第4讲 抽象函数的基本题型与解法探究.pdf

1、第 4 讲 抽象函数的基本题型与解法探究 一、抽象函数的单调性 性质 1若函数 yf(x)是单调递增的，则以下三个式子成立且等价：（1）如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)0；（3）对任意 x1，x2a，b且21xx，都有0)x(f-)x(f()x-x(2121性质 2若函数 yf(x)是单调递减的，则以下三个式子成立且等价：（1）如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个值 x1，x2，当 x1f(x2)；（2）对任意 x1，x2a，b且21xx，都有1212()()f xf xxx0；（3）对任意 x1，x2a，b且21x

2、x，都有0)x(f-)x(f()x-x(2121二、抽象函数的对称性（内反表示对称性）性质若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称（自身对称），则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)；（2）f(2ax)f(x)；（3）f(2ax)f(x)推论：若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称（自身对称），设个不同的实数根，则有nxf0)(=naxaxxaxxaxxxxnnn=+=+)2()2()2(22221121.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手

3、，望而生畏研究抽象函数需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考也在重点考查，但部分老师引导学生复习重视不够，本专题系统归纳抽象函数相关的基本题型与解法探究，供同仁们教学参考，学生备战 2024 高考的培优专题.),212(111axxaxkn=+=时，必有当性质 2若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称（自身对称），则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)；（2）f(2ax)f(x)；（3）f(2ax)f(x)推论：cxbfxaf2)()(=+)(xfy=的图象关于点),2(cba+对称性质 3复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线

4、x（ba）/2 轴对称推论 复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y 轴轴对称推论 函数)(xafy+=与)(xafy=图象关于直线0=x对称推论 函数)(xfy=与)2(xafy=图象关于直线ax=对称推论 函数)(xfy=与)2(xafy+=图象关于直线ax=对称推论 函数)(xfy=与()yf x=图象关于 X 轴对称推论 互为反函数)(xfy=与函数1()yfx=图象关于直线 yx=对称性质 4复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称推论：复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称性质 5 中心对称为（a,b)，则以下五类情况成立：推论

5、点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA推论对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA+推论成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy=（即bxafxf2)2()(=+）推论成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb+=+=（即bxafxaf2)()(=+）推论成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF=推论bxafxf2)2()(=+)(xfy=的图象关于点),(ba对称 例如 1)1()(2121)(=+=xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;2)()(1012214)(1=+=+xfx

6、fxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(=+=xfxfxRxxf（）对称：，关于（性质 6 若kyyhxxkhxfy2,2),)(/=+=+=对称，则关于点（,即推论kxhfxfxfxf2)2()()()(/=+=+推论nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121=+三、抽象函数的奇偶性 1、奇偶函数：设 baabxbaxxfy,),(=或，或者定义域关于原点对称定义 若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf=定义 若为偶函数则称)()()(xfyxfxf=易知 yf(x)为偶（或奇）函数分别为抽象函数的性质 1（或 2），当 a0

7、 时的特例。推论偶函数)(xfy=与)(xfy=图象关于 Y 轴对称推论 奇函数)(xfy=与)(xfy=图象关于原点对称函数推论y=f(x+a)是偶函数函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称;推论y=f(x+a)是奇函数函数 y=f(x)关于点(a,0)对称.2、复合函数的奇偶性（内偶则偶，内奇同外）定义若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合

8、函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）四、抽象函数的周期性（内同表示周期性）1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个 x，都存在非零常数T，使得()()f xTf x+=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则 kT（,0kZ k）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f

9、x 的最小正周期2、()()f xaf xb+=+)(xfy=的周期为abT=3、)()(xfaxf=+)(xfy=的周期为aT2=4、)(1)(xfaxf=+)(xfy=的周期为aT2=5、)(1)(xfaxf=+)(xfy=的周期为aT2=6、)(1)(1)(xfxfaxf+=+)(xfy=的周期为aT3=7、1)(1)(+=+xfaxf )(xfy=的周期为aT2=8、)(1)(1)(xfxfaxf+=+)(xfy=的周期为aT4=9、)()()2(xfaxfaxf+=+)(xfy=的周期为aT6=10、若.2,)2()(,0pTppxfpxfp=则11、)(xfy=有两条对称轴ax=和

