2023年浙江省温州市中考数学专题练——7四边形.docx

1、2023年浙江省温州市中考数学专题练7四边形一选择题（共15小题）1（2022温州校级模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CEBC交BD于点E，若BAD118，则CEB（）A59B62C69D722（2022乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，AEB90，以CE，DE为邻边作CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且ADF的面积为10，则CF的长为（）A2B5C22D103（2022鹿城区校级三模）如图，以RtABC各边为边向外做正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中号L型和号L型面积分别为1和4，则图1中sinABC的值为（）A12B25C55D664（2022洞头区模拟）由四个

2、全等的矩形围成了一个大正方形ABCD，如图所示连结CH，延长EF交CH于点G，作PGCH交AB于点P，若AH2DH，则APBP的值为（）A97B1611C32D25（2022永嘉县模拟）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆和、等腰直角三角形、角不规图形、直角梯形、圆不规图形、圆组成，已知AJBK为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ2，则该图案的高度是（）A8B9-22C7+2D10-26（2022瑞安市二模）如图，在ABC中，ACB90，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点

3、，连结DH，FH记FGH的面积为S1，CDH的面积为S2，若S1S26，则AB的长为（）A26B32C33D427（2022文成县一模）如图ABCD中，AB4，BD6，BDAB，则AC的长为（）A10B213C5D258（2022温州模拟）在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连结，形成四边形MNST，直线MS，TN与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案若正方形的边长为25，则阴影部分面积之和为（）A43B2C355D21059（2022瑞安市一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点

4、P，若APHF，AP52，则小正方形边长GF的长是（）A52B22C3D1010（2022龙港市一模）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，又把这三个直角三角形按如图2的方式重叠放置在一起，其中直角三角形的斜边一端点恰好落在直角三角形的斜边上，若BD5，则图2中CP的长为（）A45B35C34D3211（2022瓯海区一模）如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角，则重叠部分的周长为（）A12tanB12sinC12sinD12tan12（2022温州模拟）如图，在正方形ABCD中，延长DC至点G，以CG为边向下画正方形CEFG延长AB交边FG于点H，连结CF，AF分别交

5、AH，CE于点M，N收录在清朝四库全书的几何通解利用此图得：2AB2+2BH2AH2+MH2若正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，CN3NE，则AH的长为（）A42B8C82D1613（2022乐清市一模）如图，在ABCD中，ABBE，C70，则BAE的度数为（）A35B45C55D6514（2022鹿城区校级一模）如图，在ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CHAB于H并交FD于M若ACB120，AC3，BC2，则MD的长为（）A72B2C32D315（2021温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD2：1，点E为AB的中点，点F为EC上

6、一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为32时，则AD的值为（）A2B3C4D6二填空题（共7小题）16（2022永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC6，点P在正方形内，PFPC，交边AD于点F，EDPC，交PF延长线于点E，且PCPE，连结AP，AE若五边形AEDCP的面积为24，则AEP的度数为 ，PC的长为 17（2022永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB6，BC8，B30，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记EDx，则CEF的面积为 （用含x的代数式表示）18（2022鹿城区校级二模

7、）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，BE2OB，DE与BC交于点F若y=kx（k0）图象经过点C，且SCDF4，则k的值为 19（2022龙湾区模拟）如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边上的中点，将矩形ABCD向右平移得矩形ABCD，点E，F，G，H的对应点分别为点E，F，G，H若AD7HH，矩形ABCD的面积为84，则图中阴影部分的面积为 20（2022鹿城区二模）如图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的为 度21

8、（2022永嘉县校级一模）如图，若1+2+3+4278，则5+6+7+8 22（2022温州模拟）如图，菱形ABCD的面积为20，AB5，AECD于E，连结BD，交AE于F，连结CF，记AFD的面积为S1，BFC的面积为S2，则S1S2的值为 三解答题（共8小题）23（2022瑞安市校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以BC为直径的半O经过点A，交AD于点F，过点D作DEAB，交BA的延长线于点E，连接CE（1）求证：BCCE；（2）连接EF，CF，若tanB2，CD=5，求EF的长24（2022鹿城区校级三模）如图，在正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，连结CE，作CFEC交射线A

