24.8 正多边形与圆【十大题型】（人教版）（学生版）.docx

1、专题24.8 正多边形与圆【十大题型】【人教版】【题型1 正多边形与圆中求角度】1【题型2 正多边形与圆中求线段长度】3【题型3 正多边形与圆中求半径】4【题型4 正多边形与圆中求面积】5【题型5 正多边形与圆中求周长】6【题型6 确定正多边形的边数】6【题型7 正多边形与圆中的实际应用】7【题型8 正多边形与圆中的规律问题】8【题型9 正多边形与圆中求最值】10【题型10 正多边形与圆中的证明】11【知识点1 正多边形与圆】 （1）正多边形的有关计算中心角边心距周长面积为边数；为边心距；为半径；为边长 （2）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为【题型1 正多边形与圆中求角度】【例1】（20

2、22春株洲期末）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是O的内接多边形，则BOM的度数是（）A36B45C48D60【变式1-1】（2022长春一模）如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M在AF上，则CMD的大小为（）A60B45C30D15【变式1-2】（2022春福州期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF则FDC的度数是 【变式1-3】（2022绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O，且有公共顶点A，则BOH的度数为 度【题型2 正多边形与圆中求线段长度】【例2】（2022雅安）如图，已知O的周长等于6

3、，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（）A33B32C332D3【变式2-1】（2022秋西城区期末）如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A4B8C22D42【变式2-2】（2022德城区模拟）已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上若两个大正六边形的边长均为4，则小正六边形的边长是（）A3-13B13-1C13+1D23-1【变式2-3】（2022凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O，则AD：AB（）A22：3B2：3C3：2D3：22【题型3 正多边形与圆中求半径】【例3】（2022春临海市期末

4、）如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC则OA：OB：OC的值是（）A3：2：1B9：4：1C3：2：1D3：6：2【变式3-1】（2022虹口区二模）如果正三角形的边心距是2，那么它的半径是 【变式3-2】（2022钦州模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接AC，已知AC6，则圆的半径是（）A3B6C23D43【变式3-3】（2022碑林区校级模拟）如图：O与正六边形ABCDEF的两边AB和EF相切于点B和点E两点，若正六边形的边长是3，则O的半径长是（）A1B3C2D3【题型4 正多边形与圆中求面积】【例4】（2022泗水县

5、三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为（）A83B123C16D163【变式4-1】（2022秋宣化区期末）如图，已知O的周长等于6，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A2732B2734C934D273【变式4-2】（2022庐阳区校级一模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为（）A334B3C534D23【变式4-3】（2022秋庐江县期末）O半径为4，以O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（）A2B3C22D23【题型5 正多边形

6、与圆中求周长】【例5】（2022和平区一模）如图，若O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆，则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）A22：3B2：1C2：3D1：3【变式5-1】（2022鼓楼区校级模拟）正六边形的周长为12，则它的外接圆的内接正三角形的周长为（）A23B33C63D6【变式5-2】（2022秋梅河口市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm【变式5-3】（2022旌阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的半径为6，则ADE的周长是（）A9+33B12+63C18+33D

7、18+63【题型6 确定正多边形的边数】【例6】（2022宽城县一模）如图，边AB是O内接正六边形的一边，点C在AB上，且BC是O内接正八边形的一边，若AC是O内接正n边形的一边，则n的值是（）A6B12C24D48【变式6-1】（2022秋滨江区期末）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72，则该正多边形的边数是（）A4B5C6D7【变式6-2】（2022息烽县二模）如图，AB、AC分别为O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A8B10C12D16【变式6-3】（2022秋钢城区期末）如图，四边形ABCD为O的内接正四边形，AEF为O的内接正三角形

8、，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A8B10C12D15【题型7 正多边形与圆中的实际应用】【例7】（2022安国市一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（）A11.125mmB22.25mmC8928mmD8938mm【变式7-1】（2022秋门头沟区期末）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 米【变式7-2】（2022秋东城区期末）斛是中国古代的一种量器据汉书律历志

9、记载：“斛底，方而圜（hun）其外，旁有庣（tio）焉”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”如图所示问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺【变式7-3】（2022清苑区一模）某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为1cm目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm（2）如果你要装12

10、只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为 13cm【题型8 正多边形与圆中的规律问题】【例8】（2022秋椒江区校级月考）已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A2.2B2.2C2.3D2.3【变式8-1】（2022秋铁锋区期末）如图，边长为1的正六边形A

11、BCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 【变式8-2】（2022江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1称为第一次数学操作，接下来，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，当完成第n次数学操作后，得到正方形AnBnnDn，则AnBnAB的值为（）A（22）nB（12）nC（32）nD（34）n【变式8-3】（2022威海）如图，

12、正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（）A24329B81329C8129D81328【题型9 正多边形与圆中求最值】【例9】（2022南山区三模）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积为8，MN2，则AMN周长的最小值是（）A6B8C9D10【变式9-1】（2022观山湖区一模）如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，A

13、B4，当APB90时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A211-2B213-2C6D43【变式9-2】（2022浙江自主招生）如图，边长为4的正方形ABCD内接于O，点E是弧AB上的一动点（不与A、B重合），点F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且EOF90，则GBH周长的最小值为 【变式9-3】（2022秋广陵区期末）如图，O半径为2，正方形ABCD内接于O，点E在ADC上运动，连接BE，作AFBE，垂足为F，连接CF则CF长的最小值为 【题型10 正多边形与圆中的证明】【例10】如图，O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F（1）求BAC的度

14、数（2）求证：四边形CDEF为菱形【变式10-1】已知：如图，ABC是O的内接等腰三角形，顶角BAC36，弦BD、CE分别平分ABC、ACB求证：五边形AEBCD是正五边形【变式10-2】（2022河南模拟）如图，O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：当t s时，四边形PBQE为菱形；当t s时，四边形PBQE为矩形【变式10-3】（2022张家口一模）（1）已知：如图1，ABC是O的内接正三角形，点P为BC上一动点，求证：PAPB+PC下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法证明：在AP上截取AECP，连接BEABC是正三角形ABCB1和2的同弧圆周角12ABECBP（2）如图2，四边形ABCD是O的内接正方形，点P为BC上一动点，求证：PAPC+2PB（3）如图3，六边形ABCDEF是O的内接正六边形，点P为BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论