2023届高考数学二轮复习 专题15 数列构造求解析式必刷100题（教师版）.docx

1、专题15 数列构造求解析式必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1数列中，则（）A32B62C63D64【答案】C【分析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.2在数列中，且，则的通项为（ ）ABCD【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：，由，得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即故选：A3设数列an满足a11，a23，且2nan(n1)an1(n1)an1，则a20的值是（ ）A4B4C4D4【答

2、案】D【分析】首先证得nan(n1)an1为常数列，得到，进而证得数列是以1为首项，5为公差的等差数列，从而求出通项公式，进而求出结果.【详解】因为2nan(n1)an1(n1)an1，所以nan(n1)an1(n1)an1nan故数列nan(n1)an1为常数列，且，所以，即，因此数列是以1为首项，5为公差的等差数列，所以，因此所以a20.故选：D4设数列an中，a12，an12an3，则通项an可能是（ ）A53nB32n11C53n2D52n13【答案】D【分析】用构造法求通项.【详解】设，则，因为an12an3，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以故选：D5已知数列满足：，则

3、数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】D【分析】对两边取倒数后，可以判断是首项为1，公差为的等差数列，即可求得.【详解】由数列满足：，两边取倒数得：，即，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以故选:D6已知数列中，则（ ）ABCD【答案】D【分析】令，由等差数列的性质及通项可得，即可得解.【详解】令，则，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.故选：D.7已知数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和【详解】因为，所以，又，所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，则数列也是等比数列，公比为，

4、首项为3所以故选：A8已知数列满足：，则（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知关系求得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论【详解】由题意，由得，即，所以数列是等比数列，仅比为4，首项为4，所以故选：C9已知数列满足递推关系，则（ ）ABCD【答案】D【分析】由递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果.【详解】因为，所以，即数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故选：D.10已知数列满足：，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】B【分析】取倒数，可得是以为首项，为公比的等比数列，由此可得结论.【详解】 ， ，是以为首项，为公比的等比数列，.故选：B.11数列满

5、足，且，若，则的最小值为 A3B4C5D6【答案】C【分析】依题意，得，可判断出数列2nan为公差是1的等差数列，进一步可求得21a1=2，即其首项为2，从而可得an=，继而可得答案【详解】，即，数列2nan为公差是1的等差数列，又a1=1，21a1=2，即其首项为2，2nan=2+（n1）1=n+1，an=a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=，若，则n的最小值为5，故选C12已知数列满足，则满足不等式的（为正整数）的值为（ ）A3B4C5D6【答案】D【分析】先求得的通项公式，然后解不等式求得的值.【详解】依题意， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由得，即，即，而在上递

6、减，所以由可知.故选：D13在数列中，若，则的最小值是（ ）A9B10C11D12【答案】C【分析】根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.【详解】因为，所以，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.则，即.因为，所以，所以，所以.故选：C14已知数列满足，且，则的第项为（ ）ABCD【答案】A【分析】在等式两边取倒数，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，进而可求得.【详解】当且，在等式两边取倒数得，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，因此，.故选：A.15数列中，若，则该数列的通项（ ）ABCD【答案】A【分析】据递推

7、关系式可得， 利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为，所以，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，故，故选：A16已知数列满足，且，则数列前6项的和为（ ）.A115B118C120D128【答案】C【分析】由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和.【详解】，则，可得，可化为，有，得，则数列前6项的和为.故选：C第II卷（非选择题）二、填空题17已知数列满足，则_【答案】【分析】先判断出是首项为2，公比为3的等比数列，即可得到，从而求出.【详解】因为，所以，由，所以为首项为2，公比为3的等比数列，所以，所以.故答案为：18

8、已知数列的各项均为正数，且，则数列的通项公式_【答案】【分析】因式分解可得，结合，即得解【详解】由，得又，所以数列的通项公式故答案为：19已知数列满足，且，则数列的通项公式_【答案】【分析】利用条件构造数列，可得数列为等差数列即求.【详解】，即又，数列是以3为首项，1为公差的等差数列，数列的通项公式故答案为：.20若正项数列满足，则数列的通项公式是_【答案】【分析】根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.【详解】在正项数列中，则有，于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，则有，即，所以数列的通项公式是.故答案为：21若数列满足，且，则_【答案】15【分析】根据题意

