黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试卷（PDF版附答案）.pdf

1、哈师大附中 2021 级高二学年上学期期中考试数学学科试题 答案满分 150 时间：120 分钟一、选择题（共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，1 至 8 题是单选题，9 至 12 题是多选题）1双曲线2214yx=的渐近线方程是（A ）A 20 xy=B40 xy=C20 xy=D40 xy=2已知圆221:20Cxyx+=，圆222:40Cxyy+=，则这两个圆的位置关系为（C ）A外离B外切C相交D内切3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走 378 里路

2、，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（C ）A63 里B126 里C192 里D228 里4已知椭圆221369xy+=与 x 轴交于点 A，B，把线段 AB 分成 6 等份，过每个分点做 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点1P，2P，3P，4P，5P，F 是椭圆 C 的右焦点，则12345PFP FP FP FP F+=（D ）A20B15 3C36D305在等比数列 na中，118a=，2q，则4a 与8a 的等比中项是（A ）A 4B 4C 2D 46直线l 与圆22(2)2xy+=相切，且l 在 x 轴 y 轴上的

3、截距相等，则直线l 的方程不可能是（B ）A0 xy+=B2 220 xy+=C0 xy=D40 xy+=7某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线21:|Cya xx=与2:|Cyb cx=构成，若 a，b，c 依次成等比数列，则=（C ）A32B 23C23D 328已知双曲线C：()222210,0 xyabab=的右焦点为 F，关于原点对称的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上，以 AB 为直径的圆恰好过右焦点 F，3BFFC=，且点 C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（B ）A 103B 102C52D 2 339（多

4、选题）已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，直线:=2与抛物线 C 交于 A，B 两点，则（AB ）A抛物线 C 的准线方程为=1B点 F 到直线 l 的距离为22CAOB2=D|=1010（多选题）已知等差数列的前 n 项和为，1=1，2=3，=22，的前n 项和为则下列说法正确的是（ABD ）A数列的公差为 2B=2C数列是公比为 4 的等比数列D=4(116)1411（多选题）在正方体1111ABCDA BC D中，,分别是,11的中点，下列说法正确的是（AC ）A四边形1B EDF 是菱形B直线 AC 与1BC 所成的角为 4C直线1AC 与平面 ABCD所成角的正弦值是33D平面

5、1A BD 与平面 ABCD夹角的余弦值是6312（多选题）已知数列是等比数列，下列结论正确的为（BD ）A若1+3 0，则1+2 0，则23 0C若12 0，则(2 1)(2 3)1 0，则1+3 22二、填空题（共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）13抛物线2=8的焦点到准线的距离是_4_.14已知nS 是等差数列 na的前n 项和，若2015S=，40=75，则60=_180_15数列 na满足1=1，1=2+121（，2），则=_=2+13 _16已知点 P 是椭圆221168xy+=上非顶点的动点，1F，2F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若 M 是12F PF的平

6、分线上一点，且10F M MP=，则 OM 的取值范围是(0,22)三、解答题（共 6 个题，17 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分）17（10 分）已知圆 C：()()221216xy+=，过点()1,3P 且倾斜角为 的直线与圆C交于 A，B 两点(1)当135=时，求弦长|的值；(2)当点 P 为线段 AB 中点时，求直线 AB 的方程（1）解：当135=时，则tan1351ABk=此时直线 AB 方程为：()31yx=+，即20 xy+=故圆心()1,2C到直线 AB 的距离122221 1d+=+又4r=，所以2222222 4622ABrd=（2）解：点 P 为

7、AB 中点时，则CPAB，所以1CPABkk?-，其中3211 12CPk=，所以2ABk=所以直线 AB 方程为()321yx=+，即250 xy+=18（12 分）如图，在直三棱柱 111中，E 为1BB 的中点，122ABCCBC=(1)证明：1ACC E(2)求平面1与平面11夹角的余弦值18（1）在直三棱柱111ABCA BC中，1CC 平面 ABC,AC 平面 ABC,所以1CC AC，又由题可知，1CC,BC 平面11BCC B且1CC =,所以 AC 平面11BCC B,又因为1C E 平面11BCC B,所以 1.（2）在直三棱柱111ABCA BC中，1CC 平面 ABC,

