福建省泉州市2020届高三数学上学期单科质量检查试题答案 理（PDF）（答题全析——解答题部分）.pdf

1、市单科质检数学（理科）试题第 1 页（共 11 页）保密启用前泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查理科数学20201注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用5.0毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演

2、算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）如图，四棱锥ABCDP 的底面是正方形，PA平面 ABCD，AEPD（1）证明：AE 平面 PCD；（2）若 APAB，求二面角DPCB的余弦值【命题意图】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）因为 PA 平面 ABCD，CD 平面

3、ABCD，市单科质检数学（理科）试题第 2 页（共 11 页）所以 PACD1 分又底面 ABCD 是正方形，所以 ADCD 2 分又 PAADA，所以CD 平面 PAD 3 分又 AE 平面 PAD，所以CDAE 4 分又因为 AEPD，CDPDD，,CD PD 平面 PCD，5 分所以 AE 平面 PCD 6 分（2）因为 PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，所以 PAAB，PAAD，ABAD，分别以 AB、AD、AP 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Axyz（如图所示）7 分设1PAAB，则 A 0,0,0（），B 1,0,0（），C 1,1,0（），

4、D 0,1,0（），(0,0,1)P，1 1(0,)2 2E，1,0,1PB（），1,1,1PC（），1 1(0,)2 2AE 8 分由（1）得1 1(0,)2 2AE 为平面 PCD 的一个法向量9 分设平面 PBC 的一个法向量为111()mx,y,z由0,0,PB mPC m 得111110,0,xzxyz令11x，解得11z ，10y 所以(1,0,1)m 10 分因此112cos,2122m AEm AEmAE 11 分由图可知二面角 BPCD的大小为钝角故二面角 BPCD的余弦值为12 12 分解法二：（1）同解法一6 分（2）过点 B 作 BF 垂直于 PC 于点 F，连接 DF

5、、BD 因为 PBPD，BCCD，PCPC，所以PBCPDC 7 分因此易得090DFCBFC，BFDF8 分所以BFD为二面角 BPCD的平面角 9 分设1PAAB，则2BD，63BFDF 10 分市单科质检数学（理科）试题第 3 页（共 11 页）在BDF中，由余弦定理，得222222266()()(2)133cos2262()3BFDFBDBFDBF DF 故二面角 BPCD的余弦值为12 12 分18（12 分）记nS 为数列 na的前 n 项和已知0na，2634nnnSaa（1）求 na的通项公式；（2）设2211nnnnnaaba a，求数列 nb的前 n 项和nT【命题意图】本

6、小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解：（1）当1n 时，2111634Saa，所以14a 或 1（不合，舍去）1 分因为2634nnnSaa，所以当2n时，2111634nnnSaa，由 得2211633nnnnnaaaaa，2 分所以1130nnnnaaaa3 分又0na，所以13nnaa 4 分因此 na是首项为 4，公差为3 的等差数列5 分故43131nann6 分（2）由（1）得22313433231 343134nn

7、nbnnnn，9 分所以33333392()24771031344 34nnTnnnnn 12 分19（12 分）ABC中，60B，2AB，ABC的面积为 2 3（1）求 AC；（2）若 D 为 BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 边上的点（不包括端点），且120EDF，求DEF面积的最小值市单科质检数学（理科）试题第 4 页（共 11 页）【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）因为60

8、B，2AB，所以1sin2ABCSAB BCB13222BC 32 BC，2 分又2 3ABCS，所以4BC 3 分由余弦定理，得2222cosACABBCAB BCB 4 分221242 2 42 12，5 分所以2 3AC 6 分（2）设BDE，0,60 ，则60CDF在BDE中，由正弦定理，得 sinsinBDDEBEDB，7 分即2sin(60)32DE，所以3sin(60)DE；8 分在CDF中，由正弦定理，得 sinsinCDDFCFDC，由（1）可得30C，即21sin(90)2DF，所以1cosDF；9 分所以1sin2DEFSDE DFEDF34sin(60)cos232 3

