2021高考数学理科（全国版）一轮复习考点考法精练：第五章第二讲平面向量的数量积及应用 WORD版含解析.docx

1、第二讲平面向量的数量积及应用1.2020陕西省部分学校摸底检测已知向量a,b的夹角为60,|a| =2,|b| =4,则(a-b)b =()A.-16B.-13C.-12D.-102.2020山东省统考设向量 a =(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且( a-b)c,则 =()A.3B.2C.-2D.-33.2020江西红色七校第一次联考在ABC中,|AB+AC| =|AB-AC|,AB =4,AC =3,则BC在CA方向上的投影是()A.4B.3C. - 4D. - 34.新角度题已知向量 a =(-1,m),b=(2,-4),c =(m,6),若 ab,则b+c与 a的夹角为(

2、)A.6B.4C.2D.35.2020惠州市二调已知 a,b为互相垂直的单位向量,若c = a-b,则cos =()A. - 22B.22C. - 33D.336.2020广东七校联考已知向量 a,b的夹角为60,| a| =2,|b| =1,则| a-b| =()A.3B.5C.23D.77.2019云贵川渝四省名校第二次联考若向量 a =(1,2),b =(1,m),且 a-b与b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(-,2) C.(-2,2)D.(-,0)(2,+)8.2019合肥市高三调研检测已知向量 a,b满足| a| =1,|b| =2,| a+b| =3,则下

3、列说法正确的是()A. ab =-2B.( a+b)( a-b) C. a与b的夹角为3D.| a-b| =79.2020四省八校联考设向量 a =(x,1),b =(-1,2), a b,则| a -2b| =.10.2020长春市第一次质量监测边长为2的正三角形ABC中,点P满足AP =13(AB+AC),则BPBC =.11.2020山东威海模拟若P为ABC所在平面内一点,且|PA-PB| =|PA+PB-2PC|,则ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.2020大同市高三调研在直角三角形ABC中,C =2,AC =3,在ABC所在的平面内取

4、点D,E,使BD =2DA,AB =3BE,那么CDCA+CECA =()A. - 6B.6C. - 3D.313.2020洛阳市第一次联考若向量 a,b,c满足| a| =|b| =1, ab =-12, =3,则|c|的最大值为()A.22B.12C.1D.214.2020唐山市模拟已知e1,e2是两个单位向量,R时,|e1+e2|的最小值为32,则|e1+e2| =()A.1B.3C.1或3D.215.2020武汉市部分学校质量监测已知平面向量 a,b,e满足|e| =1, ae =1,be =-1,| a-b| =4,则 ab的最小值为.16.2019济南市质检已知锐角ABC外接圆的半

5、径为1,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B =4,则BABC的取值范围是.17.2019唐山市高三摸底考试已知e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2| =3,则|e1-e2| =.18.2019南昌市重点中学高三段考已知ABC中,AB =4,AC =5,点O为ABC所在平面内一点,满足|OA| =|OB| =|OC|,则|OABC| =.19.2019南昌市三模已知非零向量 a =(1,1-x),b =(0,x-4),则“向量 a,b的夹角为锐角”是“x(2,4)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件20.新角度题如图5-2-1,在圆O中,弦

6、AB的长为3,圆上的点C满足OA+OB+OC =0,那么AC在OA方向上的投影为()图5-2-1A.12B. - 12C.32D.-3221.双空题已知平面向量 a,b,c满足| a| =|b| =|c| =1,若 ab =12,则( a+b)(2b-c)的最小值是,最大值是.第二讲平面向量的数量积及应用1.C(a - b)b=ab - b2=|a|b|cos 60 - |b|2=2412 - 42= - 12,故选C.2.A解法一由题意知a - b=(1+,1 - 3),c=(2,1).因为(a - b)c,所以2(1+)+(1 - 3)=0,解得=3,故选A.解法二由(a - b)c得(a

7、 - b)c=0,即ac - bc=0,则3 - ( - 2+3)=0,解得=3,故选A.3.D|AB+AC|=|AB - AC|,两边同时平方,可得ABAC=0,即ABAC,BC在CA方向上的投影是BCCA|CA|=|BC|cos= - |CA|= - 3.故选D.4.C因为ab,所以m=2,所以a=( - 1,2),c=(2,6),b+c=(4,2),所以(b+c)a= - 4+4=0,则(b+c)a,故b+c与a的夹角为2.故选C.5.A解法一cos=bc|b|c|=b(a - b)(a - b)2=ba - b2a2 - 2ab+b2= - 12= - 22,故选A.解法二依题意可得|

8、a|=1,|b|=1,ab.如图D 5 - 2 - 5,画出a,b,c三个向量构成的AOB,图D 5 - 2 - 5则AOB为等腰直角三角形,所以cos=cos 45=22,所以cos= - 22.故选A.6.A|a - b|=(a - b)2=a2 - 2ab+b2=4 - 2|a|b|cos60+1=3,故选A.7.D由a - b与b的夹角为钝角,即(a - b)b=(0,2 - m)(1,m)=m(2 - m)0,解得m2,此时a - b与b不可能共线,故选D.8.D解法一因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,所以(a+b)(a - b)=a2 - b2=1 - 4= - 3,|a

