr(X,Y)可应用于误比特率的计算 xor(1 1 0 0,0 1 0 1)ans=1 0 0 1errorbit

6、=xor(1 1 0 0,0 1 0 1);errorbit(find(errorbit=0)=errorbit_num=length(errorbit)X=1 1 0 0;Y=0 1 0 1;error:错误个数；ber：误比特率t=-1:0.001:5;tft402t=0&t=-1&t0&t C=A+B%对应元素的运算【例】2.矩阵乘法（）：A*Bd=-1;0;2;f=pi*df=-3.141606.2832a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc=143223a矩阵的列数等于b矩阵的行数规则：若参与运算的两矩阵之一是标量，标量与矩阵的所有元素分别进行乘法操作。

7、若两矩阵相乘，A矩阵（m*n）的列数必须等于B矩阵(n*p)的行数。【例】【例】结果为m*p矩阵x1=0:6;y=x1*1,-1%第1列为x，第2列为-x已知x=0:6;利用矩阵相乘生成新矩阵y，要求y的第1列为x，第2列为-x。【例】y=0 01 -12 -23 -34 -45 -56 -63.矩阵除法 当矩阵A、B非奇异时：AB=inv(A)B，是方程AX=B的解。B/A=Binv(A)，是方程XA=B的解；只是A与B的矩阵表示不同 在matlab中有两种矩阵除运算:“”(反斜线)和“/”(斜线)分别表示左除和右除。32103251xyzxyzxyz A=3 2-1;-1 3 2;1-1-

8、1;B=10 5-1;%将方程右边已知项写成列向量X=AB%左除运算求解32103251xyzxyzxyz X=-2.00005.0000-6.0000%注意X为列向量矩阵左除解方程A*X=B321132111A xXyz 1051B X=ABA=3 2-1;-1 3 2;1-1-1;B=10 5-1;%将方程右边已知项写成行向量X=B/A%右除运算求解32103251xyzxyzxyz X=-2.0000 5.0000 -6.0000%注意X为行向量矩阵右除解方程X*A=BX=B/A311231121AzyxX,15,10-B a p a 自乘p次幂方阵1的整数4.矩阵乘方ap a和p只能一

9、个是矩阵(且必须为方阵），另一个为一个数，不能两个都为矩阵。如p是方阵，a是标量,ap应该使用特征值和特征向量来计算；如a,p都是矩阵，ap则无意义(报错)。a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2ans=30 36 4266 81 96102 126 150相当于a*a 各种数据处理函数放置在MATLAB的一个子目录datafun内，了解这些函数的功能便于使用MATLAB来编程。本节简要介绍主要的数据处理函数。2.6 矩阵数据处理函数（datafun）help datafun%可查看datafun函数库中的各函数max、min 各列最大/小值sort 各列递增排序sum 各列求和mean

10、 各列平均值std 各列标准差，均方差var 各列方差 一些基本的数据处理函数 MATLAB的数据处理函数其功能是按矩阵列向进行的。用于查找矩阵或向量的最大值，并给出最大值的下标。1.查找最大值函数:maxY,I=max(X)当X为向量时，则Y为最大值，而I则表示最大值的下标。当X为矩阵时，min(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及该元素的位置；Y和I均为行向量。A=1:4;2 6 2 3;0 4 6 8;5 3 4 1;Y,I=max(A)Y=5 6 6 8I=4 2 3 31435864032624321AA=1:4;2 6 2 3;0 4 6 8;5 3 4 1;Y=8I=15无论矩阵

11、是多大维数，求最大值使用命令max(x(:)即可1435864032624321A【如何求矩阵中所有元素的最大值？】Y,I=max(A(:)%先将矩阵按列转换为列向量，然后求向量的最大值用于查找矩阵或向量的最小值，并给出最小值的下标。Y,I=min(X)当X为向量时，则Y为最小值，而I则表示最小值的下标。将X为矩阵时，min(X)返回矩阵X的各列中的最小元素值及该元素的位置赋予行向量Y与I；2.查找最小值 函数：min V=4 8 2 3;VS,I=sort(V)3.排序函数：sort实际上VS=V(I)VS=2 3 4 8I=3 4 1 2向量排序A=1 2 3 42 6 2 30 4 6

12、85 3 4 1As=0 2 2 11 3 3 32 4 4 45 6 6 8I=3 1 2 41 4 1 22 3 4 14 2 3 3注意：每列作为一个向量，返回相应下标值 矩阵排序AS,I=sort(A)mean函数用于求向量和矩阵的平均值，其用法是：vm=mean(v);%v为向量，vm为各元素的平均值，一个数vm=mean(A);%A为矩阵，运算针对列向量进行，vm为一个行向量，其中各元素为矩阵中每列元素的平均值。4.mean函数 u=diff(v)函数的功能是差分1 i=1,2,n-1iiiuv 5.diff函数 u=diff(v);%若v为一向量，u也为一个向量，其中u的元素数量

13、为length(v)-1个 B=diff(A);%A为一个矩阵，B为一个矩阵，若A为mn的矩阵，则B为（m-1)n的矩阵B=1 4 -1 -1-2 -2 4 55 -1 -2 -7A=1 2 3 42 6 2 30 4 6 85 3 4 1 B=diff(A)使用diff函数可近似计算信号的微分【例】求方波信号的近似微分使用diff函数可近似计算信号的微分,可以找到信号发生突变的地方。sigdiff-sig避免0作除数 x=-3:3;y=sin(x)./xWarning:Divide by zero.(Type warning off MATLAB:divideByZero to suppre

14、ss this warning.)y=0.8415 0.9276 0.9816 NaN 0.9816 0.9276 0.8415为了避免分母中出现0，可利用计算机中的相对浮点精度eps来取代0，具体做法如下：【例】x=-20:0.01:20;x=x+(x=0)*eps;y=sin(x)./x%当 x=0;x=x+(x=0)*eps;y=y=1系统的浮点精度eps:2.2e-016或2-52sin(eps)./eps 其中的关键是引入了关系表达式x=0，其运算结果为向量0 0 0 1 0 0 0,然后将这个向量先与eps相乘，然后再与x向量相加，这样就利用eps取代了0.x=-20:0.001:

15、20;y=sinc(x/pi);plot(x,y),title(sinc函数),grid on inv 求方阵的逆 det 求方阵的行列式的值 eig 求方阵的特征值 norm 求矩阵的范数 2.7矩阵函数（matfun）help matfun%可查看matfun函数库中的各函数函 数功 能det计算矩阵所对应的行列式的值inv求矩阵的逆阵rank求矩阵的秩eig求特征值和特征向量norm矩阵范数poly求特征多项式lu由高斯消元法所得的系数矩阵qr正交三角矩阵分解矩阵函数（续）A=1 2 3;4 5 6;2 3 5;det(A)ans=-3532654321AAAA 1A非奇异时，则A的逆矩阵存在b=inv(A)b=-2.3333 0.3333 1.00002.6667 0.3333 -2.0000-0.6667 -0.3333 1.0000Thank you for your cooperation