2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数一、综合题1如图，抛物线 交x轴于点 和点 ，交y轴于点C. （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点D的坐标为 ，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 面积的最大值. 2已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：012300（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m的值；（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（4）这个二次函数的图象经过点和两点，写出 ， 3小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径 ，

2、且点A，B关于y轴对称，杯脚高 ，杯高 ，杯底MN在x轴上. （1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）.（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 所在抛物线形状不变，杯口直径 ，杯脚高CO不变，杯深 与杯高 之比为0.6，求 的长.4如图，抛物线的顶点为E（1，4），且过点A（3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且3m1，过点D作DKx轴，垂足为K，DK分别交线段AE，AC于点G，H（1）求抛物线的解析式；（2）求证：GHHK；（3）当CGH是等腰三角形时，直接写出m的值5某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每

3、天入住的房间数为60间.经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）190200210220y（间）65605550（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图形 （2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. （3）设客房的日营业额为w（元）.若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？ 6设二次函数y1=（x-a）（x-a-1）+（x-3），其中a为实数。（1）当a=0时，求函数y1的图象的顶点坐标；（2）若不论a为何值

4、，二次函数y1的顶点都在同一函数y2的图象上，求函数y2的表达式；（3）若二次函数y1的图象与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围。7如图 ， ， ，点 从点 出发，以 的速度向点 运动同时点 从点 出发，以 的速度向点 运动，当点 到达点 时， 、 两点停止运动.运动时间为 秒. （1）如图1，用含 的式子表示 的面积求出 的最大面积； （2）如图1， 的面积与四边形 的面积能否相等如果能，求 的值，如果不能说明理由. （3）如图2，点 为圆心，PQ为半径作圆，点 、 在运动过程中，当 为何值时，直线 与 相切直接写出 的值. 8如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD

5、，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB8，AD10，并设点B坐标为（m，0），其中m0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图2，设抛物线ya（xm+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM90，求a、h、m的值. 9“燃情冰雪，拼出未来”，北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至某商家已提前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个现商家决定提价销售

6、，设每天销售量为个，销售单价为元（1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？10（1）【问题探究】 如图1，在中，点为上一点，且，于点，若的面积为24，求的长（2）【问题解决】如图2，某小区有一块三角形空地，其中米，米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在边上选一点，边上取一点，使得，过点作EF/交于点，连接，在和区域内绿化，在四边形区域内修建运动场地若设的长为米，运动场地四边形的面积为平方米求与之间的函数关系式；运动

7、场地四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地四边形面积的最大值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由11如图，二次函数y=- x2+2x+1的图像与一次函数y=-x+1的图像交于A、B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点（与端点不重合），过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于点F （1）若反比例函数 y= 的图像正好过点 C，求k的值； （2）求当 面积最大时，点 P的坐标； （3）如图2，将二次函数y=- x2+2x+1关于x轴对称得到新抛物线 ， 的顶点为 ，再将 沿直线 AB的方向平移得到新抛物线 ， 的顶点为 在 平移过程中，是否存

8、在一个合适的位置，使得 是一个直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由 12如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3。（1）求该二次函数的解析式；（2）若是OB上的一点，作MNAB交OA于N，当ANM面积最大时，求MN的长；（3）P是x轴上的点，过P作PQx轴与抛物线交于Q，过A作ACx轴于C(点P不与点C重合)，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标。13已知抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 . （1）求抛物线的解析式；（2）点 是抛物线上一动点（不

9、与点 ， ， 重合），作 轴，垂足为 ，连接 . 如图1，若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求四边形 的周长.14如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0m2）.连接AC，BC，DB，DC.（1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD的面积何时最大？求出此时D点的坐标和最大面积； （3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出

10、点N的坐标；若不存在，请说明理由. 15抛物线yx22x交x轴于原点O及点A1，其顶点为B1：y2x24x交x轴于原点O及点A2，其顶点为B2：y3x26x交x轴于原点O及点A3，其顶点为B2；y3x22nx交x轴于原点O及点An，其顶点为Bn（1）点A1的坐标为 ，点B1的坐标为 （2）直接写出点An，及点Bn的坐标（用含n的代数式表示）点B1，B2，B3，Bn是否在同一条抛物线上？若在，求出此抛物线的解析式；若不在，请说明理由（3）求OB2A5的度数；若A1B2An，与A1B2An+3相似，求n的值16如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，交y轴于点 （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，