9、+b|2=a2+2ab+b2=3,所以ab= - 1.又ab=12cos= - 1,所以a与b的夹角为23,故|a - b|2=a2 - 2ab+b2=1+2+4=7,所以|a - b|=7.故选D.解法二因为|a|=1,|b|=2,|a+b|=3,所以(a+b)(a - b)=a2 - b2=1 - 4= - 3,以a,b为邻边的平行四边形的一条对角线与a垂直,且a,b的夹角为23,所以ab=12cos= - 1,故|a - b|=(a - b)2=a2 - 2ab+b2=7.故选D.9.5因为ab,所以ab= - x+2=0,x=2,所以a - 2b=(2,1) - 2( - 1,2)=(

10、4, - 3),则|a - 2b|=5.10.2因为BP=AP - AB=13(AB+AC) - AB=13AC - 23AB,所以BPBC=13ACBC - 23ABBC=13|AC|BC|cos 60 - 23|AB|BC|cos 120=132212+232212=2.11.C因为|PA - PB|=|PA+PB - 2PC|,所以|BA|=|(PA - PC)+(PB - PC)|=|CA+CB|,即|CA - CB|=|CA+CB|,两边同时平方,整理得CACB=0,所以CACB,所以ABC为直角三角形.故选C.12.D由BD=2DA,得CD - CB=2(CA - CD),得CD=

11、23CA+13CB.由AB=3BE,得CB - CA=3(CE - CB),得CE= - 13CA+43CB.C=2,即CACB,所以CACB=0.则CDCA+CECA=(23CA+13CB)CA+( - 13CA+43CB)CA=23CA2 - 13CA2=3,故选D.13.D因为|a|=|b|=1,ab= - 12,所以向量a与b的夹角为23.如图D 5 - 2 - 6所示,图D 5 - 2 - 6令OA=a,OB=b,OC=c,则CA=a - c,CB=b - c,AOB=23,由=3,得ACB=3,所以AOB+ACB=,所以四边形OACB有外接圆,|c|=|OC|,所以|OC|的最大值

12、即为四边形OACB外接圆的直径.因为|OA|=|OB|=1,AOB=23,所以由余弦定理得|AB|=3,设四边形OACB的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=|AB|sinAOB=2,所以|c|的最大值为2,故选D.14.C设向量e1,e2的夹角为,则e1e2=cos ,因为|e1+e2|=1+2+2cos=(+cos)2+1 - cos2,且当= - cos 时,|e1+e2|min=1 - cos2=32,解得cos =12,|e1+e2|=2+2cos,则|e1+e2|的值为1或3,故选C.15. - 4由已知可设e=(1,0),a=(1,a),b=( - 1,b),所以ab= - 1+

13、ab.又|a - b|=4,所以|a - b|2=22+(a - b)2=16,(a - b)2=12,只考虑ab0,不妨设a0,则ab= - 1+ab= - 1 - ( - a)b - 1 - ( - a+b2)2= - 4(当且仅当b= - a且(a - b)2=12时取等号),即ab的最小值为 - 4.16.(2,1+2asinA=csinC=2,a=2sin A,c=2sin C=2sin(34 - A),BABC=22ac=222sin A2sin(34 - A)=2sin A(cos A+sin A)=2sin Acos A+2sin2A=sin 2A - cos 2A+1=2si

14、n(2A - 4)+1.0A2,034 - A2,4A2,42A - 434,故22sin(2A - 4)1,故BABC(2,1+2.【易错警示】错解:0A2, - 42A - 434,故 - 22sin(2A - 4)1,故BABC(0,1+2.错解错在对角A的范围挖掘不到位.ABC是锐角三角形,因此应保证角A,B,C都是锐角,故0A2,034 - A2,4A0,且a,b不共线,故(1 - x)(x - 4)0,x - 40,解得1x4,因为x|2x4x|1x4,所以“向量a,b的夹角为锐角”是“x(2,4)”的必要不充分条件.故选B.20.D解法一连接BC,由已知得O为ABC的重心,A,B

15、,C三点均匀分布在圆周上,ABC为正三角形,OAC=30.又弦AB的长为3,所以AC在OA方向上的投影为|AC|cos 150=3( - 32)= - 32,故选D.解法二由OA+OB+OC=0,知A,B,C三点均匀分布在圆周上,建立如图D 5 - 2 - 8所示的平面直角坐标系,图D 5 - 2 - 8则A(0,1),O(0,0),C(32, - 12),所以OA=(0,1),AC=(32, - 32),所以OAAC=(0,1)(32, - 32)= - 32,则AC在OA方向上的投影为OAAC|OA|= - 32,故选D.21.3 - 33+3由|a|=|b|=1,ab=12,可得=3,令OA=a,OB=b,以OA的方向为x轴的正方向建立如图D 5 - 2 - 9所示的平面直角坐标系,则a=OA=(1,0),b=OB=(12,32).图D 5 - 2 - 9设c=OC=(cos ,sin )(02),则(a+b)(2b - c)=2ab - ac+2b2 - bc=3 - (cos +12cos +32sin )=3 - 3sin(+3).因为 - 1sin(+3)1,所以(a+b)(2b - c)的最小值和最大值分别为3 - 3,3+3.