9、整理可得，所以为常数列，令即可得解.【详解】由可得，两边同除可得，故数列为常数列，所以，所以，解得.故答案为：1522数列的前项和为，已知，则_【答案】【分析】由给定条件借助消去，求出即可得解.【详解】因，而，则，于是得，又，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而有，即，时，而满足上式，所以，.故答案为：23在数列中，则_.【答案】460【分析】由已知可得，即数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可求出的通项公式，得出所求.【详解】，即,所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，.故答案为：460.三、解答题24已知数列满足，.（1）若数列满足，求证：是等比数列；（2）求数列的前n项和.【

10、答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由递推公式可得，即，即可得证；（2）由（1）可得，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得；（1）解：因为，所以，又，所以，即，所以是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，即，所以所以25已知数列的前项和为，且，数列满足，求数列，的通项公式；【答案】，【分析】利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；【详解】解：数列的前项和为，且，当时，当时，显然也适合上式所以；因为数列满足，所以，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列故，所以.26已知数列中，求数列的通项公式；【答案】【分析】首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通

11、项公式；【详解】解：因为，所以令，则，解得，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；27已知列满足，且，（1）设，证明：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据题设递推式得，根据等差数列的定义，结论得证.（2）由（1）直接写出通项公式即可.【详解】（1）由题设知：，且，是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证.（2）由（1）知：.28已知等差数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）已知，设_，求数列的通项公式.在，这3个条件中，任选一个解答上述问题.注：如果选择多个条件分别解答，按照

12、第一个解答计分.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）根据等差数列的性质可求，从而可求的通项.（2）根据题设中的递推关系可得，从而可得为常数列，据此可求的通项，从而可求相应的的通项公式.【详解】（1）因为为等差数列，故，故，而，故即，所以等差数列的公差为1，所以.（2）因此，故，所以，所以为常数列，所以，所以，若选，则；若选，则；若选，则.29设数列满足，且，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是：，中的一个，判断的通项公式，并求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【分析】（1）由递推公式得，结合已知是首项为3，公比为3的等比数列，写出的通项公式，进而求，的值；（2）由（1）

13、得，再应用分组求和及等差、等比前n项和公式求.【详解】（1），即且，是首项为3，公比为3的等比数列，即，则，.（2）设，由（1）知，又.，.30已知数列满足，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）构造，结合已知条件可知是首项为2，公差为4的等差数列，写出通项公式，再应用累加法有，即可求的通项公式；（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且数列单调递增，即可求其最小值.【详解】（1）令，则，而，是首项为2，公差为4的等差数列，即，又，.（2）由题设，当且仅当时等号成立，故且在上单调递增，又，当时，的最小值.任务二:中立模式(中档)1-50题一、单选

14、题1已知数列满足，记数列前项和为，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由可得，利用累加法可求得，求得的范围，从而可得的范围，从而可得出答案.【详解】解：由可得，化简得，累加求和得，化简得，因为，所以，即，所以，即故选：B.2已知数列满足，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】将递推关系式整理为，可知数列为等差数列，借助等差数列通项公式可整理求得，从而得到的通项公式；根据数列的单调性可采用分离变量法得到，结合导数的知识可求得，由此可得结果.【详解】由得：，即，是公差为的等差数列，是递减数列，即，即只需，令，在上单调递增，在上单调递减又，当时，即，即实数的取值范

15、围是故选：B3已知在数列中，则（ ）ABCD【答案】A【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解:因为，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以，解得故选：A4设数列满足，若，且数列的前 项和为，则（ ）ABCD【答案】D【分析】先根据的递推关系求出的通项公式，代入的表达式中，求出的通项，即可求解的前 项和【详解】由可得, ,则可得数列为常数列，即, ,.故选: D5数列满足，若，且数列的前项和为，则（ ）A64B80CD【答案】C【分析】由已知可得，即数列是等差数列，由此求出，分别令可求出.【详解】数列满足，则，可得数

16、列是首项为1、公差为1的等差数列，即有，即为，则，则.故选：C.6已知数列满足，且，则（ ）ABCD【答案】A【分析】由可得，从而得数列以为首项，2为公比的等比数列，根据，可化为，从而即可求得答案.【详解】由可得，若，则，与题中条件矛盾，故，所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A7已知数列满足，若，当时，的最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.【详解】由得：，即，数列是以为首项，为公差的等差数列，则，由得：，又，且，的最小值为.故