10、bx=()ba)(xfy=周期)(2abT=推论：偶函数)(xfy=满足)()(xafxaf=+)(xfy=周期aT2=12、)(xfy=有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy=周期)(2abT=推论：奇函数)(xfy=满足)()(xafxaf=+)(xfy=周期aT4=13、)(xfy=有一条对称轴ax=和一个对称中心)0,(b()ba()f x 的)(4abT=14、分段函数的周期：设)(xfy=是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C:),(xfy=abTbax=,。把)()(abKKTxxfy=轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa=平移，即得在其他周期的图像：

11、bkTakTxkTxfy+=,),(。即+=bkTa,kT x)(ba,x)()(kTxfxfxf五、抽象函数的具体模型化（即具体代替抽象，简称具象化）类型函数方程解析函数模型拟合抽象函数的性质1()()()f mnf mf n+=+型或者 f(x-y)=f(x)-f(y)型正 比 例 函 数()0ykx k=设 函 数()f x定 义 在 R 上，满 足()()()f mnf mf n+=+，若0 x 时，()f x 恒大于0，则()f x 有如下性质：(0)0f=；()f x 是 R 上的奇函数；()f x 在 R 上单调递增2()()()()()f m f nf mnf mf n+=+（

12、()f m，()f n，()f mn+均不为零）型反 比 例 函 数()af xx=()0a 设函数()f x 满足()()()()()f m f nf mnf mf n+=+，()f m，()f n，()f mn+都恒不为 0，则()f x 有如下性质：()f x 有对称中心；()f x 是对称区间上单调性相同3()()()f mnf mf nb+=+型一次函数()0ykxb k=已知函数()f x 定义域为 R，对任意,m nR都有()()()f mnf mf nb+=+，且()0f b=，当 xb时，()0f x，则()f x 在 R 上单调递增4()()()f xyf xfykx+=+

13、(或()()()f xyf xfykxy+=+)（0k）型二次函数()2f xaxbx=+（xN+）（2ka=，()12kbf=）设函数()f x满足()()()f xyf xfykx+=+，则()f x 有如下性质：()f x 有对称轴；()f x 是对称区间上单调性相反5()()()f mnf mf n+=型或 f(x-y)=f(x)f(y)型指数函数()0,1xyaaa=已知定义在 R 上的函数()f x 满足对任意,m nR都有()()()f mnf mf n+=，且当0 x 时，()1f x ，则有如下性质：()01f=；()()1f xfx=；当0 x 时，()01f x；()f

14、x 在 R 上单调递增6()()()f m nf mf n=+型f(xy)=f(x)-f(y)对数函数logayx=()0,1aa若函数()f x 定义域为()0,+，当1x 时，()0f x，且对任意 0m，0n 都有()()()f m nf mf n=+，则()f x 有如下性质：()10f=；()()xff xfyy=；()f x 在()0,+上单调递增；当01x 时，()0f x 7()()()f m nf mf n=型幂函数nyx=若函数()f x 满足对任意,m nR都有()()()f m nf mf n=，且()f x 不恒为0，当1x 时()1f x ，则有如下性质：()11f

15、=；当01x 时，()01f x；()f x 在()0,+上单调递增8()()()()2f mnf mnf mf n+=型余弦函数cosyx=设()f x 是定义在 R 上不恒为零的函数，对一切实数,m n 都满足()()()()2f mnf mnf mf n+=，则有如下性质：()01f=；()f x 是偶函数；若()0f t=，则()f x 是以 4t 为周期的函数9()()()()()1f mf nf mnf m f n+=()()1f m f n )型正切函数()tanf xx=设()f x 是定义在 R 上的函数，对一切实数,m n 都满足()()()()()1f mf nf mnf