9、D于点F，过点F作FGCE交射线CD于点G，连结EG交AD于点H（1）求证：CECF（2）求HD的长（3）如图2，连结CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连结PQ，当QPC与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长25（2022龙港市模拟）如图，在菱形ABCD中，ABC80，点E在BA的延长线上，对角线AC与BD交于点M，EM交AD于点F，且EFD105（1）求E的度数（2）求证：AMAE26（2022鹿城区校级二模）如图，在ABCD中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分ADC（1）求证：ADEBFE（2）若BF5，EF53，求FCD的面

10、积27（2022龙湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AEBD于点E，交BC边于点FAG平分DAF交BD于点G，并经过CD边的中点H（1）求证：BGAB（2）求tanHFC的值（3）若CF=255，试在BD上找一点M（不与B，D重合），使直线MC经过四边形DEFH一边的中点，求所有满足条件的BM的值28（2022瓯海区模拟）如图，在RtABC中，BAC90，以AB为一边构造ABDE，DABC，连结EC交DA的延长线于点F，DFEC，延长EA交BC于点G（1）求证：点A是EG的中点（2）若tanABC=12，DA6，求BC的长29（2022鹿城区二模）如图1，在矩形ABCD中，AB3，AD4P为对

11、角线BD上的点，过点P作PMAD于点M，PNBD交BC于点N，Q是M关于PD的对称点，连结PQ，QN（1）如图2，当Q落在BC上时，求证：BQMD（2）是否存在PNQ为等腰三角形的情况？若存在，求MP的长；若不存在，请说明理由（3）若射线MQ交射线DC于点F，当PQQN时，求DF：FC的值30（2022鹿城区校级二模）在四边形ABCD中，ADBC1，ABCD2，BD=5点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）设DEx，求AEF的面积S关于x的函数表达式（3）在点E运动过程，当AEF的某一个内角等于BDC时，求所有

12、满足条件的AF的长2023年浙江省温州市中考数学专题练7四边形参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2022温州校级模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CEBC交BD于点E，若BAD118，则CEB（）A59B62C69D72【解答】解：四边形ABCD是菱形，ABAD，ABDCBE，ABDADB，BAD118，ABD=180-1182=31，CBE31，CEBC，BCE90，CEB903159故选：A2（2022乐清市三模）如图，在正方形ABCD内有一点E，AEB90，以CE，DE为邻边作CEDF，连结EF，若A，E，F三点共线，且ADF的面积为10，则CF的长为（）A2B5C22D10

13、【解答】解：设EF、CD的交点为G，过E作EHAD交于H，四边形ECFD是平行四边形，DGCG=12DG，设正方形的边长为2x，则ADABCD2x，DGCGx，在RtADG中，AG=5x，AEB90，BAE+DAE90，ABE+BAE90，BAEDAE，ABEGAD，ABAG=AEDG，即2x5x=AEx，AE=255x，EG=355x，EGAG=35，SADGSDEG=53，设SADG5m，则SDEG3m，G点是CD的中点，SECGSDEG3m，SDEC6m，SDECSCDF6m，SECFD12m，SEDF6m，SADF6m+2m8m，SADF10，8m10，m=54，SADG5m=254=

14、x2，x=52，AD5，EA=5，SADE=125HE=52，HE1，在RtAHE中，AH2，HD3，在RtHED中，ED=10，故选：D3（2022鹿城区校级三模）如图，以RtABC各边为边向外做正方形，把三个正方形如图2叠放，图2中号L型和号L型面积分别为1和4，则图1中sinABC的值为（）A12B25C55D66【解答】解：设ABc，BCa，ACb，由题意得，号L型面积c2a21，号L型面积a2b24，两式相加得：c2b25，在RtABC中，由勾股定理得：c2b2a2，a25，b21，c26，sinABC=ACAB=bc=16=66故选：D4（2022洞头区模拟）由四个全等的矩形围成了

