2021高考数学大一轮复习 综合测试卷 理 新人教A版.docx

1、综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第17页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在复平面内,复数z满足z(1+i)=1-2i,则z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:z(1+i)=1-2i,z=1-2i1+i=(1-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-i-2i+2i21-i2=-1-3i2=-12-32i,z=-12+32i,故z对应的点位于第二象限.故选B.2.若集合A=x|log12(2x+1)-1,集合B=x|13x-1=x-12x12,B=x|13x9=x|0x2,AB=x0x12,故选A.3.某企业

2、产值在20082017年的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元)如图所示,下列说法正确的是()A.2009年产值比2008年的产值少B.从2011年到2015年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低答案:D解析:A错,2009年的产值比2008年的产值多29565万元;B错;C错,产值年增量的增量最大的不是2017年,应是2010年;D正确,因为增长率等于增长量除以上一年的产值,而上一年的产值不确定,所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低.4.根据下面的程序框图,当输入x

3、为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:B解析:由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为y=bx+a.已知i=110xi=225,i=110yi=1 600,b=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为()A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米答案:

4、C解析:由已知得x=110i=110xi=22.5,y=110i=110yi=160,又b=4,所以a=y-bx=160-422.5=70,故当x=24时,y=424+70=166.故选C.6.若将函数fx=34sin x-14cos x的图象向右平移m(0m)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.56B.6C.23D.3答案:A解析:f(x)=34sinx-14cosx=12sinx-6,图象向右平移m(0ma)=0.5”是“关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件答案:A解析:由P(a)=0

5、.5,知a=1.因为二项式ax+1x23展开式的通项公式为Tr+1=C3r(ax)3-r1x2r=C3ra3-rx3-3r,令3-3r=0,得r=1,所以其常数项为C31a2=3a2=3,解得a=1,所以“P(a)=0.5”是“关于x的二项式ax+1x23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件,故选A.8.古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形如图所示.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3

6、C.p2=p3D.p1=p2+p3答案:A解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为c22,以AB为直径的圆面积为b22,以AC为直径的圆面积为a22.所以S=12ab,S=12b24+12a24-12c24-12ab=12(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,S=12c24-12ab,所以S=S,由几何概型,知p1=p2.9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.若a=3,S为ABC的面积,则S+3cos Bcos C的最大值为()A.3B.2C.2D.3答案:A解析:由cosA=b2+c2-a22bc

7、=-3bc2bc=-32,可知A=56,又a=3,故S=12bcsinA=12asinBsinAasinC=3sinBsinC.因此S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos(B-C),于是当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2答案:C解析:依题意知,f(x)=3x2+a,则13+a+b=3,312+a=k,k+1=3,由此解得a=-1,b=3,k=2,所以2a+b=1.11.定义在R上的偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,且f

8、(-2)=1,则f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,4B.(-,-22,+)C.(-,04,+)D.-2,2答案:A解析:偶函数f(x)在区间0,+)内单调递增,且f(-2)=1,不等式f(x-2)1等价于f(|x-2|)f(-2)=f(2),即|x-2|2.0x4,f(x-2)1的x的取值范围是0,4.故选A.12.(2019全国,理11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案:A解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ

9、x轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设函数f(x)=x2-1,x2,log2x,0x2,若f(m)=3,则实数m的值为.答案:2解析:当m2时,m2-1=3,m2=4,m=2.m2,m=2.当0m2时,log2m=3,m=23=8.0m0,b0)的最大值为12,则2a+3b的最小值为.答案:256解析:根据约束条件绘制可行域,如图所示.将z=ax+by转化为

10、y=-abx+zb,a0,b0,直线y=-abx+zb的斜率为负,最大截距对应最大的z值,易知点A为最大值点.联立方程组3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6,即A(4,6).目标函数z=ax+by的最大值为12,12=4a+6b,即2a+3b6=1,2a+3b=2a+3b62a+3b=136+ba+ab136+2baab=256,当且仅当ba=ab,且2a+3b6=1,即a=b=65时取等号.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)若数列an满足:a1=23,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.(1)证明:数列an+1-an是等差数列;(2)求使1a1

11、+1a2+1a3+1an52成立的最小的正整数n.(1)证明由3(an+1-2an+an-1)=2可得,an+1-2an+an-1=23,即(an+1-an)-(an-an-1)=23,故数列an+1-an是以a2-a1=43为首项,23为公差的等差数列.(2)解由(1)知an+1-an=43+23(n-1)=23(n+1),于是累加求和得an=a1+23(2+3+n)=13n(n+1),故1an=31n-1n+1,因此1a1+1a2+1a3+1an=3-3n+152,可得n5,故最小的正整数n为6.18.(12分)(2019河北衡水中学四调)如图,四棱锥P-ABCD的底面是菱形,PO底面AB