16、 m f n+=()()1f m f n )，则有如下性质：()00f=；()f x 是奇函数；若()1f t=，则()f x 是以 4t 为周期的函数10()()1mnf mf nfmn+=+型复合函数()1ln1xf xx=+定义在()1,1上的函数()f x 满足对实数,m n 都有 ()()1mnf mf nfmn+=+，且()0,1x时()0f x，则有如下性质：()00f=；()f x 为奇函数；()f x 是()1,1上的减函数 【典例 1】已知函数 f(x)的定义域为(1，1)，则函数 g(x)f x2f(x1)的定义域为()A(2，0)B(2，2)C(0，2)D12，0 解析

17、：由题意得1x21，1x11，2x2，0 x2，0 x2，函数 g(x)f x2f(x1)的定义域为(0，2).【说明】求解复合型抽象函数 yf(g(x)的定义域，常常通过换元设 tg(x)，根据函数 yf(t)的定义域，得到 g(x)的范围，从而解出 x 的范围同时，在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，要使函数各部分都有意义能力达标训练 1.若函数 f(x)的定义域为1，8，则函数f（2x）x3的定义域为()A(0，3)B1，3)(3，8 C1，3)D0，3)解析：题型一 抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解的，另外，还要满足分式的分

18、母不为 0、被开方数非负、对数的真数大于 0 等一些常规的要求详见求函数的定义域名师导航 f(x)的定义域为1，8，若函数f（2x）x3有意义，则12x8，x30，解得 0 x3.故选 D.2.已知函数 yf(x21)的定义域为 3，3 ，则函数 yf(x)的定义域为_解析：因为 yf(x21)的定义域为 3，3 ，所以 x 3，3 ，x211，2，所以 yf(x)的定义域为1，2.答案：1，2【典例 2】设对满足10 xx，的所有实数 x，函数)(xf满足xxxfxf+=+1)1()(，求f（x）的解析式解析：在)1(1)1()(xxxfxf+=+以xx1代换其中 x，得：)2(12)11(

19、)1(xxxfxxf=+再在（1）中以11 x代换 x，得)3(12)()11(=+xxxfxf题型二 抽象函数的函数解析式一般赋值构方程组，消元求解析式，在求函数解析式时，通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略详见求函数的解析式名师导航)3()2()1(+化简得：)1(21)(23=xxxxxf能力达标训练 1.已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x)2x，则 f(x)_解析：(解方程组法)由 f(x)2f(x)2x，得 f(x)2f(x)2x，2，得 3f(x)2x12x即 f(x)2x12x3故 f(x)的解析式是 f(x)2x

20、12x3(xR)2.定义在(1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，则 f(x)_解析：当 x(1，1)时，有 2f(x)f(x)lg(x1)将 x 换成x，则x 换成 x，得 2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得，f(x)23lg(x1)13lg(1x)(1x1)3.已知 f(x)满足 2f(x)f 1x 3x，则 f(x)_微信公众号：钻研数学解析：2f(x)f 1x 3x，把中的 x 换成1x，得 2f 1x f(x)3x联立可得2f(x)f 1x 3x，2f 1x f(x)3x，解此方程组可得 f(x)2x1x(x0)【典例 3】已知定义在 R 上的

21、函数 f(x)满足 f(x)f(x)，f(3x)f(x)，f(2)1，则 f(2 023)()A3 B0 C1 D3解析：用x 替代 x，得到 f(x3)f(x)f(x)，T6，f(2 023)f(33761)f(1).f(3x)f(x)，f(3)f(0)0.f(2 023)0.【典例 4】（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为 R，()1f x+为奇函数，()2f x+为偶函数，当1,2x时，2()f xaxb=+若()()036ff+=，则92f =（）A94B32C 74D 52 题型三 抽象函数的函数值赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观察与分析抽

22、象函数问题中已知与未知的关系，寻找合适的特殊有用的值，赋给抽象函数的变量，进而解决抽象函数的求值.一般需要挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性（对称性）和周期性来转化解答赋值主要从以下方面考虑：令 x=、2、1、0、1、2等特殊值求抽象函数的函数值；令 x=x2，y=x1 或 y=1x1，且 x1x2，判定抽象函数的单调性；令 y=x，判定抽象函数的奇偶性；换 x 为 x+T，确定抽象函数的周期；用 x=x2+x2或换 x 为1x等来解答有关抽象函数的一些其它问题.名师导航解析：微信公众号：钻研数学 因为()1f x+是奇函数，所以()()11fxf x+=+因为()2f x+是偶函数，所