8、，平面 ABC,所以1CC AC，1CC B,又 所以,1三条直线两两互相垂直如图所示，以C 为坐标原点，1,CA CB CC 分别为,x y z 轴建系如图，由 ，22ABBC=，可得3AC=，则有(3,0,0),(0,1,1),1(0,0,2),(0,1,0),设平面1AEC 的一个方向量为(,),mx y z=1=(3,1,1),=(3,0,2)AEAC,所以1=0,=0AE mAC m即3+=0,3+2=0 x y zxz令3,z=则23xy=，所以(2,3,3),m=因为 AC 平面11BCC B,所以(3,0,0)CA=为平面11BCC B 的一个法向量，所以,2 310cos=5

9、10?3m CAm CAm CA,即平面1与平面11夹角的余弦值等于 105.19（12 分）已知双曲线C：()222210,0 xyabab=经过点()2 2,3P，焦点 F 到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为 1 的直线l 与双曲线C 相交于 A，B 两点，当l 过双曲线C 的右焦点时,求弦长|的值.19（1）解：若焦点(),0F c，其到渐近线byxa=的距离231bcadbba=+，又因为双曲线C：()222210,0 xyabab=经过点()2 2,3P，所以28313a=，解得2a=，所以双曲线C 的方程为22143xy=；（2）解：由（1）知双曲线的右焦点

10、为(7,0)，所以直线l 方程为：=7设点()11,A x y，()22,B xy，联立=732 42=12，得2 87+40=0，=(87)2 4 40 0所以1+2=87,12=40，从而|=1+(1)2|1 2|=1+(1)2 (1+2)2 412=24所以弦长|的值为 24.20（12 分）已知等差数列 na中，10=10，17=17，在各项均为正数的等比数列 nb中，12ba=，38ba=(1)求数列 na与 nb的通项公式；(2)求数列nna b的前 n 项和nT 20（1）设 na的公差为，则=17101710=1，所以10=1+9所以1=1所以nan=；设等比数列 nb的公比为

11、q，由题得12b=，238,28,2.bqq=所以12 22nnnb=.所以2nnb=.（2）由题得2nnna bn=.所以121 22 22nnTn=+则()23121 22 2+1 22nnnTnn+=+两式相减得123122222nnnTn+=+()()1121 2=2=1221 2nnnnn+所以()11 22nnTn+=+.21（12 分）已知数列 na的前n 项和为nS，若2219nSnn=.(1)求证：数列 na是等差数列；(2)若nnba=，求数列 nb的前n 项和nT 21（1）因为2219nSnn=所以 2时，2212(1)19(1)22321nSnnnn=+由相减可得，4

12、21nan=，2n 当1n=时，421nan=也满足题意，故 na的通项公式为：421nan=.所以 2时，1=4(1)21=4 25所以 2时，1=4总成立所以数列 na是等差数列.（2）因为|nnba=，所以123|nnTaaaa=+，当4210nan=时，5n；当4210nan=时，6n，由(1)中结论可知，当5n 时，212219nnnTaaaSnn=+；当6n 时，2555()221990nnnTSSSSSnn=+=+，从而22219,521990,6nnn nTnnn+=+.22.(12 分)已知平面内的两点 A(0，22)，B(0，22)，过点 A 的直线 l1 与过点 B 的直

13、线 l2 相交于点 C，若直线 l1 与直线 l2 的斜率乘积为12，设点 C 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)设 P 是 E 与 x 轴正半轴的交点，过 P 点作两条直线分别与 E 交于点 M，N，若直线PM，PN 斜率之积为2，求证：直线 MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.化为 y2812x2，即为21628 1(x0).解：(1)设 C(x，y)，由直线 l1 与直线 l2 的斜率乘积为12，可得 kACkBC220 220 12，(2)证明：设直线 MN：xtym，则，22216(tym)22y216，即(t22)y22tmym2160，设 M(ty1m，y1)，N(ty2m，y2)，而P(4，0)，y1y2222，y1y221622，则由 kPMkPN4，得114 2242y1y22(ty1m4)(ty2m4)0，则(12t2)y1y22t(m4)(y1y2)2(m4)20，即(12t2)21622 2t(m4)(222)2(m4)20，整理得（5m-12）(m-4)0，解得 m125 或 m4(舍去)，所以直线 MN：xty125，知直线 MN 恒过点(125，0).