二次根式 重难点题型专训（8大题型 15道拓展培优）（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司二次根式 重难点题型专训（8 大题型+15 道拓展培优）【题型目录】题型一 求二次根式的值题型二 根据二次根式有意义的条件求参题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值题型四 根据二次根式是整数求字母的值题型五 利用二次根式的性质化简题型六 数轴与二次根式的化简问题题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式题型八 复合二次根式的化简【知识梳理】知识点一.二次根式的定义形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是 2；（2）被开方数为非负数.知识点二.二次根式有无意义的条件：（1）如果一个式子中含有多

2、个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零 知识点三.二次根式的性质：（1）0a，0a（双重非负性）（2）2(),0aaa=（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）应用：在实数范围内分解因式：22247(2)(7)(27)(27)mmmm=+（3）2,0,0aaaaaa=（4）ab=a b（a0，b0）学科网（北京）股份有限公司（5）ab=ab（a0，b0）知识点四.二次根式的化简：（1）二次根式化简的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的

3、因数（或因式）都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次根式或整式（2）最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式【经典例题一 求二次根式的值】【例 1】（2022 下浙江绍兴八年级统考期末）当 x1 时，二次根式42x的值等于（）A4B0C 2D2【答案】C【分析】把1x=代入42x解题即可【详解】解：把1x=代入42x得，422=故选：C【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键【变式训练】1（2020 下内蒙古八年级校考期中）a 是任意实数，下列

4、各式中：2a+；4(2)a；23a+；269aa+；23a，一定是二次根式的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可【详解】二次根式a 必须满足0a 学科网（北京）股份有限公司只有可以确定被开方数非负一定是二次根式的个数是 3 个故选 C【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键2（2022 下湖北咸宁八年级统考期末）代数式24n+的最小值为 【答案】2【分析】根据二次根式成立的条件即可解答【详解】解：根据题意可得20n，244n+2442n+=，24n+的最小值为 2，故答案为：2【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用

5、二次根式成立的条件是解决本题的关键3（2022河南模拟预测）求代数式 21(1)1xxx 2221xxx+的值，其中 x 2【答案】-2+2【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再把 x 的值代入化简后的式子进行计算即可【详解】解：原式=（211xx211xx）21xx2（）=221xxx21xx（）2=21x xx（）21xx（）2=1x x（）=2xx+-当 x 2 时，原式=2(2)+2=-2+2【点睛】本题考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键【经典例题二 根据二次根式有意义的条件求参】学科网（北京）股份有限公司【例 2】（2

6、023 上河南周口九年级统考阶段练习）函数123yxx=+中，自变量 x 的取值范围为（）A2x B3x=C2x 且3x D3x【答案】A【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件是分母不为零成为解题的关键【详解】解：123yxx=+，2030 xx，解得：2x 故选 A【变式训练】1（2023 下湖南株洲九年级株洲二中校考自主招生）使函数()121f xx=有意义，则 x 的取值范围是（）A12x B12x C12x D12x【答案】C【分析】由被开方

7、式是分式，再根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可【详解】解：由题意得：1021x，解得：12x，故选：C【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数2（2023 上四川成都八年级校考期末）已知332yxx=+，则 xy=【答案】6【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，确定 x，y 的值，后求代数式的值即可【详解】332yxx=+，30,30 xx，解得3x=，学科网（北京）股份有限公司2y=，6xy=，故答案为：63（2023 下江苏苏州八年级校考开学考试）（1）已知a、b 为实数，且52 54aab+=+，求ab 的平方根（2）已知实数 a满足

8、 20212022aaa+=，求22021a 的值【答案】（1）3；（2）2022【分析】（1）根据5a 和 5a均有意义，得出5a=，则40b+=，求出 b 的值，即可求解；（2）根据2022a 有意义，得出2022a，推出20212022aaa+=，则220222021a=，即可求解【详解】解：（1）5a 和 5a均有意义，5a=，40b+=，解得：4b=，()549ab=，ab 的平方根为93=；（2）2022a 有意义，2022a，2021202220212022aaaa+=+，20212022aaa+=，20212022aaa+=，20222021a=，则220222021a=，()

