2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册检测训练：1-2-4 二面角 WORD版含答案.docx

1、课时评价作业基础达标练1.若平面 的一个法向量为 ,平面 的一个法向量是 ,则平面 与 所成的角等于()A.B.C.D.答案：2.已知平面 内有一个以 为直径的圆,点 在圆周上（异于点 ）,点 分别是点 在 ,上的射影,则()A.是二面角 的平面角B.是二面角 的平面角C.是二面角 的平面角D.是二面角 的平面角答案：3.在边长为 的正三角形 中,于点,沿 折成二面角 后,这时二面角 的大小为()A.B.C.D.答案：4.如图,在直三棱柱 中,为 上一点若二面角 的大小为 ,则 的长为()A.B.C.2D.答案：5.（多选）在正方体 中,下列说法中正确的是()A.B.与 所成的角为 C.二面角

2、 的平面角为 D.与平面 所成的角为 答案：;解析：5.如图,对于,连接 ,则 ,故 A 中说法正确;对于 连接 与 所成的角为 为等边三角形,与 所成的角为 故 B 中说法正确;对于 平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 ,是二面角 的平面角,是等腰直角三角形,故 C 中说法正确;对于 平面 平面 是 与平面 所成的角,故 D 中说法错误6.一圆柱形容器,底面半径为 1,高为 3,里面装有一个小球,小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一平面,使得 与小球恰好相切,则 与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为()A.B.C.D.答案：7.如图,在正四棱锥 中,若 的面积

3、与正四棱锥的侧面积的比为 ,则侧面与底面所成的二面角为.答案：解析：7.设正四棱锥的底面边长为,侧面与底面所成的二面角为,的高为,侧面的高为 ,则 即 .8.如图,平面 ,则二面角 的余弦值为.答案：9.长方体 中,.求：（1）二面角 的大小;（2）的面积答案：（1）如图所示,过点 作 为垂足,连接 ,由三垂线定理知,为二面角 的平面角,在 中,.又在 中,二面角 的大小为 .（2）易知 又 .10.（2021 辽宁朝阳高二月考）如图,四棱锥 中,是 的中点,平面 .（1）求证：平面 平面 ;（2）求二面角 的正弦值.答案：（1）证明：,由余弦定理得 ,平面 ,平面 ,平面 ,平面 ,平面 平

4、面 .（2）以 为坐标原点,过点 且平行于 的直线为 轴,过点 且平行于 的直线为 轴,所在直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由 ,知 ,则 ,则 设平面 的一个法向量为 ,则 即 令 可得 ,设平面 的一个法向量为 ,则 即 令 可得 则二面角 的正弦值为 .素养提升练11.（2021 北京四中高二期中）、分别是正三角形 的边 、的中点,沿 把正三角形折成 的二面角（如图）,则 的正切值为()A.B.C.D.以上答案均不对答案：11.解析：11.如图所示,取 的中点,连接 ,交 于点,连接 .因为三角形 为正三角形,所以 ,又点、分别是 、的中点,所以 ,所以 ,因为 平面 ,所以

5、平面 ,则 ,所以 .所以二面角 的平面角为 ,又 ,所以 为正三角形.设正三角形 的边长为 ,则 ,所以 .12.（多选）（2020 山东德州第一中学高二月考）如图,在直三棱柱 中,是 的中点,点 在棱 上且靠近 若 ,则()A.B.C.D.二面角 的余弦值为 答案：;解析：12.依题意可知 ,所以以 为原点,所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 ,则 ,所以 因为 所以 即 解得 或 （舍去）,所以 ,则 ,故选项 A 不正确;,故选项 B 正确;因为 所以 ,故选项 C 不正确;易知平面 的一个法向量为 ,设平面 的一个法向量为 又 则 即 取 ,则 ,所以 ,显然二面角

6、为锐角,所以二面角 的余弦值为 ,故选项 D 正确.13.正三角形 与正三角形 所在平面垂直,则二面角 的余弦值为.答案：解析：13.设 是 的中点,连接 ,根据面面垂直的性质定理可知 平面 ,平面 ,所以 两两垂直.以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设两个正三角形的边长为 2,则 ,.所以 ,.设平面 的一个法向量为 ,则 令 ,则 ,故 .易知平面 的一个法向量是 .由图可知二面角 为锐角,设为,则 .即二面角 的余弦值为 .14.如图,在四面体 中,.若 为线段 上的动点（不包含端点）,则二面角 的余弦值的取值范围是答案：解析：14.以 的中点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

7、又 ,设点 到平面 的距离为,则 ,又 ,设 ,易知平面 的一个法向量为 ,设平面 的一个法向量为 ,则 令 则 平面 的一个法向量为 ,即二面角 的余弦值的取值范围是 .15.（2020 江西景德镇一中高二期中）已知三棱锥 （如图 1）的平面展开图（如图 2）中,四边形 为边长等于 2 的正方形,和 均为正三角形,在三棱锥 中:（1）证明：平面 平面 ;（2）若点 在棱 上运动,当直线 BM 与平面 所成的角最大时,求二面角 的余弦值.答案：（1）证明：设 的中点为,连接 .如图.由题意,得 ,则 .因为在 中,为 的中点,所以 ,因为在 中 ,所以 .因为 ,平面 ,所以 平面 ,因为 平

8、面 ,所以平面 平面 .（2）连接 ,由（1）知,又 ,平面 ,所以 平面 ,所以 是直线 与平面 所成的角,且 ,所以当 最短,即 是 的中点时,最大,因为 平面 ,所以 又 ,于是以 为原点,所在直线分别为 轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,所以 .设平面 的一个法向量为 ,由 得 令 ,得 ,即 .设平面 的一个法向量为 ,由 得 令 ,得 ,即 .则 .由图可知,二面角 为锐角,故余弦值为 .创新拓展练16.（2020 江苏扬州大学附属中学高二月考）如图所示,正方形 与梯形 所在的平面互相垂直,（1）当 时,求证：平面 ;（2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ,求

9、的值解析：命题分析本题以不规则几何体为载体,考查线面平行的证明和根据二面角的大小求参数值,同时考查学生运算能力和分析问题、解决问题的能力.答题要领（1）取 的中点,连接 、,证明出四边形 为平行四边形,可得出 ,利用线面平行的判定定理可得出 平面 .（2）证明 平面 然后以点 为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,分别求出平面 、平面 的一个法向量,利用空间向量法可得出关于实数 的等式,由此可解得实数 的值.答案：详细解析（1）证明：取 的中点,连接 、,如图.当 时,为 的中点,又 是 的中点,且 ,且 ,且 ,四边形 是平行四边形,平面 平面 ,平面 .（2）四边形 为正方形

10、,平面 平面 ,平面 平面 平面 ,平面 ,又 ,以点 为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系,如图所示.则 ,则 ,设平面 的一个法向量为 ,则 即 令 ,可得 ,平面 的一个法向量为 ,易知 为平面 的一个法向量,由题意可得 ,即 ,即 ,解得 或 ,又 ,.即当 时,平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .方法感悟利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系,写出二面角对应的两个半平面中对应点的坐标;（2）设出法向量,根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量,求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面,则直接取法向量即可）;（3）计算两个法向量的余弦值,结合立体图形中二面角的实际情况,判断二面角是锐角还是钝角,从而得到二面角的余弦