11、点P为直线AC上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求 的最大值及此时点P的坐标； （3）把抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来. 17如图，已知抛物线 经过点 、 . （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 的坐标； （2）若点 在抛物线上，且点 的横坐标为8，求四边形 的面积. （3）定点 在 轴上，若将抛物线的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单

12、位得到一条新的抛物线，点 在新的抛物线上运动，求定点 与动点 之间距离的最小值 （用含 的代数式表示）. 18如图1，抛物线 过点 ， ，点 为直线 下方抛物线上一动点， 为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线 交于点 . （1）求抛物线的表达式与顶点 的坐标；（2）在直线 上是否存在点 ，使得 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出 点坐标；（3）在 轴上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1【答案】（1）解：将A,B两点的坐标代入解析式得， 解得 故抛物线的表达式为： ；（2）解：连接 ， 设点 ，由（1）中表达式可得点 ， 则 ， ，故S

13、有最大值，当 时，S的最大值为 .2【答案】（1）解：设这个二次函数解析式为，二次函数解析式为；（2）解：二次函数解析式为，当时，；（3）解：函数图象如下所示：（4）4；53【答案】（1）解：设 ， 杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，将 ， 代入，得 ，（2）解： ， ， ， ，当 时， ， 或 ， ，即杯口直径 的长为 4【答案】（1）解：抛物线的顶点为E（-1，4）， 设抛物线的解析式为： ，抛物线过点A（-3，0），将其代入解析式为： ，解得： ，抛物线的解析式为： ；（2）证明：设直线AE的解析式为： ， 将点A（-3，0），点E（-1，4）代入解析式： ，解得： ，直线AE的解

14、析式为： ，设直线AC的解析式为： ，抛物线的解析式为： 化简得： ，当 时， ，点C的坐标为： ，将点A（-3，0），点C（0，3）代入解析式： ，解得： ，直线AC的解析式为： ，D的横坐标为m，DKx轴，代入AE的解析式为： ，代入AC的解析式为： ， ， ， ， ；（3）m的值为 或 5【答案】（1）解：如图所示： （2）解：设ykx+b， 将（200，60）、（220，50）代入，得： 200k+b=60220k+b=50, ，解得 k=12b=160, ， （170x240）（3）解： ， 对称轴为直线 ， ，在170x240范围内，w随x的增大而减小，当x170时，w有最大值，最

15、大值为12750元6【答案】（1）解：由题意知，y1=（x-a）2+a-3 所以函数y1图象顶点坐标为（a，a-3），当a=0时，通数）的图像的点坐标为（0，-3）（2）解：因为函数y1图象的顶点坐标为（a，a-3）， 又因为不论a为可值，一次函数y2=kx+b都经过y1的顶点，所以一次函数y2的函数表达式为y2=x-3（3）解：当二次函数y1的图象过原点时，0=（0-a）2+a-3 a= （此时图象对称轴在y轴左侧）或a= （此时图象对称轴在y轴右侧）当二次函数的图象顶点在x轴上时，a=3。由图可知，若二次函数y1的图象与x轴正半轴始终有交点， x37【答案】（1）解：如图，过点 作 于 ，

16、 由题意可知 ， ， 当 时， 最大值 .（2）解： 四边形当 的面积与四边形 的面积相等时，有整理得： 即： 原方程没有实数解. 的面积与四边形 的面积不相等.（3）解：如图：作 ， 直线 与 相切 .8【答案】（1）解：四边形ABCD是矩形，AB8，AD10， ADBC10，ABCD8，DDCBABC90，由折叠对称性：AFAD10，FEDE，在RtABF中，BF 6，FC4，设DEx，则CE8x，在RtECF中，42+（8x）2x2，得x5，CE8x3，点B的坐标为（m，0），点E的坐标为（m10，3），点F的坐标为（m6，0）（2）解：分三种情形讨论： 若AOAF，ABOF，BF6，O

17、BBF6，m6；若OFAF，则m610，得m4；若AOOF，在RtAOB中，AO2OB2+AB2m2+64，（m6）2m2+64，得m ；由上可得，m6或4或 （3）解：由（1）知A（m，8），E（m10，3）， 抛物线ya（xm+6）2+h经过A、E两点， ，解得， ，该抛物线的解析式为y （xm+6）21，点M的坐标为（m6，1），设对称轴交AD于G，G（m6，8），AG6，GM8（1）9，OAB+BAM90，BAM+MAG90，OABMAG，又ABOMGA90，AOBAMG， ，即 ，解得，m12，由上可得，a ，h1，m12.9【答案】（1）解：根据题意得：，；（2）解：根据题意可得：