9、2202120222022aaa=【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中被开方数为非负数【经典例题三 利用二次根式被开方数的非负性求值】学科网（北京）股份有限公司【例 3】（2023 春福建福州八年级统考期中）已知=2022 2023 +1，其中为整数，则的值为_【答案】0 或 2【分析】先根据二次根式有意义的条件得出 2022 02023 0，求出2022 2023，再根据为整数，得出=2022或=2023，分别代入，即可得出答案【详解】解：要使=2022 2023 +1有意义，则 2022 02023 0，解得：2022 2023，为整数，=2022或=20

10、23，当=2022时，=2022 2022 2023 2022+1=0 1+1=0；当=2023时，=2023 2022 2023 2023+1=1 0+1=2；综上分析可知：y 的值为 0 或 2故答案为：0 或 2【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于零【变式训练】1、（2023 春河北邢台八年级校考期末）若 1+3=0，求 的值【答案】4【分析】结合题意，根据二次根式的性质，可分别得到 x 和 y 的方程，经计算从而完成求解【详解】1+3=0 1=0+3=0 ，解得 =1=3 =1 (3)=4【点睛】本题考查了二次根式、一元一次方程、等式

11、等知识；解题的关键是熟练掌握平方根、一元一次方程、等式的性质，从而完成求解2、（2023 春黑龙江绥化八年级统考期中）若=3+3 2，则=_.【答案】19【分析】根据二次根式成立的条件得出关于的不等式组，求得=3，进而求出=2，代入即可求出答案【详解】=3+3 2，学科网（北京）股份有限公司x 3 03 x 0 x=3y=x 3+3 x 2=2xy=32=19故答案是19【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数幂的性质，熟练掌握a(a 0)以及ap=1ap（a 0，p为正整数）是解题的关键3、（2023全国八年级假期作业）已知实数满足(2008 )2+2009=，求 20082的值是多

12、少？【答案】2009【分析】根据二次根式有意义的条件求出 a 取值范围，再将等式边形即可【详解】解：二次根式有意义，a-20090，即 a2009，2008-a-10，a-2008+2009=a，解得 2009=2008，等式两边平方，整理得 a-20082=2009【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键【经典例题四 根据二次根式是整数求字母的值】【例 4】（2023 春八年级单元测试）若36 是整数，则整数 n 的所有可能的值为_【答案】1，4，9，36【分析】36 是整数，则36 0，且36 是完全平方数，即可求出 n 的值【详解】解：36 是整数

13、，36 0，且36 是完全平方数，36=1，即=36；36=4，即=9；36=9，即=4；学科网（北京）股份有限公司36=36，即=1；综上所述，整数 n 的所有可能的值为 1，4，9，36故答案是：1，4，9，36【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解36 是整数的条件是解题的关键【变式训练】1、（2023 春广东惠州八年级校考期中）已知：20是整数，则满足条件的最小正整数为（）A2B4C5D20【答案】C【分析】将20化简为25，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答【详解】解：20=25，20是整数，满足条件的最小正整数为 5，故选：C【点睛】本题考查了求二次根式

14、中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键2、（2023 春湖北武汉八年级统考期中）已知10 是整数，则自然数所有可能的值的和为_【答案】26【分析】根据二次根式的定义可知10 0，直接列出所有可能的值再求和即可【详解】10 是整数，则自然数所有可能的值为=1,6,9,10，所以所有可能的值的和为1+6+9+10=26故答案为：26【点睛】此题考查二次根式的定义，解题关键是明确,03、（2023 春江苏八年级专题练习）如果17+4是一个正整数，则整数的最小值是（）A-4B-2C2D8【答案】A【分析】根据17+4是一个正整数，得出 174，根据为整数，得出 a 的最小值为4，最

15、后代入=4验证17+4是一个正整数符合题意，得出答案即可【详解】解：17+4是一个正整数，17+40，学科网（北京）股份有限公司 174，为整数，a 的最小值为4，且=4时，17+4=17 16=1符合题意，故 A 正确故选：A【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出 174，是解题的关键【经典例题五 利用二次根式的性质化简】【例 5】（2023 下浙江丽水八年级期末）已知m 是 2 的小数部分，则2212mm+的值是（）A 0B1C 2D3【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和2aa=首先根据题意可得2 1m=，再根据完全平方公式可得222112(

