2022年新教材高考数学一轮复习 考点规范练45 双曲线（含解析）新人教版.docx

1、考点规范练45双曲线一、基础巩固1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=13.已知离心率为52的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的

2、点,且OMMF2,O为坐标原点,若SOMF2=16,则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.44.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|等于()A.2B.4C.6D.85.已知双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使sinPF2F1sinPF1F2=e,则F2PF2F1的值为()A.3B.2C.-3D.-26.已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若点F1关于双曲线E的渐近线的对称点P满足4OPF2=POF2(O为坐标原点

3、),则双曲线E的离心率为()A.5B.23C.3D.2337.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=,b=.8.如图,F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线与圆x2+y2=a2(a0)相切,切点为T,且交双曲线的右支于点P,若2F1T=TP,则双曲线C的离心率e=.9.分别求满足下列条件的方程:(1)焦点在x轴上,长轴长为10,焦距为4的椭圆的标准方程;(2)一个焦点为(-3,0),渐近线方程为y=2x的双曲线的标准方程.10.已知双曲线C的离心率为3,且过点(3,0),过双曲线C的右

4、焦点F2,作倾斜角为3的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)求AOB的面积.二、综合应用11.(多选)(2020山东,9)已知曲线C:mx2+ny2=1.()A.若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n0,则C是圆,其半径为nC.若mn0,则C是两条直线12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,点P在双曲线C的渐近线上,PF1PF2=0,MPN=60,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=22xB.y=32xC.y=2xD.y=233x13.已知双曲线C1:x2a2-y2b2=1(

5、a0,b0),圆C2:x2+y2-2ax+34a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是()A.1,233B.233,+C.(1,2)D.(2,+)14.已知双曲线C的中心在原点,F(-2,0)是一个焦点,过F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且AB的中点为N(-3,-1),则双曲线C的方程为.15.已知以直线y=3x为渐近线的双曲线D:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则|PF1|-|PF2|PF1|+|PF2|的取值范围是.16.设双曲线C:x2-y2b2=1(b0)的右焦点为F

6、,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若PQF的周长的最小值为8,则双曲线C的离心率为,此时,点P的坐标为.17.某届世界人工智能大会举办后,某高校的兴趣小组受大会展示项目的启发,策划开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过点O的直线l与直线AB的夹角为45,机器猫在直线l上运动,机器鼠沿某一曲线运动,且始终有接收到点A的信号比接收到点B的信号晚8v0秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)假设机器鼠在距离直线l不超过

7、1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险?三、探究创新18.已知一族双曲线En:x2-y2=n1020(nN*,且n1 020),设直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+a1 020=.考点规范练45双曲线1.A若双曲线C的方程为x2-y24=1,则渐近线方程为y=2x;若渐近线方程为y=2x,则双曲线C的方程为x2-y24=(0).所以“双曲线C的方程为x2-y24=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=2x”的充分不必要条件.故

8、选A.2.D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率为5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-y24=1.故选D.3.B由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=bax上,由题意可知|F2M|=bca2+b2=b,所以|OM|=c2-b2=a.由SOMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,ca=52,所以a=8,b=4,c=45,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.4.B由双曲线C的方程,得a=1,c=2,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2.在PF

9、1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|=22+|PF1|PF2|=(22)2,解得|PF1|PF2|=4.故选B.5.B由题意及正弦定理得sinPF2F1sinPF1F2=|PF1|PF2|=e=2,|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cosPF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=4+16-16224=

10、14,F2PF2F1=|F2P|F2F1|cosPF2F1=2414=2.故选B.6.D不妨设点F1与点P关于渐近线y=-bax对称,由题意可知|OP|=|OF1|=|OF2|,OPF2=PF2O,OPF1=PF1O.设OPF2=,则OPF1+PF1O=POF2=4,由三角形的内角和定理可知6=180,故=30,PF2O=30,PF1PF2.设PF1与渐近线y=-bax的交点为M,则|F1M|=12|PF1|=14|F1F2|=c2,即点F1(-c,0)到直线bx+ay=0的距离为c2,|-bc|a2+b2=c2,即b=c2,e=ca=cc2-b2=233.7.12由2x+y=0,得y=-2x

