2022年高考数学一轮复习 考点规范练48 直线与圆锥曲线（含解析）新人教A版（文）.docx

1、考点规范练48直线与圆锥曲线基础巩固1.已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.54D.5答案:D解析:不妨设x2a2-y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1得ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为()A.y=32xB.y=22xC.y=23

2、xD.y=2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b2a,SAOB=83,122b2a1=83,b2a=83.a2+b2=1,解得a=13,b=223,双曲线的渐近线方程为y=bax=22x.故选B.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.34,+B.34,+C.(2,+)D.(-,-1)答案:A解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,

3、=4+8m0,m-12.又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m0,得b34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+.4.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.33答案:C解析:由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MNl,

4、且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.5.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105答案:C解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(

5、t2-1)5=4255-t2,当t=0时,|AB|max=4105.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-12,则m的值为()A.32B.52C.2D.3答案:A解析:由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2x12,y2=2x22,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1b0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).

6、(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22.故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1消y,得3x2+4mx+2m2-8=0,则=96-8m20,所以-23m0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1

7、)由已知得M(0,t),Pt22p,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.10.设O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,离心率为255.直线l:y=kx+

8、m(m0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),PAPB=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.解:(1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为AFF1的中位线.OM=12AF1,MF=12AF,|OM|+|MF|=|AF|+|AF1|2=a=5,e=ca=255,c=25,b=5,椭圆C的方程为x225+y25=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立y=kx+m,x225+y25=1消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.0,x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-251+5k2

9、,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=5k2m2-25k2-10k2m2+m2+5k2m21+5k2=-25k2+m21+5k2,P(0,1),PAPB=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,5m2-251+5k2+-25k2+m21+5k2-2m1+5k2+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-53(舍去).直线l过定点(0,2).能力提升11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线

10、与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x23-y29=1B.x29-y23=1C.x24-y212=1D.x212-y24=1答案:A解析:由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=bax.如图,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作FECD于点E.由题易知EF为梯形ABCD的中位线,所以|EF|=12(d1+d2)=3.又因为点F(c,0)到直线y=bax的距离为|bc-0|a2+b2=b,所以b=3,b2=9.因为e=ca=2,a2+b2=c2,所以a2=3,所以双曲线方程为x23-y29=1.故选A.12.设双曲

11、线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案:(27,8)解析:由题意,知a=1,b=3,c=2,则e=ca=2.设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设P在右支上,由F1PF2为锐角三角形,可知1x|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)242,解得x72,所以72x0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标缩为2a,则C的离心率为.答案:2+3解析:不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y=ba(x-c),与C交于P(x0,y0).x0=2a,y0=ba(

12、2a-c).又P(x0,y0)在双曲线C上,(2a)2a2-b2a2(2a-c)2b2=1.整理得a2-4ac+c2=0,设双曲线C的离心率为e,故1-4e+e2=0.e1=2-3(舍去),e2=2+3.即双曲线C的离心率为2+3.14.(2020浙江,21)如图,已知椭圆C1:x22+y2=1,抛物线C2:y2=2px(p0),点A是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A的直线l交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M不同于A).(1)若p=116,求抛物线C2的焦点坐标;(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.解:(1)由p=116,得C2的焦点坐标是132,0.(2

13、)由题意可设直线l:x=my+t(m0,t0),点A(x0,y0).将直线l的方程代入椭圆C1:x22+y2=1,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以点M的纵坐标yM=-mtm2+2.将直线l的方程代入抛物线C2:y2=2px,得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-2pt,解得y0=2p(m2+2)m,因此x0=2p(m2+2)2m2.由x022+y02=1,得1p2=4m+2m2+2m+2m4160,所以当m=2,t=105时,p取到最大值1040.高考预测15.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(3,0),点P坐标

14、为(-2,2),且直线PA1x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知a=2,c=3,所以b=1.所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)是定值,定值为-14.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),设直线AB的方程为x=my-2m-2,联立x2+4y2=4,x=my-2m-2(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4,因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).又Q在直线AA2上,所以t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2,所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2)=-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=-y1y2(m2+2m)y1y2-2(y1+y2)+4=-14.