18、，整理得： ，解得：，（不符合题意，舍去），答：每个纪念品的销售单价为50元时，商家每天获得2400元（3）解：由题意，得，抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，w随x的增大而增大，当时，w有最大值，此时，答：销售单价定为52元时，该超市每天的利润最大，最大利润是2640元10【答案】（1）解：过点作于点， ，即，即，；（2）解：过点作于点，交于点，过点作于点， ，米，米，即，四边形是平行四边形，即；由可知，当时，最大，即运动场地四边形的面积存在最大值，最大值为600平方米，此时的长为米11【答案】（1）解：由 知，点 的坐标为（2，3） 根据题意，反比例函数 的图像过点（2，3），（2）解：解

19、方程 得 或 ， 点 的坐标为（2，3），直线BC的表达式为y=-2x+7设 当 时， ，故点 ， ，当 时， 的面积最大，故点 （3）解：根据点的对称性-y=- +2x+1，即y= -2x-1，则点C(2，-3)， 直线AB的表达式为y=x+1，则设点C向右平移m个单位，则向下平移了m个单位，故点D(2+m，-3-m)，由点A、B、C的坐标得： = + =72， = ， ，当AB是斜边时，则72= + ， 解得m=2 ；当AC 是斜边时，同理可得：m=3；当BC 是斜边时，同理可得：m=3，存在；点 的坐标为 或 或（5，-6）或（-1，0）12【答案】（1）抛物线过原点，对称轴是直线x=3

20、， B点坐标为(6，0)，设抛物线解析式为y=ax(x-6)，把4(8，4)代入得a82=4，解得a= 抛物线解析式为y= x(x-6)，即y= x2- x（2）设M(t，0)， 设直线OA的表达式为：y=kx，将点A的坐标代入上式并解得：k= 故直线OA的解析式为y= x设直线AB的解析式为y=kx+b，把B(6，0)，A(8，4)代入得： ，解得： 直线AB的解析式为y=2x-12，MNAB，设直线MN的解析式为y=2x+n，把M(t，0)代入得2t+n=0，解得n=-2t，直线MN的解析式为y=2x-2t，解方程组 ，解得： ，则N（ t， t）SAMN=SAOM-SNOM= 4t- t

21、 t=t2+2t= (t-3)2+3，当t=3时，SAMN有最大值3，此时点坐标为(3， 0) ；则点N(4，2)，MN= = ；（3）设Q(m， m2- m) OPQ=ACO，当 时，POQCOA，即 ，PQ=2PO，即| m2- m|-2|m|解方程 m- m=2m得m1=0(舍去)，m2=14，此时点坐标为(14，0)解方程 m- m=-2m得m1=0(舍去)，m2=-2，此时点坐标为(-2，0)；当 时，POOCAO，即 ，PO= PO，即| m2- m|= |m|解方程 m2- m= m得m1=0(舍去)，m2=8(舍去)；解方程 m2- m= m得m1=0(舍去)，m2=4，此时P

22、点坐标为(4，0)；综上所述，P点坐标为(14，0)或(-2，0)或(4，0)13【答案】（1）解：把点 ， 代入得： ，解得： ，抛物线解析式为 （2）解：如图，过点C作CQDP于点Q， 点C（0，-3），OC=3， ，CPQ为等腰直角三角形，CQ=PQ，设点 ，则OD=-m， ， 轴，COD=ODQ=CQD=90，四边形OCQD为矩形，QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3， ， ，解得： 或0（舍去），点 ；如图，过点E作EMx轴于点M，令y=0， ，解得： （舍去），点B（-4，0），OB=4， ，设直线BC的解析式为 ，把点B（-4，0），C（0，-3）代入得： ，解得： ，直线BC

23、的解析式为 ，点 关于直线 的对称点 落在 轴上时， ， ， ，DPx轴，PDCE， ， ，CE=PE， ，四边形 为菱形，EMx轴，CEMCBO， ，设点 ， 则点 ，当点P在y轴左侧时，EM=-t，当-4t0时， ， ， ，解得： 或0（舍去）， ，四边形 的周长为 ；当点P在y轴右侧时，EM=-t，当t-4时， ， ，解得： 或0（舍去），此时 ，四边形 的周长为 ；当点P在y轴右侧，即t0时，EM=t， ， ，解得： 或0，不符合题意，舍去；综上所述，四边形 的周长为 或 .14【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得：y=a（x+1）（x2）， 将（0，3）代入上式得：2a=3，解得