15、一个大正方形ABCD，如图所示连结CH，延长EF交CH于点G，作PGCH交AB于点P，若AH2DH，则APBP的值为（）A97B1611C32D2【解答】解：设DHx，则AKFHx，AHBKFK2x，CD3x，PGCH，FGP+HGF90，HGF+FHG90，FGPFHG，由矩形的性质可得CDFH，DCHFHG，DCHFHGFGP，tanDCH=DHCD=x3x=13，tanFHG=FGFH=FGx=13，解得FG=13x，KGKF+FG2x+13x=73x，tanFGP=13=KPKG=KP73x，解得KP=79x，APAK+KPx+79x=169x，BPBKKP2x-79x=119x，AP

16、BP=169x119x=1611故选：B5（2022永嘉县模拟）如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个相同的半圆和、等腰直角三角形、角不规图形、直角梯形、圆不规图形、圆组成，已知AJBK为庆祝北京冬奥会，小明将这个智力七巧板拼成一个滑冰运动员的图案，如图2所示，若AB平行地面MN，AJ2，则该图案的高度是（）A8B9-22C7+2D10-2【解答】解：如图，作RPAB，OTMN，RQOT，由已知可得的高度都为2，MN是半圆的切线，KBA45，GBC45HGB，即直角梯形的锐角为45，PROORQ45，点B到HG 距离为2，RP2，半圆的直径为2，OR1，OQ=22OR=22，QT1-

17、22，高度为6+PR+QT9-22；故选：B6（2022瑞安市二模）如图，在ABC中，ACB90，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG，H为EG的中点，连结DH，FH记FGH的面积为S1，CDH的面积为S2，若S1S26，则AB的长为（）A26B32C33D42【解答】解：过F作FTCG于T，过D作DKEC于K，如图：设BCa，ACb，则CG=2a，EC=2b，EG=2（a+b），H为EG的中点，HGHE=22（a+b），CHHEEC=22（ab），FT=12CG=22a，DK=12EC=22b，S1=12HGFT=1222（a+b）22a=14a2+14ab，S2=12C

18、HDK=1222（ab）22b=14ab-14b2，S1S26，14a2+14ab（14ab-14b2）6，14a2+14b26，a2+b224，即BC2+AC224，AB224，AB26，故选：A7（2022文成县一模）如图ABCD中，AB4，BD6，BDAB，则AC的长为（）A10B213C5D25【解答】解：ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BODO，AOCO，BD6，BO3，ABBD，AB4，AO=42+32=5，AC2OA10，故选：A8（2022温州模拟）在数学拓展课上，小华同学将正方形纸片的顶点A，B，C，D与各边的中点E，F，G，H分别连结，形成四边形MNST，直线MS，T

19、N与正方形ABCD各边相交构成一个如图的“风车”图案若正方形的边长为25，则阴影部分面积之和为（）A43B2C355D2105【解答】解：如图，四边形ABCD是正方形，ABBCCD25，ABCD，ABCBCD90，E是BC的中点，F是CD的中点，BECF=12BC=5，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=(25)2+(5)2=5，同理得：DH5，ABBC，ABCBCF90，BECF，ABEBCF（SAS），BAECBF，BAE+AEB90，CBF+AEB90，BME90，同理得ATH90，tanTAH=BEAB=THAT=12，AH=5，TH1，AT2，ATH的面积=12121，DT514，C

20、DAB，DQPH=DTTH=41=4，设PHx，则FQx，DQ4x，DFAH3x，SATHSPTH=AHPH=3xx=3，SPTH=13，阴影部分面积之和为4SPTH=43故选：A9（2022瑞安市一模）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，延长AH交CD于点P，若APHF，AP52，则小正方形边长GF的长是（）A52B22C3D10【解答】解：ADEDCHCBGBAF，AEDH，DECH，四边形GFEH是正方形，EHEFHGGF，HFA45EHF，APHF，FAHAFH45AHE，AHFH，AEHE，AF2AE，设AEa，则AFDE2a，如图过点H作HMAD于M

