2021版新高考数学一轮复习高考大题专项五直线与圆锥曲线新人教A版.docx

1、高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.(2019广东深圳模拟,20)在平面直角坐标系xOy中,离心率为63的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M1,63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线x+y+m=0上存在点G,且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直,求实数m的取值范围.2.(2019河北石家庄一模,20)已知抛物线C:y2=2px(p0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离PF=2x0.(1)求抛物线C的方程;(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r20b0)的两个焦点分别为F1、F2,|F1F2|=2,点Q在椭圆上,且QF1F2的周长为6.(1)求

2、椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求1213|AB|2+1316d2的最大值.4.(2019山东淄博三模,20)已知圆O:x2+y2=4,抛物线C:x2=2py(p0).(1)若抛物线C的焦点F在圆O上,且A为抛物线C和圆O的一个交点,求|AF|;(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点,设M(x0,y0),当y03,4时,求|MN|的最大值.5.(2019浙江模拟,19)如图,不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px(p0)有且只有一个公共点M.(1)当M的

3、坐标为(2,2)时,求p的值及直线l的方程;(2)若直线l与圆x2+y2=1相切于点N,求|MN|的最小值.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.在ABC中,AB=2,C=3,且SABC=33,若以A,B为左右焦点的椭圆M经过点C.(1)求M的标准方程;(2)设过M右焦点且斜率为k的动直线与M相交于E,F两点,探究在x轴上是否存在定点D,使得DEDF为定值?若存在,试求出定值和点D的坐标;若不存在,请说明理由.2.已知抛物线C:y2=2px(p0),过焦点F作垂直于x轴的直线l,l与抛物线C相交于A,B两点,E为C的准线上一点,且ABE的面积为4.(1)求抛物线C的标准方程.(2)设Q(

4、2,0),若点P是抛物线C上的一动点,则是否存在垂直于x轴的定直线被以PQ为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求出该直线方程和弦长,如果不存在,说明理由.3.(2019四川绵阳质检,20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=2px(p0)的准线为l,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为12的一点,若点B到l的距离等于|BO|.(1)求抛物线C的方程,(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线l于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线l于点N,求证:以点N为圆心,以|MN|为半径的圆经过x轴上的两个定点.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=22,左、右焦点

5、分别为F1,F2,抛物线y2=42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知圆M:x2+y2=23的切线l与椭圆相交于A,B两点,那么以AB为直径的圆是否经过定点?如果是,求出定点的坐标;如果不是,请说明理由.5.(2019湖北武汉模拟,20)如图,O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距等于其长半轴长,M,N为椭圆C的上、下顶点,且|MN|=23.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M,N的A,B两点,直线AM,BN交于点T.求证:点T的纵坐标为定值3.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题1.(2019湖南永州三模,20

6、)已知直线l是经过点A(1,-2)且与抛物线E:y2=4x相切的直线.(1)求直线l的方程;(2)如图,已知点B(1,2),M,N是x轴上两个不同的动点,且满足|BM|=|BN|,直线BM,BN与抛物线E的另一个交点分别是P,Q,求证:直线PQ与l平行.2.设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABM=ABN.3.(2019四川成都七中模拟,20)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点

7、E.(1)求|EF1|+|EF2|的值;(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.4.(2019重庆巴蜀中学模拟,20)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,过点E(7,0)的椭圆C1的两条切线相互垂直.(1)求椭圆C1的方程;(2)在椭圆C1上是否存在这样的点P,过点P引抛物线C2:x2=4y的两条切线l1,l2,切点分别为B,C,且直线BC过点A(1,1

8、)?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.5.(2019广东广雅中学、执信、六中、深外四校联考,20)设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,与椭圆x26+y24=1交于C,D两点,记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4.(1)若直线l过(0,4),证明:OAOB;(2)求证:k1+k2k3+k4的值与直线l的斜率的大小无关.参考答案高考大题专项(五)直线与圆锥曲线突破1圆锥曲线中的最值、范围问题1.解(1)由题意,ca=63,a2=b2+c2,解得a2=3b2,又1a2+23b2=1,解得a2=3,b2=1,所以椭圆C的

9、标准方程为x23+y2=1.(2)当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时,另一条切线必垂直于y轴,易得G(3,1).当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时,设G(x0,y0),x03.切线方程为y=k(x-x0)+y0,代入椭圆方程得(3k2+1)x2-6k(kx0-y0)x+3(kx0-y0)2-3=0,=6k(kx0-y0)2-4(3k2+1)3(kx0-y0)2-3=0,化简得:(kx0-y0)2-(3k2+1)=0,由此得(x02-3)k2-2x0y0k+y02-1=0,设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为k1,k2,所以k1k2=y02-1x02-3.因为两条切线相互垂直,所以y02-

10、1x02-3=-1,即x02+y02=4(x03),由知G在圆x02+y02=4上,又点G在直线x+y+m=0上,所以直线x+y+m=0与圆x2+y2=4有公共点,所以|m|1+12,所以-22m22.综上所述,m的取值范围为-22,22.2.解(1)由抛物线定义,得|PF|=x0+p2,由题意得:2x0=x0+p2,2px0=4,p0,解得p=2,x0=1.所以,抛物线的方程为y2=4x.(2)由题意知,过P引圆(x-3)2+y2=r2(0-2,所以90.x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.点M的坐标为-4km3+4k2,3m3+4k2.M,O,P三点共线,kO

