高二数学期中考试答案(1).pdf

1、高二数学学科 参考答案 第 1 页（共 6 页）2022 学年第一学期湖州市三贤联盟期中联考 高二年级数学学科 答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.8.设 AB 的中点为 M，则1MC，M的轨迹方程是1)()2(22myx.直线 1l 过定点)0,0(，直线 2l 过定点)2,4(，且21ll，P的轨迹方程是5)1()2(22yx（除去点)2,0(）,由已知圆 M 与圆 P 有公共点，1515MP，即15115m15115m 525m 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选

2、项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.12.AD 选项 A：当32x时，点 P 的轨迹在线段 EF 上（11132,32CDFDABAE），此时1/BCEF，可得DBCEF1/面，P到底面DBC1的距离为定值.选项 A 正确.选项 B：当21y时，点 P 的轨迹在线段 MN 上（M 为1AD 的中点，N 为 1BC 的中点），若 P 在直线 MN 上，根据最小角定理，直线 AP 与 BD 所成角 最小值为 BD 与平面 ABNM 所成角DBM，且21sinDBM，但点 P 的 轨迹为线段 MN，无法取到此时最小.选项 B 错误.选项 C：当1

3、 yx时，点 P 的轨迹在线段1BD 上，将面ABD1与面DBD1铺平展开，PDPA 1最小值 为DA1长度，3632sin11BDA，36836421DA.选项 C 错误.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C A D D B 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD ABD AD 下载最新免费模拟卷，到公众号：一枚试卷君高二数学学科 参考答案 第 2 页（共 6 页）选项 D：当12 yx时，令ABAG 2，则 有12ADyAGxAP，则点 P 的轨迹在线 段GD1上，作PT面11AABB交GA1于点T，连接1,TBTB，则TBB1即为面11CPB与面PBC 所求

4、角.若901 TBB,则点T 在如图半圆上，半圆与GA1没有公共点，901TBB.选项 D 正确.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.2；14.5；15.96；16.321xy.16.设)00(:tktkxyl，则),0(),0,(tQktP,取 AB 中点 E，由已知 E 也是 PQ 中点，)2,2(tktE，由点差法可得：4182ABOE kk，)0(214141222kkkkktt 又)0(3315512222ttttktPQ，l 方程为321xy，经检验，符合题意.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程.17.（本题

5、满分 10 分）如图，在正四面体BCDA中，6AB，M 为棱OA 的中点，N 为棱 BC（靠近C 点）的三等分点，设cOCbOBaOA,.（1）用cba,表示 AN；（2）求ANOM；（3）求 MN 的长.解：（1）BCOBaBNOBaONAOAN32 cbacbbaOCBOOBa32313232)(323 分（2）cabaacbaaANOM316121)3231(212 963182166312166613621 6 分（3）cbaabcbaBCOBOMONMN32312121(322132）7 分 cbcabacbacbaMN3231232)21(231)21(2949141)323121

6、(2222198126369436913641 10 分 第 17 题图 高二数学学科 参考答案 第 3 页（共 6 页）18.（本题满分 12 分）直线l 经过两直线 1:30lxy 与 2:310lxy 的交点，根据下列条件分别求直线l 的方程.（1）直线l 与直线 垂直；（2）直线l 与直线 所成的角为45.解：（1）联立30310 xyxy 21yx，1l与 2l 的交点为)2,1(.2 分 由已知可得l 的斜率为 21，4 分 直线l 的方程为)1(212xy即250 xy 5 分（2）直线012 yx的一个方向向量)2,1(v.6 分 由已知当直线l 斜率不存在时不合题意，设直线l

7、 的一个方向向量),1(kw（k 为直线l 的斜率）7 分 则有：038315212222kkkk 9 分 3k或1311 分 直线l 的方程为23(1)yx或12(1)3yx,即350 xy 或+3+50 xy12 分 19.（本题满分 12 分）如图，某海面有BAO,三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A 岛在O 岛正西方向距O 岛30千米处，B 岛在O 岛北偏西45 方向距O 岛260千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为 x 轴的正方向，1千 米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过，OBA,三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一渔船 D 在O

8、 岛的南偏东30 方向距O 岛60 千米处，正沿着北偏西45 方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由.解：（1）由已知)60,60(),0,30(,00(BAO），.1 分 设圆C 方程为)0()()(222rrbyax，将BAO,三点代入得 22504515)60()60()30(2222222222rbarbarbarba，圆C 的方程为2250)45()15(22yx5 分（2）由已知该船初始位置为点)330,30(D，且该船航线所在直线l 的斜率为 1.6 分 海船行驶路线)30(330:xyl即030330 yx 8 分 圆心C 到l 的距离615230330