9、 cos2sincos10 分32sin 2603，11 分当15 时，sin(260)1 ，min3()63 323DEFS故DEF面积的最小值为63 312 分市单科质检数学（理科）试题第 5 页（共 11 页）解法二：（1）同解法一6 分（2）设CDF，0,60 ，则60BDE在CDF中，由正弦定理，得 sinsinCDDFCFDC，7 分由（1）可得30C，即21sin(30)2DF，所以1sin 30DF；8 分在BDE中，由正弦定理，得 sinsinBDDEBEDB，即2sin(120)32DE，所以3sin(120)DE；9 分所以1sin2DEFSDE DFEDF334sin

10、30sin(120)313314cossincossin2222 10 分32sin 23，11 分当45 时，sin 21 ，min3()63 323DEFS故DEF面积的最小值为63 312 分20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为 12，点3(3,)2A在 E 上（1）求 E 的方程；（2）斜率不为 0 的直线 l 经过点1(,0)2B，且与 E 交于QP,两点，试问：是否存在定点 C，使得QCBPCB？若存在，求C 的坐标；若不存在，请说明理由【命题意图】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归

11、与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注【试题解析】市单科质检数学（理科）试题第 6 页（共 11 页）解法一：（1）因为椭圆 E 的离心率2212abea，所以2234ab，1 分点)23,3(A在椭圆上，所以143322 ba，2 分由解得42 a，32 b 3 分故 E 的方程为13422 yx4 分（2）假设存在定点C，使得PCBQCB 由对称性可知，点C 必在 x 轴上，故可设(,0)C m 5 分因为PCBQCB，所以直线 PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PCQCkk6 分设直线l

12、 的方程为：21 tyx，),(11 yxP，),(22 yxQ由221,2143xtyxy 消去 x，得04512)1612(22tyyt，7 分2222(12)4(1216)(45)144180(1216)0tttt ，所以t R，122121216tyyt，122451216y yt，8 分因为0QCPCkk，所以02211mxymxy，所以0)()(1221mxymxy，即0)21()21(1221mtyymtyy 9 分整理得121212()()02ty ymyy，所以0161212)21()161245(222ttmtt，即01612)12)(21(902ttmt 10 分所以0)

13、21(1290mtt，即0)21(1290tm，对t R 恒成立，即0)1296(tm对t R 恒成立，所以8m11 分所以存在定点)0,8(C，使得QCBPCB12 分解法二：（1）同解法一4 分（2）若点C 存在，当直线 PQ 垂直 x 轴时，点C 必在 x 轴上，市单科质检数学（理科）试题第 7 页（共 11 页）如果直线 PQ 不垂直 x 轴，由对称性可知，点C 也必在 x 轴上 5 分假设存在点)0,(mC，使得QCBPCB，即直线 PC 与直线QC 的倾斜角互补，所以0QCPCkk6 分设直线l 的方程为)21(xky，),(11 yxP，),(22 yxQ由221(),2143y

14、k xxy 消去 x，得0124)34(2222kxkxk，7 分22222(4)4(43)(12)1801440kkkk ，所以kR，2122443kxxk，34122221kkxx，8 分因为0QCPCkk，所以02211mxymxy，所以0)()(1221mxymxy，9 分即122111()()()()022k xxmk xxm整理得0)(21(22121mxxmxxk，10 分所以0344)21(342422222mkkmkkk，整理得0342432kmk，对任意的kR恒成立，11 分所以8m，故存在 x 轴上的定点)0,8(C，使得QCBPCB12 分21（12 分）已知函数2()

15、1 e xf xxax（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数2()1 e1xg xxmx在1,有两个零点，求 m 的取值范围【命题意图】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养【试题解析】市单科质检数学（理科）试题第 8 页（共 11 页）解：（1）因为2()1 e xf xxax，所以2()21 e xfxxaxa，1 分即()