21、，AD=AE2+DE2=5a，DMHAED90，ADEMDH，AEDHMD，DHAD=MHAE，MH=55a，DM=255a，AMADDM=355a，ADCD，MHDP，AHHP=AMDM=32，AP52，AH32，EH3GF，故选：C10（2022龙港市一模）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，又把这三个直角三角形按如图2的方式重叠放置在一起，其中直角三角形的斜边一端点恰好落在直角三角形的斜边上，若BD5，则图2中CP的长为（）A45B35C34D32【解答】解：如图1，设AB2a，四边形ABCD是矩形，ABCD2a，ADBC，BAD90，ABCD，AD=BD2-AB2=25

22、-4a2，ABDBDC，如图2，HPAB2a，QNAD=25-4a2，MNBD5，MPBE，MPHNMP，HMP90，MQPQ，HHMQ，HQMQ，HQHQPQa，25-4a2+a5，a2，a0（舍去），AB4，AD3，如图1，cosABD=BEAB=ABBD，BE4=45，BE=165=MP，PC4-165=45，故选：A11（2022瓯海区一模）如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角，则重叠部分的周长为（）A12tanB12sinC12sinD12tan【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则ABE，过A作AEBC于E，则AE3，ABE，AB=AEsin=3si

23、n，BCABADCD=3sin，重叠部分的周长=43sin=12sin，故选：C12（2022温州模拟）如图，在正方形ABCD中，延长DC至点G，以CG为边向下画正方形CEFG延长AB交边FG于点H，连结CF，AF分别交AH，CE于点M，N收录在清朝四库全书的几何通解利用此图得：2AB2+2BH2AH2+MH2若正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，CN3NE，则AH的长为（）A42B8C82D16【解答】解：四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，延长AB交边FG于点H，ABEF，ABNFEN，ABEF=BNNE，设ABa，CGb，CN3NE，NE=14b，CN=34b，BNCNCB=3

24、4ba，ab=34b-a14b，b=53a，正方形ABCD与CEFG的面积之和为68，a2+b268，a2+（35a）268，解得a32，b52，a+b82，则AH的长为82故选：C13（2022乐清市一模）如图，在ABCD中，ABBE，C70，则BAE的度数为（）A35B45C55D65【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，BADC70，ADBC，BEADAE，ABBE，BEABAE，BAEDAE=12BAD=127035，故选：A14（2022鹿城区校级一模）如图，在ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CHAB于H并交FD于M若ACB120，

25、AC3，BC2，则MD的长为（）A72B2C32D3【解答】解：如图所示，过D作DNCF于点N，作DPHM于点P，过点F作FQHM，交HM的延长线于点Q，ACB120，ACFBCD90，DCN60，CDN30，又BCDC2，ACFC3，CN=12CD1，FNCFCN312，DN=CD2-CN2=3，RtDFN中，DF=FN2+DN2=22+(3)2=7四边形BCDE是正方形，BCCD，BCD90，又CHAB，DCP+BCHCBH+BCH90，DCPCBH，又DPCBHC90，DCPCBH（AAS），DPCH，同理可得ACHCFQ，FQCH，FQDP，又QDPM90，FMQDMP，FQMDPM（

26、AAS），FMDM，即M是FD的中点，DM=12DF=72故选：A15（2021温州模拟）如图，矩形ABCD中，AB：AD2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为32时，则AD的值为（）A2B3C4D6【解答】解：如图，当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2=12CE且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1P=12CF，点P的运动轨迹是线段P1P2，.当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB：AD2：1，设AB

27、2t，则ADt，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP1t，ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BCt，BP1=2t32，t3故选：B二填空题（共7小题）16（2022永嘉县三模）如图，在正方形ABCD中，BC6，点P在正方形内，PFPC，交边AD于点F，EDPC，交PF延长线于点E，且PCPE，连结AP，AE若五边形AEDCP的面积为24，则AEP的度数为 45，PC的长为 26【解答】解：过C作CGED于G，过A作AMDE于M，ANPE于N，连结PB，P