16、)mmmm+=，再代入求值即可【详解】解：m 是 2 的小数部分，2 1m=，222221112()(21)2121)221mmmm+=故选：C【变式训练】1（2023 上河南洛阳九年级统考期中）化简二次根式()10 xx，得（）AxxBxxCxxDxx【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据0 x，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二次根式具有非负性是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：21xxxxx=，故选：C 2（2024 上上海闵行八年级统考期末）计算：()25180a ba=【答案】232abb【分析】此题考查二次根式的性质与化简，根据二次根式性质化

17、简即可求解，解题关键在于掌握运算法则【详解】解：()2252222183232a babbabb=，故答案为：232abb 3（2024 上北京昌平八年级统考期末）阅读材料：1 和4 为整数，4 132 1 1=+；4 和9 为整数，9 452 2 1=+；9 和 16 为整数，16 972 3 1=+；小明发现结论：若a 和 b 为相邻的两个整数，其中ab，则有21baa=+，并给出了证明：根据题意，得1ab+=等式两边同时_，得_b=整理得21baa=+请根据以上材料，解决以下问题：(1)请补全小明的证明过程.(2)若a 和11a+为两个相邻整数，则=a_.(3)若a 和216a+为相差

18、4 的两个整数，求a 的值【答案】(1)平方，()21a+(2)25 学科网（北京）股份有限公司(3)625a=【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键（1）根据证明过程补全即可；（2）根据已知结论，得出1121aaa+=+，求出a 的值即可；（3）根据题意，得4216aa+=+，将等式两边同时平方，整理后求解即可【详解】（1）解：根据题意，得1ab+=，等式两边同时平方，得()21ab+=，整理得21baa=+，故答案为：平方，()21a+；（2）解：由题意可知，1121aaa+=+，5a=，即25a=，故答案为：25（3）解：根据题意，得4216

19、aa+=+，等式两边同时平方，得()()224216aa+=+，整理得：()22244216aaa+=+，816216aaa+=+，25a=，625a=【经典例题六 数轴与二次根式的化简问题】【例 6】（2023 上吉林长春八年级校联考期末）已知实数 a 在数轴上的对应点位置如图，则化简()221aa+的结果为（）学科网（北京）股份有限公司A1B 1C23a D 1【答案】A【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算【详解】解：根据题意得：21a，()221aa+|2|1

20、|aa=+21aa=+1=，故选：A【变式训练】1（2023 上重庆九年级重庆第二外国语学校校考期中）实数 a、b 在数轴上所对应的点如图所示，化简()22baab+的结果是（）A 3aB3aC2+abD2ab【答案】A【分析】本题考查数轴，绝对值，二次根式的性质先根据数轴确定 a，b 的范围，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简，即可解答【详解】由数轴可得0ab，ab，0ba，20ab+，()()()22223baabbaabbaaba+=+=，故选：A2（2023 上江苏常州八年级校考阶段练习）已知a，b 在数轴上的位置如图所示，则22()aba的化简的结果为 【答案】b【分析】本题主要考

21、查数轴上点表示的数以及大小关系、二次根式的性质与化简，根据数轴上点表示的数的大小关系，得 a0，0ba，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、二次根式的性质是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司【详解】根据数轴可知：1a ，0ba，则原式aba=()aba=aba=+b=，故答案为：b 3（2023 上江苏苏州八年级校考期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：()21 31xx 解：隐含条件1 30 x，解得：13x，10 x 原式()()1 311 312xxxxx=+=【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：()()2232xx【类比迁移】（2）实数 a，b

22、在数轴上的位置如图所示，化简：()22aabba+（3）已知 a，b，c 为 ABC 的三边长化简：()()22abcabc+【答案】（1）1；（2）2ab；（3）22bc+【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键：（1）先根据题意得到2x，据此化简二次根式即可；（2）先根据数轴得到00abba+，据此化简二次根式和绝对值即可；（3）根据三角形三边的关系得到00abcabc+，据此化简二次根式即可【详解】解：（1）()()2232xx有意义，20 x，即2x，()()2232xx()32xx=32xx=+1=；（2）由题意得，0ab ab，00abba+，()22aab

23、ba+()()aabba=+aabba=+2ab=；（3）a，b，c为 ABC 的三边长 学科网（北京）股份有限公司00abcabc+，()()22abcabc+()abcabc=+abcabc=+22bc=+【经典例题七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】【例 7】（2023 春八年级课时练习）一次函数=+的图象如图所示，化简2+2+2|+1|=_【答案】1【分析】先根据一次函数=+经过第一、二、三象限，且交于 y 轴的正半轴，可得0，0，再由图可知，当=1时，一次函数的值大于 0，即有当=1时，有=+0，据此化简即可【详解】一次函数=+经过第一、二、三象限，且交于 y 轴的正半轴，0，

