2022秋高中数学 第六章 导数及其应用 6.docx

1、6.1.3基本初等函数的导数6.1.4求导法则及其应用必备知识基础练1.若f(x)=cos x,则f2=()A.-1B.1C.0D.22.(多选题)下列求导运算不正确的是()A.x+1x=1+1x2B.(log2x)=1xln2C.(32x)=32xln 3D.(x2cos x)=-2xsin x3.已知f(x)=x2-xf(0)-1,则f(2)的值为()A.1B.-1C.3D.-34.某质点的运动方程为s(t)=1t4(s:米,t:秒),则质点在t=3秒时的速度为()A.-43-4米/秒B.-33-4米/秒C.-53-5米/秒D.-43-5米/秒5.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若

2、f(x)-g(x)=1,则x=.6.曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.7.已知函数f1(x)=sin x,fn+1(x)=fn(x)(nN+),则f2 0226=.8.(2022四川攀枝花七中高二阶段练习)求下列函数的导数:(1)y=cosx-xx2;(2)y=ex(1+cos x)-2x;(3)y=log3(5x-1).9.设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f(x)满足f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,bR.求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.关键能力提升练10.若直线l与曲线y=x和圆x2+y2=15都相切,则l的方程为()A.y

3、=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+1211.已知函数f(x)=e-2x+1,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.112.曲线y=sinxex+1(x0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+213.已知f(x)=(x+a)ln|x|-1x2是奇函数,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为()A.2x-y+3=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.x+y+2=014.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f(5)=3,g(5

4、)=4,g(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h(5)=.15.已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为直线l,则l在y轴上的截距为.16.已知f(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f(x)=ex(2x+1)+f(x),f(0)=-2,则不等式f(x)4ex的解集为.17.(2022江苏南通高二期中)写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=.f(m+n)=f(m)f(n);f(x)0,f(x)-g(x)=2x-1x=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12(舍去负值).故x=1.6.y=2x设切点坐标为(x0,y0).对y=l

5、nx+x+1求导可得y=1x+1.由题意得,1x0+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.7.32f1(x)=sinx,fn+1(x)=fn(x)(nN+),故f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx,f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,所以fn(x)的周期为4,故f2022(x)=f4505+2(x)=f2(x)=cosx,f20226=cos6=32.8.解(1)因为y=cosx-xx2(x0),所以y=(-sinx-1)x2-2x(cosx-x)x4=x(1-sinx)-2cosxx3.(2)因为y=ex(1+cosx

6、)-2x,所以y=ex(1+cosx-sinx)-2xln2.(3)因为y=log3(5x-1)x15,所以y=1(5x-1)ln35=5(5x-1)ln3.9.解因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f(x)=3x2+2ax+b.令x=1,得f(1)=3+2a+b,又f(1)=2a,所以3+2a+b=2a,解得b=-3.令x=2,得f(2)=12+4a+b,又f(2)=-b,所以12+4a+b=-b,解得a=-32.则f(x)=x3-32x2-3x+1,从而f(1)=-52.又f(1)=2-32=-3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-52=-3(x-1),即6x+

7、2y-1=0.10.D由y=x得y=12x,设直线l与曲线y=x的切点为(x0,x0),则直线l的方程为y-x0=12x0(x-x0),即12x0x-y+12x0=0,由直线l与圆x2+y2=15相切,得圆心(0,0)到直线l的距离等于圆的半径r=55,即|12x0|14x0+1=55,解得x0=1(负值舍去),所以直线l的方程为y=12x+12.11.A依题意,得f(x)=e-2x(-2)=-2e-2x,f(0)=-2e-20=-2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2,y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y

8、=x的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12123=13.12.C由题得y=cosxex-sinxex(ex)2=cosx-sinxex,设切点为(x0,y0)(x00),则当x=x0时,y=1,则ex0=cosx0-sinx0,令f(x)=ex-cosx+sinx,则f(x)=ex+sinx+cosx=ex+2sinx+4,当0x0,而当x1时,exe,sinx+cosx-2,f(x)0,x0,f(x)0,f(x)在0,+)上单调递增,则f(x)f(0)=0,所以方程ex0=cosx0-sinx0只有一个实根

9、x0=0,代入原函数得y0=sin0e0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.故选C.13.A由f(x)=(x+a)ln|x|-1x2是奇函数,可得a=0,f(-1)=1.当x0时,f(x)=xln(-x)-1x,f(x)=ln(-x)+1+1x2,f(-1)=2,所以曲线f(x)在x=-1处的切线方程为y-1=2(x+1),即2x-y+3=0.14.516h(x)=f(x)+2g(x),h(x)=f(x)g(x)-f(x)+2g(x)g(x)2,由f(5)=5,f(5)=3,g(5)=4,g(5)=1,得h(5)=f(5)g(5)-f(5)+2g(5)g(5)

10、2=34-(5+2)142=516.15.1由f(x)=ax-lnx,可得f(x)=a-1x,则切线的斜率为k=f(1)=a-1,切点坐标为(1,a),切线方程l为y-a=(a-1)(x-1),所以l在y轴上的截距为a+(a-1)(-1)=1.16.(-3,2)由题意,得f(x)-f(x)ex=2x+1,f(x)ex=2x+1,令f(x)ex=x2+x+c,则f(x)=ex(x2+x+c),f(0)=-2,c=-2,f(x)=ex(x2+x-2),不等式f(x)4ex的解集等价于x2+x-24,解得-3x2.17.e-x(答案不唯一)依题意,令f(x)=e-x,则f(m+n)=e-(m+n)=

11、e-m-n,f(m)=e-m,f(n)=e-n,所以f(m)f(n)=e-me-n=e-m-n=f(m+n),故满足;又f(x)=-e-x,则f(x)=-e-x0),可得f(x)=1x+1x32,可得f(1)=2,且f(1)=m2-2,所以m2-2-21-0=2,解得m=12.19.解(1)因为f(x)=2x.P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=f(x)上的点,P点处的切线的斜率k1=f(-1)=-2,Q点处的切线的斜率k2=f(2)=4,P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),即2x+y+1=0.Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)因为f(x)=2x,直线PQ的斜率k=4-12+1=1,设切点为M(x0,y0),则切线的斜率k=f(x0)=2x0=1,所以x0=12,所以切点M12,14,所以与PQ平行的切线方程为y-14=x-12,即4x-4y-1=0.20.解(1)f(x)=exsinx,f(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx).f12=e2sin2+cos2=e2.(2)设切点的坐标为P(x0,y0),由题意可知f(x0)=0.又f(x)=-2x(1+x2)2,f(x0)=-2x0(1+x02)2=0.解得x0=0,此时y0=1.即该点的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.