3 微专题：空间向量基本定理及其初步应用(用空间向量解答立体几何问题)-上海外国语大学附属浦东外国语学校2022届高考数学二轮复习专题讲义.docx

1、【学生版】微专题：空间向量基本定理及其初步应用1、空间向量基本定理（1）定理：如果空间中的三个向量，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量；特别地，当，不共面时，可知xyz，时，xyz0；（2）相关概念线性组合：表达式xyz一般称为向量，的线性组合或线性表达式；基底：空间中不共面的三个向量，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；基向量：基底中，都称为基向量；分解式：如果p，则称为在基底下的分解式；【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【提示】【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基

2、向量？【提示】2、空间向量的正交分解（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示（2）向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；【典例】题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；【提示】【答案】【解析】【说明】题型2、用空间的基底表示空间向量例2、如图，在三棱柱ABCABC中，已知，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底表示向量，；【变式1】 (变条件)若把

3、本例3(2)中的改为，其他条件不变，则结果又是什么？【变式2】 (变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底表示向量。题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求：向量所成角的大小；【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则

4、及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果3、通过运算下结论：利用空间向量的一个基底表示出空间所有向量；然后，利用空间向量的运算解答立体几何问题；例4、已知两两垂直，为的中点，点在上，；（1）求：的长；（2）若点在线段上，设，当时，求：实数的值【归纳】1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2、在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、基向量的选择和使用方法：用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过

5、程简便易行,选择和使用向量应注意：（1）所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；（）所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量；（3）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底；4、用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果；（3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，即结果中只能含有不能含有其他形

6、式的向量；5、涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题,可以利用基向量，通过数量积的运算来解决：（1）线线垂直可用证明，其中用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题；（2）异面直线所成角可用公式求解，其中用基向量表示；（3）线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式计算，其中用基向量表示；【即时练习】1、在下列两个命题中，真命题是（ ）若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底；A仅 B仅 C D都不是2、给出下列命题，其中错误的有A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基

7、底C，是空间四点，若，不能构成空间的一组基底，则，共面D已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底3、如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，设，则 4、在三棱锥中，是的重心设，以为基向量表示，则 5、如图所示，已知平面，M，N分别是的中点，且，四边形为正方形，以为基底，则 6、正方体的棱长为a，点N为的中点，则等于 7、如图，点M为的中点，为空间的一个基底，则有序实数组_8、已知点A(2，0，1)，B(1，1，2)，C(3，2，3)（1）向量与夹角的余弦值为_；（2）若向量，且，则_；（3）若向量与向量互相垂直，则实数_9、如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，为的中点；（1）证明：；（2

8、）求直线与的夹角的余弦值；10、如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，于点，若，；求证：为定值，并求出该定值；【教师版】微专题：空间向量基本定理及其初步应用1、空间向量基本定理（1）定理：如果空间中的三个向量，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得；我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量；特别地，当，不共面时，可知xyz，时，xyz0；（2）相关概念线性组合：表达式xyz一般称为向量，的线性组合或线性表达式；基底：空间中不共面的三个向量，组成的集合，常称为空间向量的一组基底；基向量：基底中，都称为基向量；分解式：如果p，则称为在基底下的

9、分解式；【思考1】平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？【提示】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示；【思考2】基向量和基底一样吗？能否作为基向量？【提示】基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为与其他任意两个非零向量共面，所以不能作为基向量；2、空间向量的正交分解（1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示（2）向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量使得；像这样把一个空间向量分

10、解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解；【典例】题型1、空间向量基本定理及相关概念的理解例1、若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底；【提示】判断是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底；【答案】可以作为空间的一个基底；【解析】假设共面；则存在实数、使得()()，所以，+（+）；又因为，为基底，所以，不共面；则此方程组无解，所以，不共面所以，可以作为空间的一个基底；【说明】空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；题型2、用空间的基底表示空间向量例2、如图，在三棱柱ABCABC中，已知，点M，N分别

11、是BC，BC的中点，试用基底表示向量，；【提示】借助图形寻找待求向量与，的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用，表示出来；【解析】结合三棱柱ABCABC及其几何性质，得：()()()；()()；【变式1】 (变条件)若把本例3(2)中的改为，其他条件不变，则结果又是什么？【解析】()()；()()；【变式2】 (变换条件、改变问法)如图所示，在本例中增加条件“P在线段AA上，且AP2PA”，试用基底表示向量。【解析】()()()；【说明】用基底表示向量的步骤：1、定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；2、找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法