24、0，由图可知，当=1时，一次函数的值大于 0，将=1代入=+中有=+0，即：2+2+2|+1|=(+)2 (+1)=+1=1，故答案为：1【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出0，+0，是解答本题的关键【变式训练】1、（2023 春黑龙江绥化八年级校考阶段练习）若化简|1|2 8+16的结果是2 5，则 x 的取值范围是_【答案】1x4【分析】根据|1|2 8+16=2 5可以得到|1|4|=2 5，然后根据 x 的取值范围去绝对值即可求解.【详解】解：由题意可知：|1|2 8+16=2 5 学科网（北京）股份有限公司|1|(

25、4)2=2 5|1|4|=2 5，当 4时，原式=1 +4=3不合题意；当1 4时，原式=1+4=2 5符合题意；x 的取值范围为：1 4，故答案为：1 4.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2、（2023 春山东烟台八年级统考期中）已知 m 是2的小数部分，则式子(1)2=_【答案】2 2【分析】首先确定=2 1，再将其代入(1)2并化简计算即可【详解】解：m 是2的小数部分，=2 1，(1)2=(2 1 1)2=(2 2)2=|2 2|=2 2故答案为：2 2【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出=2

26、 13、（2023 春黑龙江绥化八年级校考阶段练习）已知 ab0，化简2=_【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件得到2 0，利用2 0，0得 0，再根据二次根式的性质得原式=|，然后去绝对值即可【详解】解：2 0，而2 0，0，0，原式=2 =|=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握2=|学科网（北京）股份有限公司【经典例题八 复合二次根式的化简】【例 8】（2022 上四川遂宁九年级四川省射洪市柳树中学校考阶段练习）若0 xy，则 2x y 化简后的结果是（）AxyB xyC xyD x y【答案】D【分析】根据0 xy，2x y 有意义可得0,0 xy，进

27、而即可求解【详解】解：0 xy，2x y 有意义，0,0 xy，2x yxyx y=，故选：D【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出0,0 xy是解题的关键【变式训练】1（2022 下辽宁葫芦岛八年级统考期中）若3222aaa a+=+，则 a 的取值范围是（）A 20a B0a C a0D2a 【答案】A【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答【详解】32222 ()2aaaaa a+=+=+，020aa+，-20a故选 A【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键2（2021北京九年级专题练习）化简620的结果为 【

28、答案】51【分析】先把62 5化为平方的形式，再根据()20aa a=化简即可求解 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：原式62 5=22(5)2 5(1)=+2(51)=51=故答案为：51【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把62 5化为平方的形式是解题关键3（2024 上湖南娄底八年级统考期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数形如2ab，如果你能找到两个数m、n，使22mna+=，且mnb=，则2ab可变形为()2222mnmnmnmn+=从而达到化去一层根号的目的例如化简52 6，532=+且 632=，()252 63232=(1)填上适当的数：()2_8_2_5_1_+

29、=_；(2)当12x时，化简2121xxxx+【答案】(1)53+，53+，53+(2)2【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键（1）将 8 写成()()2253+，将 15 写成 53，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案（2）将 x 写成()211x+，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案【详解】（1）解：82 15+()()2253253=+()253=+53=+53=+，故答案为：53+，53+，53+；学科网（北京）股份有限公司（2）12x，2121xxxx+，()()2222121 1 1

30、121 1 1xxxx=+，()()221 11 1xx=+，1 1 11xx=+，2=【拓展培优】1（2024 上河北衡水八年级统考期末）若2(1)1aa+=，则a 的值可以是（）A4B2C0D 2【答案】D【分析】本题考查二次根式的性质，根据2aa=，当0a 时，2aa=求解即可【详解】解：()2(1)11aaa+=+，10a+，则1a ，故选项 D 符合题意，选项 A、B、C 不符合题意，故选：D2（2022 下重庆酉阳八年级校考期末）式子3x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（）A3x B3x C3x D3x【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握定义是解