12、CD,O,E分别是AD,AB的中点,AB=6,AP=5,BAD=60.(1)求证:ACPE.(2)求直线PB与平面POE所成角的正弦值.(3)在DC边上是否存在点F,使BF与PA所成角的余弦值为3310?若存在,确定点F的位置;若不存在,说明理由.(1)证明连接BD,则由菱形的性质可得ACBD,结合三角形中位线的性质可知OEBD,故OEAC.因为PO底面ABCD,AC底面ABCD,所以ACOP.因为OPOE=O,所以AC平面POE.因为PE平面POE,所以ACPE.(2)解连接OB,由题意结合菱形的性质易知OPOA,OPOB,OAOB.以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

13、则P(0,0,4),B(0,33,0),O(0,0,0),E32,332,0.所以OP=(0,0,4),OE=32,332,0.设平面POE的一个法向量为m=(x,y,z),则mOP=4z=0,mOE=32x+332y=0,据此可得平面POE的一个法向量为m=(3,-1,0).而PB=(0,33,-4),设直线PB与平面POE所成角为,则sin=|PBm|PB|m|=33243=312986.(3)解存在满足题意的点F,理由如下:由题意可得D(-3,0,0),C(-6,33,0),A(3,0,0),假设满足题意的点F存在,设F(x,y,z),DF=DC(01”的概率.附:K2=n(ad-bc)

14、2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解:(1)在样本数据中,男性好友B类别设为x人,则由题意可知1+x+3+3x+4x=20,解得x=2.故B类别有2人,D类别有6人,E类别有8人,走路步数在500110000步的包括C,D两类别共计9人;女性好友走路步数在500110000步共有16人.用样本数据估计杨老师的微信朋友圈内参与“微信运动”的600名好友中,每天走路步数在500110000步的人数为6009+1640=375.(2)22列联表如下:卫健型进步型总计男14620女81220总计22

15、1840K2的观测值k=40(1412-68)2202022183.6361”包含“x=3,y=1”,“x=3,y=0”,“x=2,y=0”,“x=0,y=2”.P(x=3,y=1)=C73C103C21C31C52=740,P(x=3,y=0)=C73C103C32C52=780,P(x=2,y=0)=C72C31C103C32C52=63400,P(x=0,y=2)=C33C103C22C52=11200.故P(|x-y|1)=740+780+63400+11200=101240.20.(12分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且过点(2,2).(1)求椭圆的标准方

16、程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-b2a2.求OAOB的最值;求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)由题意,知e=ca=22,4a2+2b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2=8得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,(*)x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kOAkOB=

17、-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12.y1y2=-12x1x2=-122m2-81+2k2=-m2-41+2k2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.OAOB=x1x2+y1y2=2m2-81+2k2-m2-41+2k2=m2-41+2k2=4k2+2-41+2k2=2-41+2k2,-2=2-4OAOB-3)上的最小值;(3)若对x-2,kf(x)g(x)恒成立,求实

18、数k的取值范围.解:(1)f(x)=aex(x+2),g(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.f(0)=2a,g(0)=b,2a=b,f(0)=a=g(0)=2,a=2,b=4,f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f(x)=2ex(x+2),由f(x)0得x-2,由f(x)0得x-3,t+1-2.当-3t-2时,f(x)在区间t,-2上单调递减,在区间-2,t+1上单调递增,f(x)min=f(-2)=-2e-2.当t-2时,f(x)在区间t,t+1上单调递增,f(x)min=f(t)=2et(t+1);f(x)min=-2e-2,-3t0,得ex1k

19、,xln1k;由F(x)0,得xln1k.F(x)在区间-,ln1k上单调递减,在区间ln1k,+内单调递增.当ln1ke2时,F(x)在区间-2,+)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=2e2(e2-k)-2,即1k0,满足F(x)min0.综上所述,满足题意的k的取值范围为1,e2.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修44:坐标系与参数方程22.(10分)(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=-1+tcos,y=2+tsin(t为参数),其中k+2,kZ.以坐标原点为极点,x轴

20、正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(1)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,点P(-1,2),求|PA|2+|PB|2的取值范围.解:(1)曲线C1的普通方程为y=(x+1)tan+2,其中k+2,kZ;曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=1.(2)将x=-1+tcos,y=2+tsin代入(x-1)2+(y-2)2=1,化简得t2-4tcos+3=0,因为0,所以cos234.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则有t1+t2=4cos,t1t2=30,|PA|2+|PB|2=(

21、|PA|+|PB|)2-2|PA|PB|=(|t1|+|t2|)2-2|t1|t2|=(t1+t2)2-2t1t2=16cos2-6(6,10,所以|PA|2+|PB|2的取值范围是(6,10. 选修45:不等式选讲23.(10分)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.解:(1)f(x)=-3x,x-12,x+2,-12x1,3x,x1.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在区间0,+)内成立,因此a+b的最小值为5.