24、：a= ，故抛物线的表达式为： ；（2）解：点C（0，3），B（2，0）， 设直线BC的表达式为：y=kx+n，则 ，解得： ，故直线BC的表达式为： ，如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，设点D（m， ），则点H（m， m+3），SBDC=SDHC+SHDB= HDOB= ， 0，故BCD的面积有最大值，当m=1，BCD面积最大为 ，此时D点为（1，3）；（3）解：m=1时，D点为（1，3）， 当BD是平行四边形的一条边时，设点N（n， ），则点N的纵坐标为绝对值为3，即 ，解得：n=0或1（舍去）或 ，故点N的坐标为（0，3）或（ ，3）或（ ，3），当BD是平行四边形的对角线

25、时，设点M（z，0），点N（s，t），由中点坐标公式得： ，解得t=3，而 ，解得s=0或s=1（舍去），N的坐标为（0，3）；综上，点N的坐标为：（0，3）或（ ，3）或（ ，3）.15【答案】（1）（2，0）；（1，1）（2）解：令y3x22nx0，解得：x10，x22n，点An的坐标为（2n，0），y3x22nx（xn）2n2，点Bn的坐标为（n，n2）；同可得：B1（1，1），B2（2，4），B3（3，9），假设B1，B2，B3在同一条抛物线上，其解析式为，则，解得：，B1，B2，B3在抛物线上，将Bn（n，n2）代入，验证成立，点B1，B2，B3，Bn在同一条抛物线上，其解析式为；（

26、3）解：由（2）可知B2（2，4），A5（10，0），如图：则OA52102100，OB22，B2A5282+4280，OB22B2A52OA52，；由（1）（2）可知A1（2，0），B2（2，4），如图，任取An，An+3作三角形，A1B2An与A1B2An+3相似，且B2A1AnB2A1An+390，必有A1B2AnA1An+3B2，由（2）可知An（2n，0），An+3（2n+6，0），解得：n2或n3（舍去），经检验n2是分式方程的解，n216【答案】（1）解：抛物线 与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点， 可设抛物线解析式为 .该抛物线过点C(0，3)，将C(0，3)代入 ，得

27、： ，抛物线解析式为 整理得： .（2）解：设经过A、C的直线解析式为 ， 解得： 直线AC的解析式为： .抛物线解析式为 ，对称轴 .设点 ，点 ，则 . ，即 当 时， 有最大值为 .将 代入 ，得： .此时点 （3）解：M点的坐标为 或(0，-10)或(0，10). 平移后的抛物线解析式为 设 ， .当CN为对角线，如图，四边形 为平行四边形， ， ， ， ，即 ， ，即此时 ；17【答案】（1）解：抛物线 经过点 、 ， ， ，函数的表达式为：y= （x+1）（x-5）= （x2-4x-5）= ， ， ，点M坐标为（2，-3）（2）解：当x=8时，y= （x+1）（x-5）=9，即点C

28、（8，9）， 、 ， ，S四边形AMBC= AB（yC-yM）= 6（9+3）=36（3）解：y= （x+1）（x-5）= （x2-4x-5）= （x-2）2-3， 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新抛物线表达式为：y= x2，点P在抛物线y= x2上运动，设点P的坐标为 ， ，则定点D与动点P之间距离PD= ， 0，PD有最小值，当x2= =3m- 时， PD最小值d = 18【答案】（1）解：把 ， 代入抛物线 得 解得： 点的坐标为（1，4）.（2）解：设直线 的表达式为 ，则 解得： 直线 的表达式为 .当 时， ， 点的坐标为（1，3）， .若 为平行四边形的一边，则有 ，且 .设 点坐标 ，则 ， ， （舍去）， . 点坐标为 .若 为平行四边形的对角线，设 ，则 .代入抛物线得： ，解得 （舍去）， ，综上所述，符合条件的 点的坐标为 ， .（3）解：如图，在对称轴上取点 ，易得 ，且 ，以 为圆心， 为半径作圆交 轴与点 ，则 .作 轴，则 ，又 ， 点的坐标为 或 .