23、以()()22f xfx+=+令1x=，由得：()()()024ffab=+，由得：()()31ffab=+因为()()036ff+=，所以()462ababa+=令0 x=，由得：()()()11102fffb=，所以()222f xx=+思路一：从定义入手9551222222ffff=+=+=1335112222ffff=+=+=，511322=2222ffff=+=+所以935222ff=思路二：从周期性入手；由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T=所以91352222fff=故选：D【典例 4】（多选）（2022全国高考真题）已知函数()f x 及其导函数()fx 的定义域均为R

24、，记()()g xfx=，若322fx，(2)gx+均为偶函数，则（）A(0)0f=B102g=C(1)(4)ff=D(1)(2)gg=【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.解析：因为322fx，(2)gx+均为偶函数所以332222fxfx=+即3322fxfx=+，(2)(2)gxgx+=所以()()3fxf x=，(4)()gxg x=，则(1)(4)ff=，故 C 正确函数()f x，()g x 的图象分别关于直线3,22xx=对称又()()g xfx=，且函数()f x 可导，所以()()30,32ggxg x=所以()(4

25、)()3gxg xgx=，所以()(2)(1)g xg xg x+=+=所以13022gg=，()()()112ggg=，故 B 正确，D 错误若函数()f x 满足题设条件，则函数()f xC+（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故 A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.能力达标训练 4.（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II）已知()f x 是定义域为(,)+的奇函数,满足(1)(1)fxfx=+.若(1)2f

26、=，则(1)(2)(3)(50)ffff+=A 50B0C2D50解析：法一：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1).由 f(1x)f(1x)，得f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期函数由 f(x)为奇函数得 f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线 x1 对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又 f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)

27、202.法二：由题意可设 f(x)2sin 2x，作出 f(x)的部分图象如图所示由图可知，f(x)的一个周期为 4，所以 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)120f(1)f(2)2.5.（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设()f x 是定义域为 R 的奇函数，且()()1fxfx+=.若1133f=，则53f =（）A53B13C 13D 53解析：由题意可得：522213333ffff=+=，而21111133333ffff=，故5133f =.故选：C.6.（2022全国高考真题）已知函数()f x 的定义域为 R，且()(

28、)()(),(1)1f xyf xyf x f yf+=，则221()kf k=（）A 3B 2C0D1解析：因为()()()()f xyf xyf x fy+=，令1,0 xy=可得，()()()2110fff=所以()02f=，令0 x=可得，()()()2fyfyfy+=，即()()fyfy=所以函数()f x 为偶函数，令1y=得，()()()()()111f xf xf x ff x+=即有()()()21f xf xf x+=+，从而可知()()21f xf x+=，()()14f xf x=故()()24f xf x+=，即()()6f xf x=+所以函数()f x 的一个周期

29、为6因为()()()2101 21fff=，()()()3211 12fff=()()()4221fff=，()()()5111fff=，()()602ff=所以一个周期内的()()()1260fff+=由于 22 除以 6 余 4所以()()()()()22112341 1 2 13kf kffff=+=故选：A7.（2022全国高考真题（理）已知函数(),()f x g x 的定义域均为 R，且()(2)5,()(4)7f xgxg xf x+=若()yg x=的图像关于直线2x=对称，(2)4g=，则221()kf k=（）A 21B 22C 23D 24解析：因为()yg x=的图像关

30、于直线2x=对称，所以()()22gxg x=+因为()(4)7g xf x=，所以(2)(2)7g xf x+=，即(2)7(2)g xf x+=+因为()(2)5f xgx+=，所以()(2)5f xg x+=代入得()7(2)5f xf x+=，即()(2)2f xf x+=所以()()()()35212510fff+=，()()()()46222510fff+=.因为()(2)5f xgx+=，所以(0)(2)5fg+=，即()01f=，所以()(2)203ff=.因为()(4)7g xf x=，所以(4)()7g xf x+=又因为()(2)5f xgx+=联立得()()2412gx