28、FPC，EDPC，PCPE，CGED，四边形PCGE是正方形，PCPECGEG，PCG90，正方形ABCD，BCCDADAB，BCD90，PCBDCG90PCD，DCGBCP（SAS），DGCBPC90，CPE+BPC180，E、F、P、B四点在一条直线上，PCBDCGABNADM，AMDE于M，ANPE，四边形AMEN是矩形，ABNADM（AAS），AMAN，矩形AMEN是正方形，AE平分MEN，AEP45，AMANEM，设AMANEMx，PCPECGEGy，DCGADM，DCGADM（AAS），AMANDGPBx，S五边形AEDCP=S正方形PCGE+SAPE-SDGC=PC2+12ANP

29、E-12DGCG，24=y2+12xy-12xy，y=26，即PC=2617（2022永嘉县三模）如图，在平行四边形ABCD中，AB6，BC8，B30，点E从点D出发沿DC方向匀速向终点C运动，同时点F从点C出发沿CB方向匀速向终点B运动，它们同时到达终点，记EDx，则CEF的面积为 -13x2+2x（用含x的代数式表示）【解答】解：平行四边形ABCD，AB6，BC8，CDAB6，又点E和点F分别同时从点D和点C出发，同时到达终点，点E和点F的路程比为6：83：4，又DEx，CE6x，CF=43x，如图，CEF中，过点E作边CF上的高EH，交CF的反向延长线于点H，ABCD，B30，DCHB3

30、0，在CHE中，EH=12CE=6-x2，SCEF=12CFEH=1243x6-x2=-13x2+2x，故答案为：-13x2+2x18（2022鹿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，BE2OB，DE与BC交于点F若y=kx（k0）图象经过点C，且SCDF4，则k的值为 12【解答】解：如图，连接OC，BD，将AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，OAOE，BE2OB，OE3OB，OA3OB，设OBx，则OA3x，AB4x，四边形ABCD是平行四边形，CDAB4x，CD

31、AB，CDFBEF，BECD=2x4x=12=BFCF，SCDF4，SBDF2，SBCD4+26，CDAE，SCDOSBDC6，即12|k|6，而k0，k12故答案为：1219（2022龙湾区模拟）如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边上的中点，将矩形ABCD向右平移得矩形ABCD，点E，F，G，H的对应点分别为点E，F，G，H若AD7HH，矩形ABCD的面积为84，则图中阴影部分的面积为 29【解答】解：如图所示，连接EG，由平移的性质可知：AAHHDD，ADEG，AD7HH，AD5HH，H是AD的中点，AH=12AD3HH，AH2HH，AHEE，AHPEEP，EPAP=EEAH=12

32、，PE=13AE，SEEP=16S矩形AEEA，同理可证HHQGEQ，设AGEQ边EG上的高为h，HHQ边HH上的高为h1，hh1=EGHH=5，h=56DG，SEQG=512S矩形AEGD，矩形ABCD的面积为84，矩形AABB的面积为12，矩形ADCB的面积为60，、E、G、H、F分别是对应边的中点，由对称性可知S阴影4SPEE+2SEOG4121216+212x60x512=29故答案为：2920（2022鹿城区二模）如图1是一种彭罗斯地砖图案，它是由形如图2的两种“胖”“瘦”菱形拼接而成（不重叠、无缝隙），则图2中的为 36度【解答】解：如图，DEPDAP=3605=72，CAB=(1

33、0-2)18010=144，=144-722=36故答案为：3621（2022永嘉县校级一模）如图，若1+2+3+4278，则5+6+7+8442【解答】解：如图，1+2+3+4278，9+DCE180+18027882，CAB+ACB9+DCE82，NBMABC1808298，5+6+7+8（52）18098442，故答案为：44222（2022温州模拟）如图，菱形ABCD的面积为20，AB5，AECD于E，连结BD，交AE于F，连结CF，记AFD的面积为S1，BFC的面积为S2，则S1S2的值为 35【解答】解：菱形ABCD的面积为20，AB5，AECD于E，5AE20，AE4，DE=AD