17、选：C.8数列各项均是正数，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ）；数列是等比数列；数列是等比数列；A1B2C3D4【答案】B【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到，整理得到，利用构造法求出数列的通项，即可判断；【详解】解：由得，所以，（*），正确；由（*）知，首项，是等比数列，正确；，首项，不符合等比数列的定义，错误；由对可知：，两边同除得，令，即数列是恒为0的常数列，故错误故选：B9已知数列满足，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，且求得实数的取值范围.【详解

18、】解：由得，则由，得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，由，得， 因为数列是单调递增数列，所以时，即，所以，又，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.10已知数列满足，.若，则数列的通项公式（ ）ABCD【答案】C【分析】变形为可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，求出后代入到可得结果.【详解】由，得，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以.故选：C.11已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）ABCD【答案】B【分析】转化条件为，结合等差数列的性质可得，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即，所以，当时，

19、所以中最小的一项是.故选：B.12已知数列，则（ ）ABCD【答案】B【分析】令，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得的值.【详解】由可得，根据递推公式可得出，进而可知，对任意的，在等式两边取对数可得，令，则，可得，则，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，即.故选：B.13已知数列的前项和为，且满足，若，则的最小值为（ ）ABCD0【答案】A【分析】转化条件为，由等差数列的定义及通项公式可得，求得满足的项后即可得解.【详解】因为，所以，又，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列，所以，所以，令，解得，所以，其余各项均大于0，所以.故选：A.14数列满足，那么的值为（ ）

20、A4B12C18D32【答案】D【分析】首先根据题中所给的数列的递推公式，得到，从而得到数列是以为首项，以为公差的等差数列，进而写出的通项公式，将代入求得结果.【详解】由可得，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，所以，所以，故选：D.15已知数列满足，则（ ）ABCD【答案】A【分析】依题意可得即数列是以为首项，以2为公比的等比数列，从而得到，再用错位相减法求和，即可得解；【详解】解：由，所以，得.所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，所以.设的前项和为，则，两边同乘2，得，两个式子相减得，所以，所以.故选：A16若数列的首项，且满足，则的值为（ ）A1980B2000

21、C2020D2021【答案】A【分析】由条件可得，从而数列是首项为21，公差为1的等差数列，由，可得，得出的通项公式，进一步得出答案.【详解】，所以数列是首项为21，公差为1的等差数列，. ，故选：A.17设数列的前项和为，且，（），则的最小值为ABCD【答案】B【分析】利用数列的通项与前项和的关系,将转换为的递推公式,继而构造数列求出,再得到关于的表达式,进而根据函数的性质可得的增减性求解即可.【详解】由题,当时, ,整理得,即数列是以1为首项,2为公差的等差数列.所以,故.所以,令函数,则.故数列是一个递增数列,当时,有最小值.故选：B18已知数列的首项，则（ ）A7268B5068C63

22、98D4028【答案】C【分析】由得，所以构造数列为等差数列，算出，求出.【详解】易知，因为，所以，即，是以3为公差，以2为首项的等差数列.所以，即.故选 ：C19已知在数列中，则（ ）ABCD【答案】A【分析】递推关系式乘以，再减去3，构造等比数列求通项公式.【详解】因为，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，解得.故选：A.20如果数列满足，且，则这个数列的第10项等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值【详解】解：，即为等差数列，为以为首项，为公差的等差数列，故选：第II卷（非选择题）二、填空题21已知数列满

23、足，且，则的通项公式_.【答案】【分析】由已知条件可得，从而有是以为首项，为公差的等差数列，进而可得，最后利用累加法及等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】解：由,得，则，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，所以，当时，也适合上式，所以，故答案为：.22设数列满足，数列前n项和为，且（且）若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则的值为_【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，又，由此即可求出.【详解】当时，从第2项起是等差数列.又，当时，（），当时，.又，.故答案为：202323已知是数列的前项和，求数列的