16、11 e xfxxax由()0fx，得11xa，21x 2 分当0a 时，2()1e0 xfxx，当且仅当1x 时，等号成立故()f x 在,为增函数3 分当0a 时，11a ，由()0fx得1xa 或1x ，由()0fx得 11ax ；所以()f x 在,1a，1,+为增函数，在1,1a为减函数 4 分当0a 时，11a ，由()0fx得1xa 或1x ，由()0fx得11xa ；所以()f x 在,1，1,+a 为增函数，在1,1a 为减函数5 分综上，当0a 时，()f x 在,为增函数；当0a 时，()f x 在,1a，1,+为增函数，在1,1a为减函数；当0a 时，()f x 在,1

17、，1,+a 为增函数，在1,1a 为减函数（2）因为2()1 e1xg xxmx，所以2()1e xg xxm，当0m 时，()0g x，()g x 在1,为增函数，所以()g x 在1,至多一个零点 6 分当0m 时，由（1）得()g x在1,为增函数因为(0)1gm，(0)0g（i）当=1m时，(0)0g，0 x 时，()0g x，10 x 时，()0g x；所以()g x 在1,0为减函数，在0,为增函数，min()00g xg故()g x 在1,有且只有一个零点7 分（ii）当1m时，(0)0g，2()10mg mmem，00,xm，使得00gx，且()g x 在01,x为减函数，在0

18、,x 为增函数市单科质检数学（理科）试题第 9 页（共 11 页）所以 0()00g xg，又 22221 e1110mg mmmmm ，根据零点存在性定理，()g x 在0,x m 有且只有一个零点8 分又()g x 在01,x上有且只有一个零点0 故当1m时，()g x 在1,有两个零点9 分（iii）当01m时，(1)0gm ，(0)0g，01,0 x，使得00gx，且()g x 在01,x为减函数，在0,x 为增函数因为()g x 在0,x 有且只有一个零点0，若()g x 在1,有两个零点，则()g x 在01,x有且只有一个零点10 分又 0()00g xg，所以 10g 即 21

19、1 0egm ，所以21em，即当211em时，()g x 在1,有两个零点11 分综上，m 的取值范围为21,11,e12 分（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在同一平面直角坐标系 xOy 中，经过伸缩变换2,xxyy 后，曲线221:1Cxy变为曲线2C（1）求2C 的参数方程；（2）设2,1A，P 是2C 上的动点，求OAP面积的最大值，及此时 P 的坐标【命题意图】本小题主要考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程及参数的几何意义、直线与圆的位置关系等基础知识，考查

20、推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题解析】解法一：（1）由伸缩变换2,xxyy 得到1,2.xxyy1 分将代入221xy，得到221+=12 xy（），整理得2C：22+=14xy 3 分市单科质检数学（理科）试题第 10 页（共 11 页）所以2C 的参数方程为2cos,sinxy（为参数）5 分（2）设2cos,sin02P，直线:20OA xy，6 分则 P 到直线OA 的距离为2 2 cos2cos2sin455d，7 分所以1112 25522225OAPSOA

21、 dd8 分当且仅当3=4或7=4时，OAP的面积的最大值为2，9 分此时 P22,2或22,2 10 分解法二：（1）同解法一5 分（2）直线:20OA xy，设直线l：20 xyc 6 分联立2220+y14xycx，消去 y，得到222240 xcxc，7 分令=0，得224840cc，解得2 2c 8 分此时解得2,22xy 或2,2,2xy 即12(2,)2P或22(2,)2P 9 分这时1P，2P 到直线OA 的距离均为 2 25，所以max12 25225OAPS 10 分23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数1()|f xxaxa（1）证明：()2f x ；（2）当12

22、a 时，()f xxb，求b 的取值范围【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑运算、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题解析】市单科质检数学（理科）试题第 11 页（共 11 页）解法一：（1）1111()|2|2f xxaxaaaaaaa5 分（2）312,22151()2=,2,22232,2,2xxf xxxxxx 8 分作出()f x 的图象，如图：9 分将52 2A（，）代入 yxb得到12b，由图可得b 的取值范围为1(,210 分解法二：（1）同解法一5 分（2）令 ()g xf xx，所以min()bg x 6 分313,22151()2=,2,2223,2,2xxg xxxxxxxx 8 分可得()g x 在,2单调递减，在2 ，单调递增，所以 min1=22g xg，9 分所以b 的取值范围为1,210 分A