11、M=kOP,3m3+4k2-4km3+4k2=12.m0,k=-32,此时方程为:3x2-3mx+m2-3=0,则=3(12-m2)0.m(-23,23).则x1+x2=m,x1x2=m2-33.|AB|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=1312(12-m2).又d=|8-2m|32+22=2|m-4|13,1213|AB|2+1316d2=(12-m2)+(m-4)24=-34(m+43)2+523.当m=-43(-23,23)时,1213|AB|2+1316d2取得最大值为523.4.解(1)由题意知F(0,2),所以p=4.所以抛物线C的方程为x2=8y.将x2=8y与x2+

12、y2=4联立得点A的纵坐标为yA=2(5-2),结合抛物线定义得|AF|=yA+p2=25-2.(2)由x2=2py得:y=x22p,y=xp,所以直线l的斜率为x0p,故直线l的方程为y-y0=x0p(x-x0).即x0x-py-py0=0.又由|ON|=|-py0|x02+p2=2得p=8y0y02-4且y02-40,所以|MN|2=|OM|2-|ON|2=x02+y02-4=2py0+y02-4=16y0y02-4y0+y02-4=16y02y02-4+y02-4=16(y02-4+4)y02-4+y02-4=16+64y02-4+y02-4.令t=y02-4,y03,4,则t5,12,

13、令f(t)=16+t+64t,则f(t)=1-64t2;当t5,8时f(t)0,f(t)单调递减,当t(8,12时f(t)0,f(t)单调递增,又f(5)=16+5+645=1695,f(12)=16+12+6412=10030,设交点E(x1,y1),F(x2,y2),所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.假设x轴上存在定点D(x0,0),使得DEDF为定值,所以DEDF=(x1-x0,y1)(x2-x0,y2)=x1x2-x0(x1+x2)+x02+y1y2=x1x2-x0(x1+x2)+x02+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-(x0+k2)

14、(x1+x2)+x02+k2=(2x02-4x0+1)k2+(x02-2)1+2k2,要使DEDF为定值,则DEDF的值与k无关,所以2x02-4x0+1=2(x02-2),解得x0=54,此时DEDF=-716为定值,定点为54,0.2.解(1)SABE=122pp=4.p2=4,p0,p=2.y2=4x.(2)设存在直线l1:x=a满足条件,P(x0,y0),则PQ的中点Mx0+22,y02,|PQ|=(x0-2)2+y02,因此以PQ为直径的圆的半径r=12|PQ|=12(x0-2)2+y02=12x02+4,M点到直线x=a的距离d=x0+22-a.所以所截弦长为2r2-d2=214(

15、x02+4)-(x0+22-a)2=x02+4-(x0+2-2a)2=-4(1-a)x0+8a-4a2,要使弦长与变量x0无关,则令1-a=0即a=1时,弦长为定值2,这时直线方程为x=1.故存在垂直于x轴的定直线x=1,被以PQ为直径的圆截得的弦长为定值2.3.(1)解由题意,得|BF|=|BO|,则BOF为等腰三角形,因为点B的横坐标为12,所以线段OF的中点的横坐标为12,从而点F的横坐标为1,即p2=1,所以p=2,故所求抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明设切线m的方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得k2x2+2(kb-2)x+b2=0,(*)由题意知=4(kb-2)

16、2-4k2b2=0,即b=1k,所以方程(*)的根为x=1k2,从而A1k2,2k.直线OA的方程为y=2kx,由y=kx+1k,x=-1,得N-1,1k-k,由y=2kx,x=-1,得M(-1,-2k),所以以点N为圆心,以|MN|为半径的圆的方程为(x+1)2+(y-1k+k)2=(k+1k)2,令y=0,得(x+1)2+(k-1k)2=(k+1k)2,解得x=1或x=-3,所以圆N经过x轴上的两个定点(1,0)和(-3,0).4.解(1)因为椭圆C的离心率e=22,所以ca=22,即a=2c.因为抛物线y2=42x的焦点F(2,0)恰好是该椭圆的一个顶点,所以a=2,所以b=1.所以椭圆

17、C的方程为x22+y2=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时.因为直线l与圆M相切,故其中的一条切线方程为x=63.由x=63,x22+y2=1,不妨设A63,63,B63,-63,则以AB为直径的圆的方程为(x-63)2+y2=23.(ii)当直线l的斜率为零时.因为直线l与圆M相切,所以其中的一条切线方程为y=-63.由y=-63,x22+y2=1,不妨设A63,-63,B-63,-63,则以AB为直径的圆的方程为x2+(y+63)2=23.显然以上两圆都经过点O(0,0).(iii)当直线l的斜率存在且不为零时.设直线l的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x22+y2=1消去y,得(