31、题关键如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数直接利用二次根式的定义分析得出答案【详解】解：由题意得：30 x，解得：3x，故选：A 学科网（北京）股份有限公司3（2024 上湖南岳阳八年级岳阳市弘毅新华中学校考期末）若113xx+有意义，则实数 x 的取值范围是（）A1x 且3x B1x 且3x C1x 且3x D1x 且3x【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 0，分式有意义的条件是分母不为 0 是解题的关键【详解】解：113xx+有意义，1030 xx+，1

32、x 且3x ，故选：B4（2023 上江苏苏州八年级苏州市平江中学校校联考期中）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：222abaabb+结果为（）A 2aB 2bC 22abD0【答案】A【分析】此题考查了二次根式的化简、整式的加减法以及绝对值的性质，首先根据数轴上 a、b 点的位置确定出 a、b 的取值范围，然后再根据二次根式和绝对值的性质进行化简【详解】由数轴得，0ab，ab0ab+，0ab 222abaabb+()2abab=+abab=+()()abab=+a b a b=+2a=故选 A 学科网（北京）股份有限公司5（2023 上重庆八年级校联考期中）若()221111nan

33、n=+（n 为正整数），则下列说法正确的个数是（）1112a=，2116a=，31112a=；411145a=+；123888 9aaaa+=A0 个B1 个C2 个D3 个【答案】D【分析】本题考查了算术平方根和规律型的题目，分别计算当 n 为 1，2，3，4 时na 的值，可得规律1111nann=+，即可得出答案，找出数字的规律是解题的关键【详解】解：22111(1)nannn=+为正整数），119311 114422a=+=，211497111493666a=+=，31111191612a=+=，故正确；41111111116252045a=+=+，故正确；11111 122a=+，2

34、11111623a=+，3111111234a=+，411145a=+，所以可知1111nann=+，1238aaaa+11111111 11112233489=+1819=+学科网（北京）股份有限公司88 9=，故正确故选：D6（2023 上陕西西安八年级校考期中）已知 x，y 都是实数，且223yxx=+，则 xy=【答案】6【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到2020 xx，解不等式组得到2x=，进而得到=3y，代入代数式计算即可求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键【详解】解：由题意得，2020 xx，解得2x=，=3y，()236xy

35、=，故答案为：6 7（2023 上上海静安八年级校联考期末）当1a 时，2(1)a+=.【答案】1a /()1a+/1 a/()1 a+【分析】根据不等式的性质可得10a+，再根据二次根式的性质求解即可【详解】解：1a ，10a+，()2(1)1=1aaa+=+，故答案为：1a 8（2024 上黑龙江哈尔滨八年级统考期末）已知2(4)5yxx=+，当 x 分别取1，2，3，2024时，所对应 y 值的总和是 .【答案】2036【分析】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键先化简二次根式求出 y 的表达式，再将 x 的取值依次代入，然后求和即可得 学科

36、网（北京）股份有限公司【详解】解：2(4)545yxxxx=+=+，当4x 时，4592yxxx=+=，当4x 时，451yxx=+=，则所求的总和为：()()()92 192 292 31 11+7 5 3 1 2021=+2036=故答案为：2036 9（2023 上四川达州八年级校考期中）问题探究：因为2(21)32 2=，所以 32 221=，因为2(21)32 2+=+，所以32 221,+=+请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：42 3=【答案】31/13+【分析】本题考查了二次根式的性质与化简的方法，关键是把复合二次根式的被开方数42 3配成完全平方式观察式子可知：33

37、1=，43 1=+，故 42 3可看作(31)平方的结果【详解】解：2(31)42 3=，42 331=故答案为：3 110（2023 上四川内江九年级四川省内江市第二中学校考阶段练习）若关于m 的二次根式5mm+有意义，且m为整数，若关于m 的分式方程1122xmxx+=的解为正数，则满足条件的所有m 的值的积为 【答案】40【分析】根据二次根式5mm+有意义的可得 50m，再根据分式的解12mx=为正数，可得1m，确定m的取值范围，当2x=时的情形除外，求得所有正数解m，再求其积即可【详解】解：二次根式5mm+有意义500mm+，学科网（北京）股份有限公司50m，1122xmxx+=去分母

