2021版高考数学（山东新高考版）一轮复习单元质检卷七　立体几何（A） WORD版含解析.docx

1、单元质检卷七立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第14页一、单项选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东济宁一模,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.24+9B.12+9C.12+5D.24+4答案B解析由题意可知,几何体是14个圆锥,所以几何体的表面积1442+21243+141285=12+9.故选B.2.(2019湖北八校联考二,6)设l,m表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,Q表示一个点,给出下列四个命题,其中正确的命题是()Q,lQllm=Q,mllm,l,Qm,Qm,且=m,Q,Ql,ll A.B.C.D.答案D解

2、析错误,错误,正确,正确.故选D.3.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B解析由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积,两个半圆面积,圆柱侧面积的一半,球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r2r+212r2+r2r+124r2=5r2+4r2=16+20,解得r=2.4.(2019安徽定远中学预测卷一)已知四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD是边长为2的正方形,若过点P作平面

3、ABCD的垂线,垂足为四边形ABCD的中心,且四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成的角为60,则四棱锥P-ABCD的高为()A.22B.3C.6D.23答案C解析如图,设高为PO,根据线面角的定义可知PCO是侧棱PC与底面所成的角,据题设分析知,所求四棱锥P-ABCD的高h=22+222tan 60=6.故选C.二、多项选择题(本题共2小题,每小题7分,共14分)5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M,N为线段BC,CC1上的动点,过点A1,M,N的平面截该正方体的截面记为S,则下列命题正确的是()A.当BM=0且0CN1时,S为等腰梯形B.当M,N分别为BC,CC1的中点时,几何体

4、A1D1MN的体积为112C.当M为BC中点且0CN1时,S为五边形D.当M为BC中点且CN=34时,S与C1D1的交点为R1,满足C1R=16答案AB解析对于A,如图所示,当BM=0且0CN1时,由面面平行的性质定理可得,交线A1BQN,且A1BQN,A1Q=BN,所以截面S为等腰梯形,故A正确;对于B,如图所示,BCA1D1,BC面A1D1N,BC面A1D1N,故几何体A1D1MN的体积等于几何体A1D1CN的体积,又几何体A1D1CN的体积等于13A1D1SD1NC=13112112=112,所以几何体A1D1MN的体积为112,故B正确;对于C,如图所示,当CN=0,即点C,N重合时,

5、此时截面S为四边形A1D1CB,不是五边形,故C错误;对于D,如图所示,当CN=34时,延长MN,B1C1交于点P,连接A1P交D1C1于点R,A1D1B1PBC,A1B1C1D1,C1RA1B1=C1PB1P=C1PB1C1+C1P=1BCC1P+1=12MCC1P+1=12NCC1N+1=16+1=17.C1R=17A1B1=17.故D错误.故选AB.6.如图,正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,将ADE,CDF,BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是()A.PDEFB.平面PDE平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面

6、DEF上的投影是DEF的外心答案ABC解析对于A选项,作出图形,取EF中点H,连接PH,DH,由原图知BEF和DEF为等腰三角形,故PHEF,DHEF,所以EF平面PDH,所以PDEF,故A正确;根据折起前后,可知PE,PF,PD三线两两垂直,于是可证平面PDE平面PDF,故B正确;根据A选项可知PHD为二面角P-EF-D的平面角,设正方形边长为2,因此PE=PF=1,PH=22,DH=22-22=322,PD=DF2-PF2=2,由余弦定理得cosPHD=PH2+HD2-PD22PHHD=13,故C正确;由于PE=PFPD,故点P在平面DEF上的投影不是DEF的外心,即D错误.故答案为ABC

7、.三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019山东日照一模,16)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为矩形,矩形的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,且球的表面积为16,则四棱锥P-ABCD 体积的最大值为.答案163解析因为球O的表面积是16,所以S=4R2=16,解得R=2.设矩形ABCD的长、宽分别为x,y,则x2+y2=(2R)22xy,当且仅当x=y时上式取等号,即底面为正方形时,底面面积最大,此时S正方形ABCD=2R2=8.因为点P在球面上,所以当PO底面ABCD时,PO=R,即hmax=R,此时四棱锥P-ABCD体积有最大值为1382=1

8、63.8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现,圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为.答案3232解析由题意,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=43R3,V柱=r2h=R22R=2R3,V柱V球=2R343R3=32.S球=4R2,S柱=2r2+2rh=2R2+2R2R=6R2.S柱S球=6R24R2=32.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面ABC,S

9、AB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=25.(1)求证:平面SAB平面SAC;(2)求二面角B-SC-A的余弦值.(1)证明在BCA中,AB=2,CA=4,BC=25,AB2+AC2=BC2,故ABAC.又平面SAB平面ABC,平面SAB平面ABC=AB,AC平面SAB.又AC平面SAC,所以平面SAB平面SAC.(2)解如图建立空间直角坐标系,A(0,0,0),B(2,0,0),S(1,0,3),C(0,4,0),CS=(1,-4,3),BC=(-2,4,0),AC=(0,4,0),设平面SBC的法向量n=(x,y,z),由-2x+4y=0,x-4y+3z=0,则n=2,1,233.

10、设平面SCA的法向量m=(a,b,c),由4b=0,a-4b+3c=0,m=(-3,0,1),cos=-21919,又二面角B-SC-A的平面角为锐角,二面角B-SC-A的余弦值为21919.10.(15分)(2019山东济宁一模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA底面ABCD, ABC=60,AB=3,AD=23,AP=3.(1)求证:平面PCA平面PCD;(2)设E为侧棱PC上的一点,若直线BE与底面ABCD所成的角为45,求二面角E-AB-D的余弦值.(1)证明在平行四边形ABCD中,ADC=60,CD=3,AD=23,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-

11、2ADCDcosADC=12+3-2233cos 60=9,AC2+CD2=AD2,ACD=90,即CDAC,又PA底面ABCD,CD底面ABCD,PACD,又ACPA=A,CD平面PCA.又CD平面PCD,平面PCA平面PCD.(2)解如图,以A为坐标原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(-3,3,0),P(0,0,3).设E(x,y,z),PE=PC(01),则(x,y,z-3)=(0,3,-3).x=0,y=3,z=3-3,即点E的坐标为(0,3,3-3).BE=(-3,3,3-3),又平面A

12、BCD的一个法向量为n=(0,0,1),sin 45=|cos|=|3-3|3+92+(3-3)2,解得=13.点E的坐标为(0,1,2),AE=(0,1,2),AB=(3,0,0).设平面EAB的法向量为m=(x,y,z),由mAB=0,mAE=0,得x=0,y+2z=0.令z=1,得平面EAB的一个法向量为m=(0,-2,1),cos=mn|m|n|=15=55.又二面角E-AB-D的平面角为锐角,所以,二面角E-AB-D的余弦值为55.11.(15分)(2019北京,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,

13、点F在PC上,且PFPC=13.(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且PGPB=23,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.(1)证明因为PA平面ABCD,所以PACD.又因为ADCD,所以CD平面PAD.(2)解过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).所以PF=13

14、PC=23,23,-23,AF=AP+PF=23,23,43.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则nAE=0,nAF=0,即y+z=0,23x+23y+43z=0.令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以cos=np|n|p|=-33.由题知,二面角F-AE-P的平面角为锐角,所以其余弦值为33.(3)解直线AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且PGPB=23,PB=(2,-1,-2),所以PG=23PB=43,-23,-43,AG=AP+PG=43,-23,23.由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以AGn=-43+23+23=0.所以直线AG在平面AEF内.