31、g x+=，所以()yg x=的图像关于点()3,6 中心对称因为函数()g x 的定义域为 R，所以()36g=，因为()(2)5f xg x+=所以()()1531fg=.所以()()()()()()()()22112352146221 3 10 1024()kfffffffff k=+=.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.8.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，有 f(x3)f(x)，且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 023)f(2 024)()A3

32、B2 C1 D0解析：因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(2 023)f(2 023)因为当 x0 时，有 f(x3)f(x)所以 f(x6)f(x3)f(x)即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值重复出现一次又当 x(0，3)时，f(x)x1所以 f(2 023)f(33761)f(1)2，f(2 024)f(33762)f(2)3.故 f(2 023)f(2 024)231.9.已知定义域为+R的函数 f（x），同时满足下列条件：51)6(1)2(=ff，；)()()(yfxfyxf+=，则 f（3）=，f（9）=.解析：(1)取32=yx，得)3()2()6(

33、fff+=，因 为51)6(1)2(=ff，所 以54)3(=f，又取3=yx，得58)3()3()9(=+=fff.10（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国卷）偶函数的图像关于直线对称，则=_解析：因为的图像关于直线对称，故(3)(1)3ff=又因为是偶函数，故(1)(1)3ff=11（2023 届高三贵州联考 10）已知函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)+f(x)-4 成立，且函数 yf(x)与函数 g(x)x-3 的图象相交于五个点（xi,yi)，则(5=1+)的值为_解析：f(x)与 g(x)均关于（1,-2)对称，（xi+yi)=1+（-2）=-1，【

34、典例 5】设函数()f x 对任意 x、yR都有()()()f xyf xfy+=+，且当0 x 时，()0f x.（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在 R 上是减函数；（3）若()14f=，求()f x 在区间3,3上的最大值和最小值.【分析】（1）令0 xy=求得()0f的值，再令 yx=可得出()()fxf x=，由此可得出结论；（2）任取12xx，利用题干中的等式以及该函数的奇偶性可得出()()()1212f xxf xf x=，得出()1f x与()1f x的大小关系，由此可得出结论；（3）计算出()3f和()3f 的值，利用（2）中的结论可得出结果.解析：（1）

35、由于函数()yf x=对任意 x、yR都有()()()f xyf xfy+=+该函数的定义域为 R，令0 xy=，可得()00f=再令 yx=，可得()()()f xxf xfx=+即()()0f xfx=+()()fxf x=因此，函数()yf x=为奇函数（2）设12xx，则()()()()()121212f xxf xfxf xf x=+=12xx，则120 xx题型四 抽象函数的性质与解抽象不等式抽象函数中的求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于 x 的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简，判定抽象函数的单调性，一般设 x=x2，y=x1 或y=1x1，且 x1x2；判定抽

36、象函数的奇偶性，一般设 y=x.函数周期性求解一般通过赋值法，结合所给的抽象函数的等式进行转化，直到得到 f（x）=f（x+T)的结论.名师导航所以()()()12120f xf xf xx=，()()12f xf x因此，函数()yf x=在 R 上是减函数（3）因为函数()yf x=在 R 上是减函数所以，函数()yf x=在3,3上也是减函数所以，函数()yf x=在3,3上的最大值和最小值分别为()3f 和()3f而()()()()3213112ffff=+=，()()3312ff=因此，函数()yf x=在3,3上的最大值为12，最小值为 12.【典例 6】函数 f(x)的定义域为

37、Dx|x0，且满足对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2).(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；微信公众号：钻研数学(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围 解析：(1)因为对于任意 x1，x2D 有 f(x1x2)f(x1)f(x2)所以令 x1x21，得 f(1)2f(1)，所以 f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令 x1x21有 f(1)f(1)f(1)，所以 f(1)12 f(1)0.令 x11，x2x 有 f(x)f(1)f(x)所以 f(x