38、得，12xmx+=+，解得 12mx=,102m,1m,2x,122m,3m ,综上可知，50m 且3m ，m 为整数，5,4,2,1m=，其和为()()()()542140 =故答案为：40【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式方程的解法，不等式的整数解，解题的关键是综合运用以上知识11（2023 上江苏苏州八年级苏州市立达中学校校考期中）实数,a b c 在数轴上对应点的位置如图所示，化简()()22abcabc+【答案】0【分析】本题主要考查了绝对值以及二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题的关键直接根据数轴上 a，b，c 的位置得出，-abcab c000，进而化简得出答案【详

39、解】解：由数轴可得：0abc，abcabc 000，则()()22abcabc+()()()abcacb=+ab cac b=+0=学科网（北京）股份有限公司12（2023 上广东深圳八年级深圳大学附属中学校考期中）已知正数 13a+=，正数b 的两个不同的平方根分别是62x 和37x，(1)求 a，b 的值；(2)求434ab的值【答案】(1)8a=，16b=(2)2 153【分析】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质（1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可；（2）把 a，b 的值代入434ab，然后根据二次根式的性质化简即可【详解】（1）13a+=，19a+=，8a=正

40、数b 的两个不同的平方根分别是62x 和37x，3 7062xx+=，1x=，624x=，16b=（2）8a=，16b=，432162 1534343ab=13（2023 上江苏常州八年级校考阶段练习）有这样一类题目：将2ab化简，如果你能找到两个数m、n，使22mna+=且 mnb=，则将2ab将变成222mnmn+，即变成()2mn开方，从而使得2ab化简例如，22252 6322 6(3)(2)2 23(32)=+=+=+，学科网（北京）股份有限公司252 6(32)32=+=+，请仿照上例解下列问题：(1)52 6；(2)42 3+【答案】(1)32；(2)31+【分析】（1）把5分成

41、32+，根据二次根式的性质进行化简即可；（2）把 4 分成3 1+，根据二次根式的性质进行化简即可；本题考查的是二次根式的性质和化简，正确理解阅读材料所示内容、掌握二次根式的性质是解题的关键【详解】（1）解：22252 6322 6(3)(2)2 23(32)=+=+=，252 6(32)32=，（2）解：22242 33 12 3(3)(1)2 31(31)+=+=+=+，242 3(3 1)3 1+=+=+14（2023 上四川遂宁八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265xx+的最小值()()22222652333534xxxxx+=+=+

42、，且()230 x+，当3x=时，265xx+有最小值 4 请根据上述方法，解答下列问题：(1)若()2241xxxab+=+，则 ab 的值是_(2)求证：无论 x 取何值24xx+都有意义；(3)若代数式2210 xkx+的最小值为 2，求k 的值【答案】(1)10(2)证明过程见解答(3)k 的值为 8 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了完全平方公式的应用；（1）把右边化简，求出 a和b 的值，进而可求出ab 的值；（2）把被开方数配方，即可证明结论成立；（3）把所给代数式配方，根据代数式2210 xkx+的最小值为 2，得出关于k 的方程，然后解方程即可【详解】（1）解：24

43、1xx+2444 1xx=+()225,x=+()2241,xxxab+=+2,5,ab=()2510ab=故答案为：10；（2）证明：24xx+222114,22xx=+2115,24x=+210,2x+2115 15244x+无论 x 取何值，24xx+的值都是正数，无论 x 取何值，二次根式24xx+都有意义；（3）原式2222222102102102216848kkkkkkxxxxx=+=+=+，2204kx+，21028k=，264k=，8k=学科网（北京）股份有限公司15（2017四川八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式()2222aabbab+=，知道所有的非负数都可以看作是

44、一个数的平方，如22(2)=，23(3)=，27(7)=，200=，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求32 2的算术平方根解：22232 222 21(2)2 21(21)=+=+=，3 2 2 的算术平方根是2 1 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：(1)32 2+(2)108 32 2+(3)32 252 672 1292 2011 2 30+【答案】(1)21+(2)42+(3)61【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式；（1）将32 2变形为完全平方式的形式()221，然后开平方即可；（2）先化简32 2+，再化简原式即可得出答案；（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案【详解】（1）解：原式()2222 21=+()221=2 1=；（2）解：原式()2210822 21=+()210821=+()10821=+学科网（北京）股份有限公司108 28=+188 2=+()22424 22=+()242=+42=+；（3）解：32 252 672 1292 2011 2 30+()()()()()222222132435465=+2132435465=+61=