34、2-AE2=52-42=3，ABCD，ABFEDF，AFEF=BFDF=ABED=53，S1=58SADE=581234=154，S2=58SBCD=581220=254，S1S2=154425=35，故答案为：35三解答题（共8小题）23（2022瑞安市校级三模）如图，在平行四边形ABCD中，以BC为直径的半O经过点A，交AD于点F，过点D作DEAB，交BA的延长线于点E，连接CE（1）求证：BCCE；（2）连接EF，CF，若tanB2，CD=5，求EF的长【解答】（1）证明：BC为直径，BAC90，ACAB，DEAB，ACDE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，四边形ACDE

35、是矩形，CEAD，ADBC，BCCE；（2）过点C作CGAD于点G，过点F作FHDE于点H，在平行四边形ABCD中，BADC，四边形ABCF内接于O，DFCB，ADCDFC，CFCD，CD=5，tanADC=CGDG=ACCD=tanB2，DG1，AC=25，DF2DG2，FDH+ADC90，ADC+DCG90，FDHDCG，又FHDDGC90，FDHDCG，FHDG=DHCG=DFCD，FH=255，DH=455，EH=655，EF=EH2+FH2=2224（2022鹿城区校级三模）如图，在正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，连结CE，作CFEC交射线AD于点F，过点F作FGCE交射线

36、CD于点G，连结EG交AD于点H（1）求证：CECF（2）求HD的长（3）如图2，连结CH，点P为CE的中点，Q为AF上一动点，连结PQ，当QPC与四边形GHCF中的一个内角相等时，求所有满足条件的DQ的长【解答】（1）证明：四边形ABCD为正方形，BCCDAB6，ABCBCDADCCDF90CFEC，ECF90，DCF+ECD90，BCE+ECD90，BCEDCF，BCEDCF（ASA），CECF（2）解：E为AB的中点，AE6，AEBE3，tanBCE=BEBC=36=12，GFEC，CFEC，GFCF，GFC90，GDFADC90，GFD+DGFDCF+DGF90，GFDDCFBCE，t

37、anGFD=tanDCF=tanECB=12，tanGFD=DGDF=12，DG=12DF，由（1）可知，BCEDCF，BEDF3，DG=32，四边形ABCD是正方形，ADAB6，ABCD，AEHDGH，AHDH=AEDG=332=2，AH2HD，HD=13AD2；（3）解：HD2，DF3，FH5，AHADHD4，四边形ABCD是正方形，A90，EH=AE2+AH2=32+42=5，EHFH，CECF，CHCH，ECHFCH（SSS），ECHFCH=129045，HECHFC分三种情况：如图2，QPCGFC90时，则PQEC，CFEC，PQCF，AQPDFC，tanAQP=PMQM=tanDF

38、C=CDDF=63=2，QM=12PM，过点P作MNAD于点M，则PNAB，P为CE的中点，M为AD的中点，N为BC的中点，MD=12AD3，PN是BCE的中位线，PN=12BE=32，PM=6-32=92，QM=94，DQ=MD-QM=3-94=34；如图3，QPCHGF时，GFEC，HGF+HEC180，QPC+QPE180QPCHGF，QPEHEC，由（2）可知，ECHFCH，HECHFC，QPEHFCBEC，PQAB，P为CE的中点，Q为AD的中点，DQ=12AD3；如图4，QPCGHC时，HD2，DC6，ADC90，tanDHC=CDHD=62=3由（2）可知，ECHFCH，HECH

39、FC，EHCFHC，QPCGHC，EHCQPEFHC，EMPECH45，tanQPEtanDHC3过点M作MNEP于点N，tanQPE=MNNP=3，MN2NP，设NPa，则MN3a，tanHEC=MNEN=tanHFC=CDDF=2，EN=12MN=32a，ABC90，BC6，BE3，CE=BC2+BE2=62+32=35，P为CE的中点，EP=12CE=352，EN+NPEP，32a+a=352，解得：a=355，MN=955，EN=9510，EM=MN2+EN2=(955)2+(9510)2=92，MHEHEM5-92=12，在QMH中，过点Q作QJMH于点J，则MQJ是等腰直角三角形，