11、,所以ba=2.又c=5,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.8.132如图,连接OT,PF2,则OTPF1,过F2作F2QOT,因为2F1T=TP,|OF1|=c,|OT|=a,所以|TF1|=|TQ|=|QP|=b,|QF2|=2a,|PF2|=|PF1|-2a=3b-2a.在RtPQF2中,(3b-2a)2=(2a)2+b2,整理得ba=32.所以e=c2a2=1+b2a2=132.所以双曲线C的离心率e=132.9.解(1)因为椭圆的长轴长为10,所以a=5.由椭圆的焦距为4,可得c=2,则b=21.又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为x225+y221=1.(2)双曲线的一个焦点为

12、(-3,0),则c=3.又渐近线方程为y=2x,所以ba=2.又a2+b2=c2,所以a2=1,b2=2.所以双曲线的标准方程为x2-y22=1.10.解(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=3,ca=3,b2=c2-a2,解得a2=3,b2=6,所以双曲线C的方程为x23-y26=1.(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=3(x-3).设点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=3(x-3),2x2-y2=6,整理可得x2-18x+33=0,则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=3(x1-3)-(x2-3)=3(x1-x2),所以SAOB=12

13、|OF2|y1-y2|=1233(x1+x2)2-4x1x2=332182-433=36.故AOB的面积为36.11.ACDmx2+ny2=1,x21m+y21n=1.mn0,1n1m0,C是焦点在y轴上的椭圆,A正确;m=n0,x2+y2=1n,即C是圆,r=nn,B错误;由mx2+ny2=1,得x21m+y21n=1,mn0时,有ny2=1,得y2=1n,即y=nn,表示两条直线,D正确,故选ACD.12.D连接OP(图略),由PF1PF2=0,可得PF1F2为直角三角形,故|OP|=12|F1F2|=c.不妨设点P在渐近线y=bax上,且在第一象限,在OPN中,tanPON=ba,则co

14、sPON=ac.又|ON|=a,则|PN|2=|OP|2+|ON|2-2|OP|ON|cosPON,解得|PN|=b.由|OP|2-|ON|2=|PN|2知PNON,即PNMN.故在RtPMN中,tanMPN=|MN|PN|=2ab=3,故ba=233.故所求渐近线方程为y=233x.13.A由双曲线C1的方程可得渐近线方程为y=bax,即bxay=0,圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=14a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=12a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得|ab|a2+b22b,即c24b2.又b2=c2-a2,所以c24(c2-a2),即c243a2,

15、所以e=ca1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为1,233.故选A.14.x23-y2=1因为F(-2,0),N(-3,-1),所以直线AB的斜率k=1.设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a2+b2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-6,y1+y2=-2,y1-y2x1-x2=k=1.由x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,得(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即-6a2+2b2=0,所以a2=3b2.所以a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为x23-y2=1.15.0,12双曲线D:x2

16、a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程是y=3x,ba=3,可得b=3a,c=a2+b2=2a.P为双曲线D右支上一点,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|F1F2|=2c,0|PF1|-|PF2|PF1|+|PF2|2a2c=ac.c=2a,ac=12,|PF1|-|PF2|PF1|+|PF2|的取值范围是0,12.16.5(-52,1)如图,设F为双曲线C的左焦点,连接PF,QF,则|QF|=|QF|,|PF|=|PF|+2,所以PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF|QF|=c2+b2,所以PQF的周长l

17、2c2+b2+2.因为PQF的周长的最小值为8,所以2c2+b2+2=8,又b2+1=c2,所以b=2,c=5,所以双曲线C的离心率为ca=5.当PQF的周长取最小值时,点P在直线QF上,易知直线QF的方程为y=255x+2,由y=255x+2,x2-y24=1,解得x=-52,y=1或x=5,y=4(舍去).故点P的坐标为-52,1.17.解(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得|PA|v0-|PB|v0=8v0,即|PA|-|PB|=81.5,故机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.18.10218双曲线En:x2-y2=n1020(nN*,且n1020)的两条渐近线为y=x,y=-x,它们互相垂直.因为直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,所以点An的坐标为(2,4-n1020),又点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,所以不妨令|AnBn|=2-4-n10202,|AnCn|=2+4-n10202,所以an=12|AnBn|AnCn|=n10204=n4080,所以a1+a2+a3+a1020=14080+24080+10204080=1+1020210204080=10218.