福建省福州一中2021届高三数学下学期开学考试试题PDF.pdf

1、1福州一中 20202021 学年第二学期高三开学质量检查考试数学（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集RU，)1ln(|2xyxA，4|2xyyB，则()RAB （）A)01(，B)10，C)10(，D01(，2欧拉公式cossiniei，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos 和sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足1iezii ，则 z （）A5B2C2 2D33.某地为了解居民的每日总用电量 y（万度）与气温 x（C）之间的关系，收

2、集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温 x（C）191391每日总用电量 y（万度）24343864经分析，可用线性回归 方程 拟合 y 与 x 的关系据此预测气温为 14C 时，该地当日总用电量 y（万度）为（）A30B 31C32D 334.已知3(,)44，sin(4 )35，则 tan 的值为（）A.17B.17C.7D 75.52()()axxxx的展开式中各项系数和为 2，则该展开式2x 的系数为（）A30B 30C10D 106.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度

3、 h 与其出水后2时间t（分）满足的函数关系式为120th=a若出水后10 分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3，结果取整数）（）A.33分钟B.43分钟C.50 分D.56分钟7.已知 F 是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，过点 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于 B，且满足3AFFB，则双曲线的离心率为（）A3B62C 2D68.已知函数3()(1)exf xa xx，若存在唯一的正整数0 x，使得0()0f x，则实数 a 的取值范围是（）A218)23ee，B4364

4、27)54ee，C32278)43ee，D10)2e，二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9.设 na是各项为正数的等比数列，q 是其公比，nT 是其前 n 项的积，且67TT，789TTT，则下列结论正确的是（）A.1q B.81a C.106TTD.7T 与8T 均为nT 的最大值10.已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点为 F，斜率为 k 的直线l 过 F 且交抛物线C于点,A B，且,4pAa，32AF.下列结论正确的是（）A.4p B.28k C.

5、|3BF D.AOB 的面积为 3 2211.音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807 年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如Asin()yt之各项之和，()0.03sin10000.02sin 2000f ttt0.01sin3000 t的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（）3A1()()500f tf tB()f t 的图象关于点1(,0)1000对称C()f t 的图象关于直线12000t 对称D()f t 在11,4000 4000单调递增12.如图在四面体 ABCD 中，=2AB CD，=3AC BD，=5AD BC，EF、分别是ADBC、的中点.若

6、用一个与直线 EF 垂直，且与四面体每个面都相交的平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则下列说法正确的是（）A EFAD且 EFBCB四面体 ABCD 的体积是63C多边形截面为矩形D多边形截面面积的最大值为62三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知非零向量,a b 满足2ab，且()abb，则 a与b的夹角为_.14.已知正项数列na，na的前 n 项和为nS，且11a，1(2)nnnSSa n，则6a _.15.已知点,A B C 在半径为 53的球面上，满足1ABAC，3BC，若 S 是球面上任意一点，当三棱锥 SABC体积的最大值时，SA 与平面

7、 ABC 所成角的正弦值为_.16.等腰 ABC中，,ABAC BD为边 AC 上的中线，且4BD，则 ABC的面积的最大值为_.4四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 10 分）ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 A 是锐角，cossinbAaAc.(I)求角C 的大小；(II)若3B，延长线段 AB 至点 D，使得3CD，且 ACD的面积为 3 34，求线段 BD 的长度（18）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为菱形，60BAD，90APD，且ADPB(I)求证：

8、平面 PAD 平面 ABCD；(II)若 ADPB，求二面角 DPBC的余弦值（19）（本小题满分 12 分）某企业 2020 年的纯利润为500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从 2021 年起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年（2021 为第 1 年）的利润为1500(1)2n万元（n 为正整数）.（I）设从 2021 起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为nA 万元，进行技术改造后的累计纯利润为nB 万元（须扣除技术改造资金），求n

9、A、nB 的表达式；（II）依上述预测，从 2021 起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？5（20）（本小题满分 12 分）甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛.规定：比赛获胜的球队记 3 分，输的球队记0 分，打平两队各记 1 分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为 13

10、.（I）三轮比赛结束后甲的积分记为 X，求(3)P X；（II）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为 3、3、0、6，问甲能小组出线的概率.（21）（本小题满分 12 分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点(2,2).(I)求椭圆C 的方程；(II)已知000(,)(0)P xyy 是直线4x 上一动点，过椭圆C 右焦点的直线l（其中 Pl）交椭圆于,A B 两点,若,PA PB 与 x 轴分别交于点(,0),(,0)MNM xN x，则1122MNxx是否是定值，若是求出该定值，不是请说明理由.（22）（本小题满分 12 分）已知函数Rmamxxg

11、xxaexxfx,(1)(),2(ln)(2且为常数，e 为自然对数的底）.(I)讨论函数)(xf的极值点个数；(II)当1a时，若)()(xgxf，求实数 m 的取值范围.6福州一中 2020-2021 学年第二学期高三开学质量检查考试答案一、选择题：12345678DACDBBBC二、选择题：9101112BDBCDABDABD三、填空题：13._ 3 _14._11_15._ 3 1010_16._ 323_四、解答题17.(I)由 cossinbAaAc及正弦定理可得 sincossinsinsinBAAACsinsin()sincossincosCABABBA2sinsincosAA