18、2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,所以设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1.所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2-2k22k2+1.所以OAOB=x1x2+y1y2=3m2-2k2-22k2+1.因为直线l和圆M相切,所以圆心到直线l的距离d=|m|1+k2=63,整理,得m2=23(1+k2),将代入,得OAOB=0,显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0),综上可知,以AB为直径的圆过定点(0,0).5.(1)解由题意可知:2c=a,2b=23,又a2=b2+c2

19、,有b=3,c=1,a=2,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明由题意知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20),联立直线方程和椭圆方程得y=kx+1,3x2+4y2-12=0,消去y得(4k2+3)x2+8kx-8=0,x1+x2=-8k4k2+3,x1x2=-84k2+3,则有x1+x2=kx1x2,又lBN:y=y2+3x2x-3,lAM:y=y1-3x1x+3,由y=y2+3x2x-3,y=y1-3x1x+3,得y-3y+3=y1-3x1x2y2+3,故y-3y+3=kx1+1-3x1x2kx2+1+3=kx1x2+(1-3

20、)x2kx1x2+(1+3)x1,整理得到y=32kx1x2+x1+x2+3(x1-x2)x1-x2+3(x1+x2)=33(x1+x2)+3(x1-x2)x1-x2+3(x1+x2)=3.故点T的纵坐标为3.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题1.(1)解显然直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y+2=k(x-1),与y2=4x联立,消去x整理得y2-4ky-8k-4=0,令=0,即-4k2-4-8k-4=0,解得k=-1,所以,直线l的方程为y=-x-1.(2)证明由题意知,两直线BM,BN的斜率互为相反数,设直线BM的方程为y-2=t(x-1),与y2=4x联立,消去x整理得y2-4

21、ty+8t-4=0,则2yP=8t-4yP=4t-2,从而Pt2-4t+4t2,4-2tt,将t换成-t,得Qt2+4t+4t2,-2t-4t,kPQ=4-2tt-2t-4tt2-4t+4t2-t2+4t+4t2=8t-8tt2=-1=kl,所以,直线PQ与l平行.2.解(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由y=k(x

22、-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN.综上,ABM=ABN.3.解(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以|F2D|=|F2C|且F1ECF2,所以F2DC=F2CD

23、=EF1D,所以|EF1|=|ED|,所以|EF1|+|EF2|=|ED|+|EF2|=|DF2|,又因为圆F2的半径为8,即|DF2|=8,所以|EF1|+|EF2|=8.(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为x216+y212=1(y0),设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆化简得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2=-16k24k2+3,x1x2=16k2-484k2+3,所以k1+k2=y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2=(2y0-4k)x

24、0+(2k-kx0-y0)(x1+x2)+2kx1x2x02-x0(x1+x2)+x1x2=8y0k2(x0+2)-12k(x0+8)+6x0y04k2(x0+2)2+3x02-48,因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,因为k3=y0+6kx0+8,所以2y0+6kx0+8=8y0k2(x0+2)-12k(x0+8)+6x0y04k2(x0+2)2+3x02-48,化简得24k3(x0+2)2-24k2y0(x0+2)+24k(x0+2)2-24y0(x0+2)=0,对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,所以存在点N(-2,3),使得k1,k3,k2成等差数列.4.解(1

25、)由椭圆的对称性,不妨设在x轴上方的切点为M,x轴下方的切点为N,则kNE=1,NE的直线方程为y=x-7,因为椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,所以椭圆C1:x24c2+y23c2=1,所以y=x-7,x24c2+y23c2=1,消去y得7x2-87x+28-12c2=0.=0,则c=1,所以椭圆方程为x24+y23=1.(2)设点B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),由x2=4y,即y=14x2,得y=12x,抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x12x+y1-12x12,y1=14x12,y=x12x-y1.点P

26、(x0,y0)在切线l1上,y0=x12x0-y1.同理,y0=x22x0-y2.综合、得,点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程y0=x2x0-y.经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的,直线BC的方程为y0=x2x0-y,点A(1,1)在直线BC上,y0=12x0-1,点P的轨迹方程为y=12x-1.又点P在椭圆C1上,又在直线y=12x-1上,直线y=12x-1经过椭圆C1内一点(0,-1),直线y=12x-1与椭圆C1交于两点.满足条件的点P有两个.5.证明(1)设直线l的方程为y=kx+4,设A(x1,y1),B(x2,y2),x12=4y1,x22=

27、4y2,两式相乘得(x1x2)2=16y1y2.将直线l的方程代入抛物线x2=4y,得x2-4kx-16=0.x1x2=-16,y1y2=16,x1x2+y1y2=0,OAOB=0.OAOB.(2)设直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).联立y=kx+m和x2=4y,得x2-4kx-4m=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4m,k1+k2=y1x1+y2x2=x14+x24=k,联立y=kx+m和x26+y24=1得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-12=0,在=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-12)0(即4+6k2m2)可不求解的情况下,x3+x4=-6km2+3k2,x3x4=3m2-122+3k2,k3+k4=y3x3+y4x4=2k+mx3+mx4=2k+m(x3+x4)x3x4=2k+-6km23m2-12=-8km2-4,所以k1+k2k3+k4=-m2-48是一个与k无关的值.