38、)f(x)，所以 f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知 f(x)是偶函数所以 f(x1)2 等价于 f(|x1|)f(16).又 f(x)在(0，)上是增函数，所以 0|x1|16，解得15x0，0 x12，此时 1x3，当 x0 时，不等式 xf(x1)0 等价为 f(x1)0，即x0，2x10的解集为_解析：因为函数 f(x2)为奇函数，所以 f(x2)图象的对称中心为点(0，0).因为 f(x)的图象可由 f(x2)的图象向左平移两个单位长度而得所以 f(x)的图象关于点(2，0)对称因为 f(x)在2，)上单调递减，所以 f(x)在(，2上也单调递减

39、因为 f(3x)0f(2)，所以 3x5.答案(5，)18.定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上单调递增，且 f 120，则不等式 f(log19 x)0 的解集为_解析：由题意知，f12f 120，f(x)在(，0)上也单调递增f(log19 x)f 12或 f(log19 x)f12，log19 x12 或12 log19 x0，解得 0 x13 或 1x3.原不等式的解集为00 x13或1x0 时，f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数；(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4.解析：(1)令 xy0，得 f(0

40、)1.在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1x2)1.又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5.由 f(x22x)f(1x)4，得 f(x22x)f(1x)15，即 f(x2x1)f(3)，又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2x13，解得 x1，故原不等式的解集为x|x122.已知()f x 是定义在 R 上的单调函数,且满足()()()f xyf xf y+=+,且(1)2f=.(1)求(0)f的值并判断()f x 的单调性和奇偶性；(2)若(32)(39

41、)0 xxxf af+恒成立,求a 的取值范围.解析：(1)令0 xy=,可得(0)0.f=令 yx=,所以有()()()()()f xxf xfxf xfx=+=,因此函数()f x 是奇函数.由已知可知：()f x 是定义在 R 上的单调函数,且(0)0,f=(1)2f=因此函数()f x 是 R 上的单调递增函数(2)因为函数()f x 是奇函数,所以由(32)(39)0 xxxf af+可得(32)(39)(93)320 时，0f（x）1.（1）判断 f（x）的单调性；（2）设)1()()(|)(22fyfxfyxA=，1)2(|)(RayaxfyxB=+=，若=BA，试确定 a 的取

42、值范围.解析：（1）在)()()(nfmfnmf=+中，令01=nm，得)0()1()1(fff=，因为0)1(f，所以1)0(=f，在)()()(nfmfnmf=+中，令xnxm=，,因为当0 x时，1)(0 xf,所以当0 x时1)(00 xfx，,而1)0()()(=fxfxf,所以01)(1)(=xfxf,又当 x=0 时，01)0(=f，所以，综上可知，对于任意Rx，均有0)(xf.设+21xx，则1)(001212xxfxx，,所以)()()()()(11211212xfxxfxfxxxfxf=+=,所以)(xfy=在 R 上为减函数.（2）由于函数 y=f（x）在 R 上为减函数

43、，所以)1()()()(2222fyxfyfxf+=,即有122+yx,又)0(1)2(fyaxf=+，根据函数的单调性，有02=+yax,由=BA，所以直线02=+yax与圆面122+yx无公共点.因此有1122+a，解得11a.25.已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f xyf xfy+=+且当0 x，()0f x，又()12f=-（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求()f x 在区间3,3上的最大值；（3）解关于 x 的不等式()()()22234fxf xfx+解析：（1）()f x 的定义域为 R，关于原点对称令0 xy=，所以()()()0000fff+=

44、+，所以()00f=令 yx=，所以()()()()f xxf xfx+=+，所以()()0f xfx+=所以()()fxf x=，所以()f x 是奇函数（2）任取12,x xR且12xx所以()()()()1212f xxf xfx+=+，所以()()()1212f xxf xfx=+又因为()f x 是奇函数，所以()()()1212f xxf xf x=因为12xx，所以120 xx，所以()()()12120f xxf xf x=所以()f x 是 R 上的减函数所以()()()()()()()()min31 21211 1316f xfffffff=+=+=+=所以()()()max336f xff=（3）因为()()()22234fxf xfx+，所以()()()22234fxf xfx+所以()()()22234fxfxfx+，所以()()2254fxfx+又因为()()()()211214ffff=+=，所以()()224ff=所以()()()2252fxfxf+，所以()()2252fxfx且()f x 是减函数所以2252xx，解得：()1,2,2x+