9、4515d 10 分 10152250615rd，有触礁危险.12 分 第 19 题图 012 yx012 yx高二数学学科 参考答案 第 4 页（共 6 页）20.（本题满分 12 分）如图，在直三棱柱111CBAABC，BCABABAA,11.（1）证明：CAAB11；（2）若三棱锥CABA11 的体积为 62，求平面CBA11 与平面CAB1夹角的余弦值.（1）证明：连接BA1,由已知1BB平面 ABC，BCBB 1.BCBBBABABBC,1平面BBAA11.2 分 1AB平面BBAA11，1ABBC.3 分,11ABAA四边形BBAA11为正方形，BAAB11.又BBABC1,1AB

10、平面BCA1.4 分 CA1平面BCA1，CAAB11.5 分（2）由（1）得BC平面BBAA11,点C 到平面BAA1的距离为 BC.6 分 2626121311111111BCBCBCAABAVVBAACCABA.7 分 1,BBBCBA两两垂直，现以 B 为原点，分别以1,BBBABC所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图空 间直角坐标系，则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,1,0(11CBAA.8 分 设平面CAB1 的法向量为),(111zyxm，)0,1,2(AC，)1,1,0(1AB，则 001ABmACm0021111zyyx，令21 x，则)2,2,2

11、(m.9 分 设平面CBA11的法向量为),(222zyxn，)1,1,2(1CA，)0,1,0(11BA，则 00111BAnCAn0022222yzyx，令22 x，则)2,0,2(n.10 分 设平面CBA11与平面CAB1夹角为，则有5156106cosnmnm.平面CBA11与平面CAB1夹角的余弦值为515.12 分 第 20 题图 高二数学学科 参考答案 第 5 页（共 6 页）21.（本题满分 12 分）已知圆C 方程为04822yxyx，21,ll是经过)2,0(P且互相垂直的两条直线，其中 1l 交圆C 于 NM,两点，2l 交 x 轴于Q 点.（1）若8MN，求直线 1l

12、 的方程；（2）求 QMN面积的最小值.解：（1）由已知圆C 的方程为20)2()4(22yx，圆心)2,4(C，半径52r.1 分 若 1l 垂直于 x 轴，则4MN不合题意，1l斜率存在，设为k,则 1l 的方程为2 kxy，即02 ykx.2 分 8MN，C到 1l 的距离24)52(22d.4 分 33212242kkk，直线 1l 的方程为233xy，即0633yx.6 分（2）由已知，2l 斜率不为 0，1l斜率存在.当 2l 斜率不存在时，2l 方程为0 x，则)0,0(Q，此时 1l 方程 为2y，此时54MN，8 分 5425421QMNS.9 分 当 2l 斜率存在时，设2

13、:1 kxyl即02 ykx，则圆心C 到直线 MN 的距离为142 kk.15412042116)52(22222222kkkkkkMN10 分 2l 方程为21xky，即02 kyx，)0,2(kQ，则点Q 到 MN 的距离为22122kk.54541541222122222kkkkkS QMN 11 分 综上：QMN面积的最小值为54.12 分 高二数学学科 参考答案 第 6 页（共 6 页）22.（本题满分 12 分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC，长轴长为8，过点)0,2(P且与 y 轴平行的直线被椭圆C 截得的线段长为32.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点P 的动

14、直线（不与坐标轴平行）与椭圆C 交于BA,两点，是否在x 轴上存在定点Q，使得QA 与 QB 的斜率之积为定值？若存在，求出所有满足条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知482aa.1 分 设过点)0,2(P且与 y 轴平行的直线交椭圆C 于M 点，则)3,2(M.2 分 代入椭圆方程为41316422bb，椭圆C 的标准方程为141622 yx.5 分(2)假设存在)0,(tQ满足条件.设直线 AB 方程为2 myx，),(),(2211yxByxA，联立0124)4(21642222myymmyxyx，则有412440221221myymmyy恒成立 7 分,2211txyktxykQBQA 2212121)(txxtxxyykkQBQA2212121)4()2)(2(tmymytmymyyy 2212122144)(2(ttyymtmyymyy222224444)2(412412ttmmmtmmmm)4()2(48121222222mttmmm222)2(4)20444(12ttttm 222)2(4)16(12ttm10 分 由已知QBQA kk与m 无关，40162tt 当4t时，QBQA kk为定值121，当4t时，QBQA kk为定值43.存在定点)0,4(Q使得QA 与QB 的斜率之积为定值.12 分