40、tanQHJ=QJJH=AEAH=34，设QJ3b，JH4b，MJQJ3b，MJ+JHMH，3b+4b=12，解得：b=114，QJ=314，JH=414=27，QH=QJ2+JH2=(314)2+(27)2=514，DQHD+QH2+514=3314；综上所述，DQ的长为34或3或331425（2022龙港市模拟）如图，在菱形ABCD中，ABC80，点E在BA的延长线上，对角线AC与BD交于点M，EM交AD于点F，且EFD105（1）求E的度数（2）求证：AMAE【解答】（1）解：四边形ABCD是菱形，ADBC，EADABC80，EEFDEAD1058025（2）证明：四边形ABCD是菱形，

41、DAB180B100，AC平分DAB，BAC=12DAB=50，AMEBACE502525E，AMAE26（2022鹿城区校级二模）如图，在ABCD中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分ADC（1）求证：ADEBFE（2）若BF5，EF53，求FCD的面积【解答】（1）证明：在ABCD中，ADBC，ADFF，AABF，点E是边AB的中点，AEBE，在ADE和BFE中，ADF=FA=ABFAE=BE，ADEBFE（AAS）；（2）解：连结CE，如图所示：ADEBFE，DEEF，ADBF5，四边形ABCD是平行四边形，BCAD5，DE平分ADC，ADFCDF，ADB

42、C，ADFF，CDFF，CDCF10，DCF是等腰三角形，E是DF的中点，CEDF，DEEF53，在RtDEC中，根据勾股定理，得CE5，DF2EF103，SFCD=DFCE2=10352=253，DCF的面积为25327（2022龙湾区模拟）如图，在矩形ABCD中，AEBD于点E，交BC边于点FAG平分DAF交BD于点G，并经过CD边的中点H（1）求证：BGAB（2）求tanHFC的值（3）若CF=255，试在BD上找一点M（不与B，D重合），使直线MC经过四边形DEFH一边的中点，求所有满足条件的BM的值【解答】（1）证明：AEBD，AEB90，1+290，BAD90，2+590，15，A

43、G平分BAE，34，BAG1+3，BGA4+5，BAGBGA，ABBG，（2）解：H为CD中点，设DHCHa，CDAB2a，由（1）知BGAB，BG2a，又ABCD，BAHDHA，BGADGHBAH，DGHDHA，DGDHa，BD3a，BCAD=BD2-AB2=5a，又SABD=12ABAD=12AEBD，AE=ABADBD=2a5a3a=235a，BE=AB2-AE2=43a，DEBDBE=53a，ADBC，AEDFEB，BFAD=BEDE=45，BF=45AD=455a，CFBCBF=55a，在RtHFC中，HCF90，tanHFC=HCCF=a55a=5；（3）若CF=255，则55a=

44、255，a2，ABCD2x24，BD3a6，BE=83，DE=103，BF=855，CHDH2DG，分三种情况：当M为DE中点时，即CM平分ED，此时DM=12DE=53，BM6-53=133，当CM平分EF时，如图所示，设EF中点为O，过F作FNBD交CM于N，EOMFON，EOOF=MENF=1，MENF，FNBM，CNFCMB，NFBM=CFBC=25525=15NF=15BM，又EMMF，EM+BMBE=83，65BM=83，BM=209，当CM平分FH时，设FH的中点为I，过M作从MNBC于N，MNBBCD90，MBNDBC，MBNDBC，MN=25BN，I为EH中点，CIIFIH，

45、IFCICF，tanMCNtanHFC=5，又在RtMNC中，MNCN=tanMCN=5，MN=5CN，25BN=5CN，2BN5CN，又BN+CNBC25，BN=1075，CN=475，MN=5a=207，BM=BN2+MN2=307，综上：BM=307，或209，或13328（2022瓯海区模拟）如图，在RtABC中，BAC90，以AB为一边构造ABDE，DABC，连结EC交DA的延长线于点F，DFEC，延长EA交BC于点G（1）求证：点A是EG的中点（2）若tanABC=12，DA6，求BC的长【解答】（1）证明：四边形ABDE是平行四边形，BDAE，BDAE，BDAG，DABG，四边形