24、通项公式_.【答案】【分析】根据已知条件构造，可得是公比为的等比数列，即，再由累加法以及分组求和即可求解.【详解】因为，所以，因此，因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以当时，以上各式累加可得：，因为，所以；又符合上式，所以.故答案为：.24设数列满足，数列前n项和为，且（且）若表示不超过x的最大整数，数列的前n项和为，则的值为_【答案】2023【分析】根据递推公式，可知从第2项起是等差数列，可得，再根据累加法，可得，由此可得当时，又，由此即可求出.【详解】当时，从第2项起是等差数列.又，当时，（），当时，.又，.故答案为：2023.25已知数列中，设，求数列的通项公式_

25、【答案】【分析】首先判断是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列的通项公式.【详解】依题意，则，两边取倒数并化简得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：26已知数列满足，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】将已知递推关系式变形为，令，采用倒数法可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得后，整理可得所求通项公式.【详解】由得：，设，则有，即，又，数列是以，为公差的等差数列，即，.故答案为：.27若数列满足，则数列的通项公式_.【答案】【分析】由，可得，设，即，先求出的通项公式，进而得到答案.【详解】由，可得，设则，则所以是以1为首项，3为公比的等比数列.则，则，所以

26、故答案为：28已知数列中，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_.【答案】2【分析】将已知等式化为，根据数列是首项为3公差为1的等差数列，可求得通项公式，将不等式化为恒成立，求出的最大值即可得解.【详解】因为时，所以，而，所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：229在数列中，且，则_.(用含的式子表示)【答案】【分析】将条件变形为，即数列是首项为，公比为3的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以所以.故答案为：30若数列满足，且，则_.【答案】

27、【分析】由题意结合数列的递推公式，逐步运算即可得解.【详解】因为，所以，数列是等比数列，首项为，公比为，则通项，可得：，则.故答案为：.31在数列中，是数列的前项和，则为_.【答案】【分析】将化为，再由等比数列的定义和通项公式求和公式，可得所求和.【详解】解：由，可得，即，所以数列是以为首项2为公差的等差数列，所以，由，.故答案为：.32若数列满足，则使得成立的最小正整数的值是_.【答案】【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得，代入不等式，结合可求得结果.【详解】，数列是以为首项，为公比的等比数列，由得：，即，且，满足题意的最小正整数.故答案为：.33已知数列满足

28、，则_.【答案】【分析】转化原式为，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，即得解【详解】依题意，故，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故，则.故答案为：34已知数列an满足（nN*），且a2=6，则an的通项公式为_.【答案】【分析】由题意令n=1可得a1，当时，转化条件可得，进而可得，即可得解.【详解】因为数列an满足（nN*），所以，当n=1时，即a1=1，当时，由可得，数列从第二项开始是常数列，又，又满足上式，.故答案为：.35设数列满足，则_.【答案】【分析】由题意可得，化简整理得，令，可得，由此可得，从而可求出答案【详解】解：，当时，即，令，则，且，又，即，故答案为：36已知数

29、列满足，若，则数列的首项的取值范围为_.【答案】【分析】利用构造法求得，由可得出，可得，进而可求得的取值范围.【详解】，.若，得，可知，此时，数列是递减数列，不合乎题意；若，得，则数列是以为公比的等比数列，所以，则，且，即，整理得，则，易知数列是单调递减数列，则，解得.因此，数列的首项的取值范围为.故答案为：.37数列满足，（，），则_.【答案】【分析】利用项和转换，得到，故是以为首项，为公差的等差数列，可得，再借助，即得解.【详解】由于，即故是以为首项，为公差的等差数列由于故答案为：38已知数列满足，则通项公式_.【答案】【分析】先取倒数可得,即,由等比数列的定义可得时,即,再检验时是否符合

30、即可【详解】由题,因为,所以,所以, 当时,所以,所以当时,则,即,当时,符合,所以,故答案为:39数列满足：，令，数列的前项和为，则_【答案】【详解】由递推关系整理可得： ，则： ，据此可得： 以上各式相加可得： ，再次累加求通项可得： ，当 时该式也满足题意，综上可得： ，则：40数列满足,记,则数列的前项和_【答案】【详解】试题分析：由得，且，所以数列构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以，从而得到，则，所以,两式相减，得所以.三、解答题41已知在数列中，且.（1）求，并证明数列是等比数列；（2）求的通项公式；（3）求的值.【答案】（1）-4，-15，证明见解析（2）（3）【分析】（1