12、B因为 A 是锐角，所以sincossin()2ABB2AB，所以2C(II)设,BDm BCn，所以23,23ACn ABnCBD，2ADnm，3 341sin2ACDSAC ADA所以(2)3nnm.在 BCD中，由余弦定理可得223mnmn.由解得1mn 即1BD 18.解：取 AD 中点O，连结OP，OB，BD，因为底面 ABCD 为菱形，60BAD，所以 AD ABBD因为O 为 AD 的中点，所以OBAD7在 APD 中，90APD，O 为 AD 的中点，所以12POADAO设2ADPBa,则3OBa，POOAa，因为22222234POOBaaaPB，所以OPOB所以OB 平面

13、PAD 因为OB 平面 ABCD，所以平面 PAD 平面 ABCD（2）因为 ADPB，ADOB，OBPBB，PB 平面 POB，OB 平面 POB，所以 AD 平面 POB 所以 POAD由（1）得 POOB，ADOB，所以OA，OB，OP 所在的直线两两互相垂直以O 为坐标原点，分别以OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设2AD，则(1,0,0)A，(1,0,0)D，0,3,0B，0,0,1P，所以1,0,1PD ，0,3,1PB，(2,0,0)BCAD，设平面 PBD 的法向量为111,x y zn，则11110,30,PDxzPByz nn令

14、11y，则13x ，13z，所以3,1,3 n设平面 PBC 的法向量为222,xyzm，则22220,30,BCxPByz mm令21y，则20 x，23z，所以0,1,3m设二面角 DPBC为，由于 为锐角，所以coscos,m n842 7727所以二面角 DPBC的余弦值为 2 7719.解：（）依题设，2(50020)(50040)(5002)49010nAnnn2111500500(1)(1)(1)6005001002222nnnBn（）2500500100(49010)2nnnBAnnn5010(+1)102nnnBAnn因为函数5010(+1)102xyxx在(0,)上为增函数

15、，当13n时，505010(+1)10101210028nnn 当4n 时，505010(+1)101020100216nnn.仅当4n 时，nnBA答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.20.解（I）设甲的第i 场比赛获胜记为(1,2,3)iA i，第i 场比赛获平记为(1,2,3)iB i，第i 场比赛获输记为(1,2,3)iC i，123123123123(3)()()()()P XP B B BP AC CP C A CP C C A321114()3()33327（II）分类 1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为 6、3

16、、0、6，另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积 6 分，丙积 0 分，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为 23，这时甲出线的概率为2112()33P，另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线的概率为221()23P 分类 2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、3、0、7，另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率为231()3P 另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为 4、4、1、7，所以要抽签决定，抽中前两9名的概率为 23，这时甲出线的概率为2411()32P，分类 3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为 3、3、0、9

17、，另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为 3、3、3、9，甲出线的概率为2511()33P 甲出线的概率为123451=2PPPPPP.21.解：（I）设椭圆C：22221(0)xyabab2222222421caababc解得2 2,2,2abc所以椭圆方程为22184xy(II)(1)设直线:0AB y，(2 2,0),(2 2,0)MN11112 222 22122442 222 22MNxx（2）直线11220:2(,),(,),(4,),AB xmyA x yB xyPy，由22228xmyxy得22(2)440mymy12212204242myymy ym 直线1001:(4)4

18、yyPA yyxx，令0y，得110104=Myx yxyy11010101010011010101042222(2)(2)2=2Myx yyyx yyymyymyyxyyyyyyyy同理0220(2)2Nmyyxyy所以10201200120121111()(2)2222MNyyyyyy yxxmyyymyy y100014(2)124m ymy为定值.22.解：（I）)(12()21()12()(22xaexxaexxfxx，),0(x(1)当0a时，0)(xf，所以)(xf在),0(上单调递增，无极值点.(2)当0a时，而0)12()(22xxexxe，所以xxe2 在),0(上单调递增

19、，且0,0,022aaexexax，axe x 2有唯一解设为)0(00 xx，当,0)(),0(0 xfxx)(xf在),0(0 x上单调递减，,0)(),(0 xfxx，)(xf在),(0 x上单调递增，有 1 个极值小值点.综上：0a时，无极值点；0a时，1 个极值点.(II)解法一：)()(xgxf等价于xxemx1ln22令xxexgx1ln)(2，22222ln2ln2)(xxexxxexgxxxexxhxln2)(22为),0(上的增函数，且012)1(,02)1(222eeeeheh，所以 唯一的)1,0(0 x，有0)(0 xg即0ln202200 xexx而上式等价于)ln()lnln(22ln0000 xxxx由于函数xxln为增函数，所以00ln2xx当,0)(),0(0 xfxx以)(xf在),0(0 x上单调递减，,0)(),(0 xfxx，)(xf在),(0 x上单调递增，所以2ln1ln11ln)()(000000020min0 xxxxxxxexgxgx所以22 m即0.m解法二：利用常见不等式：xxln1xxexexxx2ln)ln(122（当且仅当12 xex等号成立）21ln)(2xxxexgx（当且仅当12 xex等号成立）所以22 m即0.m