湘豫名校联考（2022年3月）数学理科答案.pdf

1、书数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 湘 豫 名 校 联 考年月数 学 理 科 参 考 答 案一 选 择 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 题 号答 案解 析 特 称 命 题 的 否 定 为 全 称 命 题 将 变 为 变 为 即 可 故 选 解 析 因 为 集 合 所 以 故 选 解 析 因 为 所 以 方 法 一 即 故 选 方 法 二 复 数 对 应 的 点 在 以 为 圆 心 为 半 径 的 圆 上 所 以 故 选 解 析 球 与 垃 圾 篓 组 合 体 的 轴 截 面 图 如 右

2、 图 所 示 根 据 题 意 得 垃 圾 篓 的 高 为 槡槡 所 以 球 心 到 上 底 面 的 距 离 为槡设 篮 球 的 半 径 为 则 故 篮 球 的 表 面 积 为 故 选 解 析 绘 制 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 如 图 中 阴 影 部 分 所 示 则 按 照 斜 二 测 画 法 直 角 梯 形 的 直 观 图 为 梯 形 且 两 底 边 长 分 别 为 高 为 槡所 以 直 观 图 的 面 积 为 槡 槡 故 选 解 析 所 求 的 六 位 数 分 三 类 第 一 类 一 个 数 字 出 现 次 另 外 两 个 数 字 各 出 现 次 有 个 第 二 类 一 个

3、 数 字 出 现 次 一 个 数 字 出 现 次 一 个 数 字 出 现 次 有 个 第 三 类 每 个 数 字 出 现 次 有 个 所 以 共 有 个 满 足 题 意 的 六 位 数 故 选 解 析 根 据 轮 子 的 正 视 图 和 侧 视 图 可 得 该 轮 子 的 形 状 是 底 面 直 径 为 厘 米 高 为 厘 米 的 圆 柱 体 挖去 一 个 底 面 是 正 方 形 高 为 厘 米 的 直 四 棱 柱 而 构 成 所 以 其 表 面 积 为 圆 柱 的 表 面 积 加 上 直 四 棱 柱 的 侧 面积 减 去 上 下 两 个 正 方 形 的 面 积 所 以 解 得 或 舍 去 所

4、 以 恰 好 落 到 正 方 形 中 的 概 率 为 故 选 解 析 因 为 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 所 以 即 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 所 以 化 简 得 因 为 所 以 或 解 得 或 故 选 解 析 以 的 中 点 为 原 点 所 在 直 线 为 轴 的 垂 直 平 分 线 为 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 图略 由 椭 圆 的 定 义 知 点 的 轨 迹 是 以 为 左 右 焦 点 的 椭 圆 不 含 长 轴 两 端 点 其 标 准 方 程 为 设 则 槡 槡 槡 因 为 且 所 以 当 时 的 最 大 值 为槡 故 选 解 析 因 为 所 以 曲

5、 线 在 点 处 的切 线 的 斜 率 所 以 切 线 的 方 程 为 所 以 所 以 数 列 是 首 项 为 公 比 为 的 等 比 数 列 所 以 所 以 由 解 得 因 为 所 以 所 以 数 列中 的 最 小 项 为 故 选 解 析 因 为 槡槡 槡槡 所 以 槡 因 为 所 以 由 正 弦 定 理 得 槡 由 于 为 锐 角 三 角 形 故 所 以 所 以 所 以 槡 槡槡故 选 解 析 易 知 设 则 设 则 所 以 在 上 单 调 递 减 所 以 即 所 以 在 上 单 调 递 减 因 为 且 所 以 因 为 为 增 函 数 所 以 恒 成 立 数 学 理 科 试 题 参 考 答

6、 案 设 则 该 函 数 为 上 的 增 函 数 因 为 所 以 即 恒 成 立 因 为 所 以 但 不 能 判 断 与 之 间 的 大 小 关 系 不 恒 成 立 因 为 当 时 所 以 不 恒 成 立 故 选 二 填 空 题 本 题 共 小 题 每 小 题 分 共 分 答 案 不 唯 一 形 如 均 正 确 解 析 因 为 槡 所 以 所 以 倾 斜 角 为 锐 角 的渐 近 线 的 斜 率 为 故 向 量 为 该 渐 近 线 的 一 个 方 向 向 量 解 析 用 随 机 变 量 表 示 抽 取 的 人 中 岁 以 上 的 老 年 人 人 数 则 可 能 的 取 值 为 且所 以 随 机

7、 变 量 的 分 布 列 为所 以 解 析 根 据 题 意 得 由 得 令 则 恒 成 立 在 区 间 上 单 调 递 减 即 的 最 大 值 为 第 一 空 分 第 二 空 分 解 析 设 以 为 原 点 所 在 直 线 为 轴 建 立 平 面 直角 坐 标 系 图 略 则 设 所 以 所 以 槡槡所 以 因 为 所 以 所 以 槡设 槡则 槡槡 槡 所 以 当 时 取 得 最 小 值 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 三 解 答 题 共 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 第 题 为 必 考 题 每 个 试 题 考 生 都 必 须作 答 第 题