31、）代值计算出，根据递推公式可得据，即可证明；（2）由（1）可知是以-2为首项，以3为公比的等比数列，即可求出通项公式；（3）分组求和，即可求出答案.（1）解：因为，且所以，且，数列是等比数列，（2）解：由（1）可知是以为首项，以3为公比的等比数列，即，即；（3）解：.42已知Sn4an，求an与Sn.【答案】ann，nN*；Sn4.【分析】由题得Sn4an，Sn14an1，n2，两式相减化简即得an与Sn.【详解】Sn4an，Sn14an1，n2，当n2时，SnSn1anan1an.anan1，2nan2n1an12，2nan是等差数列，d2，首项为2a1.a1S14a12a1，a11，2na

32、n22(n1)2n.ann，nN*，Sn4an4n4.43设各项均为正数的等差数列的前项和为，且，成等比数列（1）求数列的公差；（2）数列满足，且，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据，成等比数列可得，利用表示出和，解方程组可求得，结合可得结果；（2）由（1）可得，整理得，可知数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到结果.（1）（1）设等差数列的公差为，成等比数列，即，又，解得：或；当时，与矛盾，即等差数列的公差；（2）由（1）得：，即，又，解得：，数列是以为首项，为公比的等比数列，整理可得：.44已知数列中，.（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足的，数列的前项

33、和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）将递推公式两边取倒数，即可得到，从而得到，即可得证；（2）由（1）可得，从而得到，再利用错位相减法求和即可得到，即可得到，对一切恒成立，再对分奇偶讨论，即可求出的取值范围；（1）解：由，得 ， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 .（2）解：由（1）得，即. 所以. 两式相减得:， 因为不等式对一切恒成立，所以，对一切恒成立，因为单调递增 若为偶数，则，对一切恒成立，； 若为奇数，则，对一切恒成立， 综上：.45数列，的每一项都是正数，且，成等差数列，成等比数列（1）求数列，的值（2）求数列，的通项公式

34、（3）记，记的前n项和为，证明对于正整数n都有成立【答案】（1）24；36；（2），；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件取特殊值求，；(2)由条件证明数列为等差数列，由此可求数列，的通项公式；(3)利用裂项相消法求，由此证明.【详解】解：（1）由得，又得，（2），成等差数列，又，成等比数列，当时，由代入得，是以为首项的等差数列，则，时，经验证也符合，（3）由（2）知，则成立46已知数列满足，其中.（1）求证是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，若对任意的恒成立，求p的最小值.【答案】（1）证明见解析，；（2）最小值为1.【分析】（1）根据，可得，从而可得，即可得出结论，再根据等差数列的

35、通项即可求得数列的通项公式；（2），即，设，利用作差法证明数列单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：， 是以1为首项，1为公差的等差数列.，.（2）解：，即对任意的恒成立，而，设，数列单调递减，当时，.p的最小值为1.47已知数列的前n项和为，满足.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，； （2）.【分析】（1）由，化简得到，得出，利用等差数列的定义，得到数列表示首项为，公差为的等差数列，进而求得.（2）由题意，化简得到，结合裂项法，即可求解.【详解】（1）因为，可得，即，可得，即，又由，可得，所以数列表示首项为，公

36、差为的等差数列，所以，所以.（2）由，则数列的前n项和： ，即.48已知数列an满足a1，Sn是an的前n项和，点(2Snan，Sn1)在的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）若cnn，Tn为cn的前n项和，nN*，求Tn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据题意得到，进而证得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可以求出结果；（2）错位相减法求出数列的和即可.【详解】（1）点(2Snan，Sn1)在的图象上，.，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即,（2）,，得，.49已知数列an满足a1a2an1an（1）求证数列是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）设Tna1a2an，

37、bnan2Tn2，证明：b1+b2+bn【答案】（1）证明见解析，an；（2）证明见解析.【分析】（1）由题设得，进而构造与的关系式，利用等差数列的定义证明结论，然后求a1，即可得an；（2）由（1）求得Tn与bn，再利用放缩法与裂项相消法证明结论【详解】（1）a1a2an1an，则a1a2an+11an+1，两式相除得：，整理得，则，又n1时有a11a1，解得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，即.（2）由（1）得：Tna1a2an，bn，b1+b2+bn，得证50已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设是数列的前项和，证明【答案】（1）；（