46、ADBG是平行四边形，BDAG，AEAG，点A是EG的中点；（2）解：四边形ADBG是平行四边形，BGDA6，DABC，DFEC，BCEC，ECG90，由（1）可知，点A是EG的中点，AC=12EGAG，ACGAGC，BAC90，BACECG，BACECG，ACAB=CGCE，tanABC=ACAB=12，CGCE=12，设ACa，则AB2a，EG2AC2a，设CGb，则CE2b，CE2+CG2EG2，即（2b）2+b2（2a）2，b=255a，AB2+AC2BC2，即（2a）2+a2（6+255a）2，解得：a25，BC6+25525=1029（2022鹿城区二模）如图1，在矩形ABCD中，

47、AB3，AD4P为对角线BD上的点，过点P作PMAD于点M，PNBD交BC于点N，Q是M关于PD的对称点，连结PQ，QN（1）如图2，当Q落在BC上时，求证：BQMD（2）是否存在PNQ为等腰三角形的情况？若存在，求MP的长；若不存在，请说明理由（3）若射线MQ交射线DC于点F，当PQQN时，求DF：FC的值【解答】（1）证明：如图1，连结DQ在矩形ABCD中，ADBC，ADBDBCQ是M关于PD的对称点，ADBBDQ，MDQD，DBCBDQ，QDBQ，BQMD（2）（I）如图2，当NPNQ时，设PN3a，则BP4a，MPPQ=245a，PD=53MP=8a，BDBP+PD4a+8a5，a=5

48、12，MP2；（II）如图3，当PQPN时，设PN3a，则BP4a，MPPQ3a，PD=53MP=5a，BDBP+PD4a+5a5，a=59，MP=53（）如图4，当QPQN时，设PN3a，则BP4a，MPPQ=158a，PD=258a，BDBP+PD=4a+258a=5，a=4057，MP=2519（3）如图5，设PN3a，则BP4a，MPPQ=125a，PD4a，BDBP+PD8a5，a=58，MP=32，MD=43MP=2，DF=43MD=83，FC=13，DF：FC830（2022鹿城区校级二模）在四边形ABCD中，ADBC1，ABCD2，BD=5点E为线段BD上一动点（不与点B，D重

49、合），连结AE，过E作CE的垂线交边AB于点F（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）设DEx，求AEF的面积S关于x的函数表达式（3）在点E运动过程，当AEF的某一个内角等于BDC时，求所有满足条件的AF的长【解答】（1）证明：ADBC，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD1，AB2，BD=5，AD2+AB2BD2，DAB90，四边形ABCD是矩形；（2）过点E作EJAB于点J，交CD于点K四边形ABCD是矩形，DAJADKAJK90，四边形ADKJ是矩形，AJDK，ADJK，ADJKBC，DEDB=EKCB=DKCB，x5=EK1=DK2，EK=55x，DK=255x，EJJKEK1-

50、55x，EFEC，EJFFECEKC90，JEF+CEK90，CEK+ECK90，JEFECK，EJFCKE，EJCK=JFEK，1-55x2-255x=JF55x，JF=510x，AFAJ+JF=255x+510x=52x，S=12AFEJ=1252x（1-55x）=-14x2+54x（0x5）；（3）当EAFCDB时，ABCD，CDBABD，EABEBA，EAEB，DAE+EAB90，ADE+ABE90，DAEADE，AEDE，DEEB=52，x=52，AF=5252=54当AEFBDCABE时，EAFEAB，EAFBAE，AE2AFAB，（1-55x）2+（255x）2=52x2，解得x=512，AF=52512=554，、当AFEBDC时，F与B重合，此时EC与BD垂直，此时AFAB2，综上所述，AF的长为34或554或2