8、 为 选 考 题 考 生 根 据 要 求 作 答 一 必 考 题 共 分 本 小 题 满 分 分 解 析 男 女 合 计 分 列 出 表 格 也 得 分 其 他 形 式 答 案 正 确 即 可 得 分 由 于 分 所 以 有 的 把 握 认 为 喜 欢 哪 款 车 型 和 性 别 有 关 分 记 表 示 混 动 版 测 试 指 标 优 秀 的 项 目 数 表 示 纯 电 动 版 测 试 指 标 优 秀 的 项 目 数 则 两 款 车 型 这 两 项测 试 中 恰 有 项 指 标 优 秀 的 概 率 为分 分 分 本 小 题 满 分 分 解 析 当 时 分 当 时 适 合 上 式 分 根 据 题

9、 意 设 数 列 的 公 比 为 则 且 分 且 或 舍 去 分 分 由 得分 当 时 单 调 递 增 分 本 小 题 满 分 分 解 析 因 为 在 直 四 棱 柱 中 所 以 平 面 平 面 分 如 图 取 的 中 点 连 接 在 矩 形 中 因 为 平 面 平 面 所 以 平 面 分 取 的 中 点 的 中 点 连 接 则 取 连 接 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 因 为 槡 所 以 所 以 且 所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形 所 以 因 为 且 所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形 所 以 所 以 所 以 分 因 为 平 面 平 面 所 以 平 面 又 所

10、以 平 面 平 面 所 以 平 面 即 为 平 面 分 所 以 分 别 为 平 面 与 四 边 形 和 四 边 形 的 交 线 因 为 槡 槡槡 槡 所 以 平 面 与 四 边 形 和 四 边 形 交 线 的 长 度 之 和 为 槡槡分 以 为 原 点 所 在 直 线 为 轴 所 在 直 线 为 轴 所 在 直 线 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 槡槡所 以 槡 分 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 则即槡 槡分 取 平 面 的 一 个 法 向 量 为 则槡分 故 平 面 与 平 面 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 槡分 本 小 题 满 分 分 解 析 设 设

11、 直 线 的 方 程 为 联 立 方 程 得 化 简 得 所 以 分 若 直 线 与 点 的 轨 迹 有 交 点 则 易 知 由 得 因 为 代 入 上 式 不 成 立 所 以 直 线 与 点 的 轨 迹 没 有 交 点 分 因 为 点 是 的 外 接 圆 的 圆 心 所 以 点 是 三 条 边 的 中 垂 线 的 交 点 设 线 段 的 中 点 为 线 段 的 中 点 为 因 为 所 以 分 所 以 线 段 的 中 垂 线 的 方 程 为 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 因 为 在 抛 物 线 上 所 以 所 以 的 中 垂 线 的 方 程 为 即 同 理 可 得 线 段 的 中 垂

12、 线 的 方 程 为 分 联 立 方 程 得 解 得 分 由 可 得 所 以 即 所 以 所 以 点 的 轨 迹 方 程 为 分 方 法 一 设 直 线 的 方 程 为 且 联 立 方 程 得 化 简 得 所 以 分 根 据 题 意 得 直 线 与 直 线 的 斜 率 之 和 为 所 以 分 所 以 所 以 直 线 必 过 定 点 分 方 法 二 设 是 满 足 条 件 的 两 点 则 所 以 分 由 即 得 分 直 线 的 方 程 为 分 整 理 得 即 所 以 直 线 必 过 定 点 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 本 小 题 满 分 分 解 析 根 据 题 意 得 因 为 所 以

13、 所 以 所 以 由 恒 成 立 得 恒 成 立 分 令 则 设 则 分 当 即 时 所 以 在 上 单 调 递 增 所 以 在 上 单 调 递 增 所 以 所 以 符 合 题 意 分 当 时 令 得 所 以 在 上 单 调 递 增 在 上 单 调 递 减 因 为 所 以 当 时 所 以 在 上 单 调 递 减 因 为 所 以 当 时 不 符 合 题 意 综 上 所 述 实 数 的 取 值 范 围 为分 由 已 知 得 则 分 当 时 因 为 所 以 在 上 单 调 递 减 所 以 所 以 在 上 无 零 点 分 当 时 因 为 单 调 递 增 且 所 以 存 在 使 当 时 当 时 分 所

14、以 在 上 单 调 递 减 在上 单 调 递 增 且 所 以 设 则 令 得 所 以 在 上 单 调 递 减 在上 单 调 递 增 所 以 所 以 所 以 所 以 所 以 在上 存 在 一 个 零 点 所 以 在上 有 个 零 点 分 数 学 理 科 试 题 参 考 答 案 当 时 所 以 在 上 单 调 递 增 因 为 所 以 在 上 无 零 点 分 综 上 所 述 在 上 的 零 点 个 数 为 分 二 选 考 题 共 分 请 考 生 在 第 题 中 任 选 一 题 作 答 如 果 多 做 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 本 小 题 满 分 分 选 修 坐 标 系 与 参 数 方 程解 析 由 题 意 消 去 参 数 得 曲 线 的 普 通 方 程 为 分 将 代 入 槡 得 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 槡 分 设 圆 心 到 直 线 槡 的 距 离 为 则 弦 长 槡槡解 得 分 所 以 槡 槡解 得 槡所 以 直 线 的 方 程 为 槡 分 所 以 直 线 的 倾 斜 角 为 所 以 分 本 小 题 满 分 分 选 修 不 等 式 选 讲解 析 根 据 题 意 恒 成 立 恒 成 立 因 为 分 所 以 当 时 的 最 小 值 为 分 所 以 即 所 以 的 最 小 值 为 分 因 为 槡分 当 且 仅 当 槡时 取 等 号 所 以 槡分