38、2）；（3）证明见解析【分析】（1）先化简递推公式，由等比数列的定义判断出，数列是公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求出；（2）由（1）和条件求出，利用作差法判断出数列的单调性，可求出的最大值，再求实数的取值范围；（3）由（1）化简，利用裂项相消法求出，利用函数的单调性判断出的单调性，结合的取值范围求出的范围，即可证明结论【详解】解：（1）由已知，可得，所以所以数列是为首项，公比为的等比数列则，所以（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以则当，即，当，即，是最大项且，（3），又令，显然在时单调递减，所以，故而任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1数列满足，设，记表示不超过的最大整

39、数设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先通过构造等比数列求出数列的通项公式，并进而用累加法求出的通项公式及的通项公式.最后利用裂项相消法将化简后取整，整理的最小值后得解【详解】由题意得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，又，由累加法，；，对恒成立，则实数的最大值为.故选：C.2已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）A174B672C1494D5904【答案】B【分析】由条件可得，由此求出数列的通项，进而求得数列的通项，再利用分组求和方法即可计算作答.【详解】在数列中，当时，于是得数列是常数列，则，即，因，则，因此，显然数列是等差数列，于是得，所以

40、数列前36项和为672.故选：B3已知数列，满足.若，的值是（ ）A4B5C6D7【答案】C【分析】根据可知数列为等比数列，将代入后将其变形可知数列为等差数列，即可解得；将，代入即可解出答案.【详解】因为.所以数列为以1为首项，2为公比的等比数列.所以.，,所以数列为以3为首项，为公差的等差数列.所以.故选：C.4已知数列由首项及递推关系确定.若为有穷数列，则称a为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列，若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】由得，所以数列为等差数列,则，求出数列，当分母为0，得，即时，数列为有穷数列，得出，即，又，根据单调性可得答案.【详解】由，得则，即所以数列为等差数列,

41、则则，所以当时, ，满足条件.当分母为0，得，即时，数列为有穷数列.当时, 数列为有穷数列.则当分母为0时，无意义，此时数列为有穷数列，此时对应的值为所以，由，则，即设，则所以在上单调递增.所以设设，则所以在上单调递增.所以所以选项C正确故选：C5为数列的前n项和，对任意大于2的正整数，有恒成立，则使得成立的正整数的最小值为（ ）A7B6C5D4【答案】B【分析】先由题设条件求出，得到：，整理得：，从而有数列是以3为首项，2为公差的等差数列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂项相消法整理可得，解出的最小值【详解】解：依题意知：当时有，即，即，又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故，由上面

42、的式子累加可得：，由可得：，整理得， 且，解得：所以的最小值为6故选：B6数列中，则（ ）ABCD【答案】C【分析】化简得到，记，得到，是以为公差的等差数列，计算得到答案.【详解】由，故，记，则，两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，又，所以，所以，故.故选：C.7设数列的前项和为，且是6和的等差中项若对任意的，都有，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】先根据等差中项的概念列出关系式，再利用与之间的关系，得到关于的递推关系式，求得的表达式，再计算的取值范围，再计算的取值范围解出题目.【详解】由是6和的等差中项，得，令得 ，又，得，则是首项为，公比为的等比数列, 得若为奇数，；若为偶

43、数，而是关于的单调递增函数，并且，故最小值是，故此题选B8数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据给定条件求出数列通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答.【详解】数列中，则有，而，因此，数列是公比为2的等比数列，即，则，因数列为单调递增数列，即，则，令，则，当时，当时，于是得是数列的最大值的项，即当n=3时，取得最大值，从而得，所以的取值范围为.故选：C9数列满足，则下列说法错误的是（ ）A存在数列使得对任意正整数p，q都满足B存在数列使得对任意正整数p，q都满足C存在数列使得对任意正整数p，q都满足D存在数列使得对任意正整数

44、p，q都满足【答案】C【分析】依题设找到数列满足的递推关系，或举反例否定.【详解】由，得，令，则当时，数列满足题设，所以A正确；由，得，令，则当时，数列满足题设，所以B正确；由，令，得，令，得，则，从而，与矛盾，所以C错误；由，得，令，则当时，数列满足题设，所以D正确.故选：C10已知，又函数是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）ABCD【答案】C【分析】由在R上为奇函数，知，令，则，得到.由此能够求出数列的通项公式.【详解】解:在R上为奇函数，故，代入得: 当时，.令，则，上式即为:.当为偶数时：.当为奇数时：.综上所述，.故选：C.第II卷（非选择题）二、填空题11两个数列满足，（其中），

