3.1.2 椭圆的简单几何性质（基础知识 基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.1.2椭圆的简单几何性质 （基础知识+基本题型）知识点一 椭圆的范围以椭圆为例由标准方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式，即，所以这说明椭圆位于直线和所围成的矩形框内（如图22-8） 拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围（2）如果将椭圆的标准方程变形为，那么这个椭圆的方程可以分成，两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法知识点二 椭圆的对称性以椭圆为例1椭圆的对称轴：坐标轴2椭圆的对称中心：原点，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心通过观察椭圆的形状，可以发

2、现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形提示：（1）在方程中，将换成，方程显然不变，这就是说椭圆上的点关于轴的对称点也在椭圆上，故椭圆关于轴对称；将方程中的换成，方程也不变，故椭圆关于轴对称；同理，将分别换成时，方程也不变，故椭圆关于原点对称（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线（3）椭圆关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心知识点三 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆为例1椭圆的顶点令，得，令，得这说明是椭圆与轴的两个交点，是椭圆与的两个交点，因为轴、轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点这四个交点叫做椭圆的顶点2椭圆的长轴、短轴线段叫做椭圆

3、的长轴，它的长为，叫做椭圆的长半轴长线段叫做椭圆的短轴，它的长为，叫做椭圆的短半轴长提示明确的几何意义，是长半轴长，是短半轴长，由，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点（或）为圆心，以为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点知识点四 椭圆的离心率1定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2范围：因为，所以，即拓展对椭圆离心率的理解（1），越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于，椭圆越接近于圆（2）当趋近于时，趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在时的特例（3）当趋近于1时，趋近于，椭圆变扁，直至成为线段，此时也可认为为椭圆在时的特例（4）知识点五 直线与

4、椭圆的位置关系1直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离2直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于（或）的一元二次方程的判别式来判定；直线与椭圆相交；直线与椭圆相切；直线与椭圆相离3弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线与椭圆相交于不同的两点，则直线被椭圆所截得的弦长公式为或考点一 由方程求椭圆的几何性质例1求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆解：将椭圆的方程化为标准形式为，得，则因此，长轴长，短轴长，离心率焦点坐标为和，顶点坐标为将方

5、程变形为，根据可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标，列表如下：012345329427524180先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆 将椭圆的方程化成标准方程易得，则椭圆位于四条直线，所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆考点二 由椭圆的几何性质求方程例2已知椭圆C以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点，求此椭圆的标准方程解：方法1：若椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为，若椭圆的焦点在轴上，设其标准方程为，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为

6、综上所述，所求椭圆的标准方程为或方法2：设椭圆方程为由题意，得或解得或故所求椭圆的标准方程为或（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：确定焦点所在的坐标轴；求出的值；写出标准方程考点三 求椭圆的离心率例3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出的关系式，再转化成间的关系式，从而求出解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以，所以，即又因为，所以，即两边同除以，得解得或（舍去）故该椭圆的离心率为求椭圆的离心率，

7、关键是寻找与的关系，一般地，（1）若已知，则直接代入求解；（2）若已知，则由求解；（3）若已知的关系，则可先转化为的齐次式，再转化为含的方程，求解即可例4若椭圆上存在一点，使（为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围解：设点的坐标是，则消去，得因为所以由，得，即，所以，所以又因为，所以，由，得，此式恒成立综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；建立目标变量的不等式，解不等式求解（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立了一个关于基本量的不等式组考点四 点

8、与椭圆的位置关系例5直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围解：方法1，直线恒过定点，直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内或椭圆上，所以，即又由于，故，方法2：由，得，则对恒成立，即对恒成立因为，所以对恒成立，故，即又因为，所以点与椭圆的位置关系（1）点在椭圆上；（2）点在椭圆外；（3）点在椭圆内考点五 直线与椭圆的位置关系例6已知椭圆及直线（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度解：由方程组消去并整理，得（1）因为直线与椭圆有公共点，所以解得故实数的取值范围是（2）由根与系数的关系，得，则弦长故当时，取得最大值为（1）利用方程讨论直线与椭圆的

9、位置关系设直线方程为，椭圆方程为，联立方程，得消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式，则直线与椭圆相交有两个公共点；直线与椭圆相切有且只有一个公共点；直线与椭圆相离无公共点（2）弦长问题设直线：交椭圆于，两点，则或考点六 椭圆中弦的中点问题例7 焦点分别为和的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程分析：设椭圆的方程联立椭圆的方程与直线的方程利用根与系数的关系设而不求由中点列出方程已知焦点求出方程解析：设依题意，有由消去并整理，得因为，所以所以由，得，经检验，此时所以椭圆方程为弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立

10、方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式的限制考点七 椭圆中的最值问题例8 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解解析:设所求椭圆方程为(0)由，得=2设椭圆上任一点的坐标为(，)，点到点的距离为，则，且，其中若，则当=-时，取得最大值解得，与矛盾若，则

11、当时，取得最大值由，得=1，=2故所求椭圆方程为由，得椭圆上到点的距离等于的点为，本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围考点八 与椭圆相关的实际问题例9 在大西北的荒漠上，两地相距2，正在准备在荒漠上围成一片以为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园按照规划，围墙总长度为8(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点，且与成角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分

12、有多长?分析:(1)如图22-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形的面积的最大值结合图形和椭圆的几何性质，易知当点位于短轴端点时，的面积最大，即平行四边形的面积最大；(2)实质就是求弦长解析:(1)如图22-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4，另两个端点，在以，为焦点的椭圆上 以所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为()因为(点在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2(2)由题可知，直线型水沟的方程是=+1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长把直线方程代入椭圆方程，得所以弦长为所以暂时不加固的部分长为椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