12、则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；3、下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量；提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量；题型3、利用空间向量基本定理解决几何问题例3、如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若， （1）用表示；（2）求对角线的长；（3）求：向量所成角的大小；【提示】注意：结合向量的运算用基向量表示相关向量，并利用向量运算进行计算；【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】（1）连接，如图：因为， ，在，

13、根据向量减法法则可得：，又因为，底面是平行四边形，所以，因为 且，所以，又因为，为线段中点，所以， ，在中，；（2）因为，顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，所以， ，；由（1）可知，所以，平行四边形中故： 所以， ，所以，对角线的长为：.（3）因为，不妨设向量所成角的为，又因为，所以，；所以，向量所成角的大小为；【说明】本题就是利用基向量表示相关向量，然后利用空间向量的运算解决立体几何问题；一般解题步骤是：1、确定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底2、表示目标向量：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代

14、换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果3、通过运算下结论：利用空间向量的一个基底表示出空间所有向量；然后，利用空间向量的运算解答立体几何问题；例4、已知两两垂直，为的中点，点在上，；（1）求：的长；（2）若点在线段上，设，当时，求：实数的值【提示】注意：题设中的“两两垂直”；【解析】（1）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，由为的中点，点在上，可得， ，则；（2）设，因为，且点在线段上，所以，则，因为，所以，又，所以，则；【说明】本题说明了空间向量的坐标运算在立体几何中的应用；利用空间向量的坐标运算求解立体几何问题时，关键是确定相关向量的坐标，一般有两

15、种方法：（1）利用单位正交基底表示向量，然后对应写出坐标；（2）利用建立的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，然后利用有向线段表示坐标的方法用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标； 【归纳】1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的；2、在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示；3、基向量的选择和使用方法：用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行,选择和使用向量应注意：（1）所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几

16、何性质帮助判断；（）所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内,能用基向量的线性运算表示未知向量；（3）尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底；4、用基底表示向量的步骤（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果；（3）下结论:利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，即结果中只能含有不能含有其他形式的向量；5、涉及空间图形的垂直、线段长度、夹角等问题,可以利用基向量，通过数量积的运算来解决：（1

17、）线线垂直可用证明，其中用基向量表示，其他垂直问题可转化为线线垂直问题；（2）异面直线所成角可用公式求解，其中用基向量表示；（3）线段长度或距离问题可转化为向量模的问题，利用向量模的计算公式计算，其中用基向量表示；【即时练习】1、在下列两个命题中，真命题是（ ）若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底；A仅 B仅 C D都不是【答案】A【解析】为真命题；中，由题意得共面，故为假命题，故选A；2、给出下列命题，其中错误的有A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C，是空间四点，若，不能构成空间

18、的一组基底，则，共面D已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底【答案】A ；【解析】对于A，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项A错误；对于B，由向量，则、与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项B正确；对于C，若，不能构成空间的一组基底，则，是共面向量，所以，共面，选项C正确；对于D，因为是空间向量的一组基底，所以、不共面，所以、也不共面，即时，也是空间一组基底，选项D正确；故选A；3、如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，设，则 【答案】【解析】连接分别为中点 4、在三棱锥中，是的重心设，以为基向量表示，则 【答案】【解析】因为；故答案为：；5、如图

19、所示，已知平面，M，N分别是的中点，且，四边形为正方形，以为基底，则 【答案】【解析】6、正方体的棱长为a，点N为的中点，则等于 【答案】；【解析】，7、如图，点M为的中点，为空间的一个基底，则有序实数组_【答案】【解析】，所以有序实数组8、已知点A(2，0，1)，B(1，1，2)，C(3，2，3)（1）向量与夹角的余弦值为_；（2）若向量，且，则_；（3）若向量与向量互相垂直，则实数_【解析】由题可知，（1）（2）由，可设，则，所以，即，所以或（3）因为，所以，解得【说明】空间向量的平行、垂直与数量积运算是高考的热点，而坐标运算的关键是正确写出向量的坐标，然后套用相应的公式进行计算应注意：当向量的起点不为原点时，需依据求向量的坐标；9、如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，为的中点；（1）证明：；（2）求直线与的夹角的余弦值；【答案】（1），证明见详解；（2）；【解析】（1）证明因为，所以，又两两垂直，且，所以，故（2），由，得所以故直线与的夹角的余弦值为；10、如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，于点，若，；求证：为定值，并求出该定值；【证明】如图示：连接并延长交于点，由题意可令，为空间的一个基底，故，连接，因为点，共面，故存在实数，使得，即，故，由空间向量基本定理知，故，为定值。