45、则的通项公式为_.【答案】【分析】依题意可得，即，即可得到的特征方程为，求出方程的根，则设数列的通项公式为，根据、得到方程组，求出，即可得到的通项公式；【详解】解：因为，所以，所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，所以可设数列的通项公式为，因为，所以，所以，解得，所以，所以；故答案为：12已知数列满足，则_【答案】【分析】等价变形，换元设，得，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 .【详解】，设，则，两边取对数， ， ，所以是首项，公比的等比数列， ， ， 故答案为：13设是函数的极值点，数列满足，若表示不超过的最大整数，则_【答案】2019【分析】求，可得，即，可得.设，则数列

46、是公比为2的等比数列.求出，从而求出，裂项法求，即得所求值【详解】，.是的极值点，即，.设，可得，又，数列为首项为1，公比为2的等比数列，.，.，.故答案为：201914已知数列中的分别为直线在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为_【答案】【详解】试题分析：由已知得：，已知条件可化为，设，可化为：，则，解得：，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则两边同时除以转化为：，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以15已知数列的前项和满足：，则为_【答案】【分析】当时，将已知式子变形得：，继而推出，可知数列为等比数列，求解即可.【详解】当时，也即：，即：，当时，解得：，数列是以为首项，公比为

47、的等比数列，即.故答案为：.三、解答题16已知数列满足：，数列满足：，求证：【答案】证明见解析.【分析】首先利用三角换元法简化和的递推式，然后进一步利用数列知识求解数列和的通项公式，再通过三角函数线所具有的性质即可求解.【详解】证明：由已知得，可设，则所以，即，又，求得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，从而；令，则又，所以，则，即，又由，得所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，从而，由三角函数线性质可知，当时，所以，故，即17(1)已知数列，其中，且当时，求通项公式；(2)数列中，求【答案】（1）；（2）【分析】(1)由可得，结合等差数列通项公式及累加法可求数列的通项公式，(2)

48、由可得，利用累加法求，再通过构造等比数列求数列的通项公式.【详解】(1)由得：，令，则上式为因此是一个等差数列，公差为1，故由于，又，即(2)由递推关系式，得，令，则，且符合该式，令，则，即，即，且，故是以为首项，为公比的等比数列，即，.18设二次函数满足：（i）的解集为；（ii）对任意都有成立.数列满足：，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）求证：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用赋值法，令代入不等式即可求解.（2）根据不等式的解集可设，将代入即可求解.（3）由（2）可得，从而可得，得出，令，构造为等比数列，利用等比数列的通项公式可得，进而求出，放缩后由等比数列

49、的前项和公式即可求解.【详解】解：（1）由于对任意都有成立，则令，得，则；（2）由于的解集为，可设，由，可得，则；（3）证明：，则，即有，令，则，由于，则有，即有，则，则，则，所以原不等式成立.19已知数列的前项和满足，证明：对任意的整数，有.【答案】证明见解析【分析】由与的关系，结合待定系数法可求得，由于通项中含有，考虑分项讨论，分析得出当且为奇数时，然后分为奇数和偶数进行分类讨论，结合放缩法以及等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.【详解】当时，解得，当时，由可得，两式作差得，即，设，即，所以，得，所以，故数列是公比为的等比数列，且首项为，所以，故，由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项

50、讨论：当且为奇数时，（减项放缩）.当且为偶数时，；当且为奇数时，所以，.因此，对任意的整数，有.20已知数列中，.（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；（2）已知数列，满足.（i）求数列的前项和；（ii）若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，；（2）（i）；（ii）.【分析】（1）根据题意，可得，进而可以证明是以3为首项，3为公比的等比数列，由此可得出数列的通项公式（2）（）由（1）得，结合错位相减法即可求出；（）由（）可得对一切恒成立，令，则是递增数列，由此可求得的取值范围【详解】解：（1），是以3为首项，3公比的等比数列，.所以；（2）（i）由（1）得，两式相减，得：，（ii）由（i）得，令，则是递增数列，若n为偶数时，恒成立，又，若n为奇数时，恒成立，.综上，的取值范围是