3.2.1 双曲线及其标准方程-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.2.1双曲线及其标准方程【考点梳理】考点一：双曲线的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹2定义的集合表示：M|MF1|MF2|2a，02a0，b0)1(a0，b0)焦点(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b2重难点技巧：（1）,表示双曲线；（2）,表示两条射线；（3）,表示双曲线的一支；（4）,表示一条射线.【题型归纳】题型一：双曲线的定义1已知A（0，4），B（0，4），|PA|PB|2a，当a3和4时，点P轨迹分别为（）A双曲线和一条直线B双曲线和两条射线C双曲线一支和一条直线D双曲线一支和一

2、条射线2已知双曲线的左右焦点分别是，点P在双曲线C上，且，则（）A13B16C1或13D3或163如图，双曲线C：的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则的值是（）A3B4C6D8题型二：利用双曲线的定义求轨迹方程4在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）ABCD5已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点是双曲线左支上的一点，若，则双曲线的标准方程是（）ABCD6已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（）ABCD题型三：双曲线中的焦点三角形问题7若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的

3、一个公共点，则的面积（）A有最大值4B有最小值2C为D为8已知双曲线：的上、下焦点分别为，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（）ABCD9设，分别是双曲线的左右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）ABCD题型四：双曲线的参数问题10已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件11关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（）A圆心为非坐标原点的圆B焦点在轴上的双曲线C焦点在轴上的双曲线D长轴长为的椭圆12已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（）ABCD或5题型五：双曲线的标准方程的求法13焦距是1

4、0，虚轴长是8，经过点的双曲线的标准方程是（）ABCD14已知点分别是等轴双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线上，的面积为8，则双曲线的方程为（）ABCD15已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）ABCD【双基达标】一、 单选题16若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）ABCD17双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（）ABC32D4218若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（）A双曲线的一支B圆C抛物线D双曲线19已知，以为一个焦点作过，的椭

5、圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（）ABCD20经过点和的双曲线的标准方程是（）ABCD21求适合下列条件的圆锥曲线方程：(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.22已知圆锥曲线C的方程为(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线与直线有公共点且实轴长最长，求此双曲线的方程【高分突破】一：单选题23已知平面上的定点，及动点，甲：（为常数），乙：点的轨迹是以，为焦点的双曲线，则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件24已知为双曲线的左焦点，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

6、）A28B36C44D4825已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点若，点在线段上，则的周长为（）ABCD26南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线过点，离心率为，则此双曲线的方程为（）ABCD27已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（）ABCD二、多选题28已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A当时，曲线C是椭圆B当或时，曲线C是双曲线C若曲线C

7、是焦点在x轴上的椭圆，则D若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则29已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（）AB直线，的斜率之积等于定值C使得为等腰三角形的点P有且仅有四个D若，则30曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A存在实数使得曲线C的轨迹为圆B存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆C存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值31已知曲线：，则（）A若，则曲线是圆，其半径为B若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上C若曲线过点，则是双曲线D若，则曲线不表示任何图形32已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的

8、直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（）A的最大值为9B若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则C若，则有或13D设，的斜率分别为、，则的最小值为33已知点P是双曲线E：的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（）A点P的横坐标为B的周长为C小于D的内切圆半径为三、填空题34数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题结合上述观点，可得方程 的解为_35设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则_36经过点，的双

9、曲线的方程是_.37已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是_.（填序号）点P到x轴的距离为；为钝角三角形；.38已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_四、解答题39求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)焦点轴上，且过点，.40双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2(1)求双曲线的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积41在平面直角坐标系中，双曲线C的对称轴都是坐标轴，且过点，P到双曲线C两焦点距离的差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的

10、方程；(2)如果双曲线C的焦点在x轴上，直线l经过双曲线C的右焦点，与双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案详解】1D【分析】根据双曲线的定义辨析当和时的轨迹.【详解】A(0,4)，B（0，4），|AB|8，又|PA|PB|2a，当a3时，|PA|PB|68，由双曲线定义可得点P的轨迹为双曲线的上支；当a4时，|PA|PB|8，点P的轨迹为y轴上的以点B为端点的方向向上的射线；故选：D2A【分析】利用双曲线的定义直接求解.【详解】由双曲线可得，.因为，所以点P在双曲线C的左支上，所以，则.故选：A3C【分析】根据双曲线的对称性与双曲线的定义求解【详解】设双由线的右焦点为，连接，因为

11、双由线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得，所以.故选：C.4A【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得【详解】解：如图设与圆的切点分别为、，则有，所以根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为故选：A5C【分析】由可得，可知；利用双曲线的定义可求得，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得双曲线方程.【详解】由题意知：双曲线的焦距为，.，不妨设，由双曲线的定义可得：，由勾股定理可得：，解得：，双曲线方程为.故选：C.6A【分析】由给定条件分析探求出

12、点P所满足的关系，再结合圆锥曲线的定义即可作答.【详解】设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=26=|MN|，则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，所以点P的轨迹方程为.故选：A7D【分析】由双曲线定义得到，且，进而求出，求出的面积.【详解】由双曲线方程知，恰好为圆的直径，所以，如图所示：由双曲线定义知，所以，故选：D.8A【分析】记，根据双曲线定义结合余弦定理可得，再利用三角形面积公式可推得，即可求得答案.【详解】记，在中

13、，由余弦定理得，配方得，即，由任意三角形的面积公式得，而，故选：A.9C【分析】根据双曲线定义得到，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，则由双曲线的定义可得：，所以，故，又，故，故，所以的面积为.故选：C.10B【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，则为或的充分不必要条件，故选：B.11C【分析】根据不同类型的圆锥曲线的标准方程求出的范围即可判断.【详解】对于A若表示圆，则解之得代回原方程得，此方程表示圆心在原点，半径为的圆所以A错误对于B若表示焦点在轴上的双曲线，则此方程组无实数解所以B错误对于C当时，

14、且此时方程表示焦点在轴上的双曲线所以C正确对于D若表示椭圆，则且所以或当时，此时长轴长为当时，此时长轴长为所以D错误故选：C12C【分析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，解得故选：C.13A【解析】根据双曲线的性质，由焦距是10，虚轴长是8分别求出半焦距c和半虚轴b，即可求出半实轴a的值，然后分两种情况写出双曲线的标准方程，又双曲线过点，把点的坐标代入求得的双曲线解析式得到符合题意的标准方程即可.【详解】解：根据题意可知，解得，根据双曲线的性质可得，双曲线标准方程为：或又因为双曲线过点，代入检验得到不合题意，舍去，所以满足题意的双曲线的标准方程为：故

15、选：A.14D【分析】由得，然后由三角形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得得双曲线方程【详解】，是的中点，所以，则，解得，所以双曲线方程为故选：D15C【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.【详解】由题意，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.16B【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.【详解】将代入解得点坐标分别为，因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在轴上且，解得，所以双曲线方程为：.故选：B.17A【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.【详解】根据、为双曲线的两焦

16、点可得，又直线、倾斜角之差为，所以，根据余弦定理可得，整理得，根据点P在双曲线上可得，则，-得，则面积为.故选：A.18A【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，圆与圆的圆心分别为和圆，易得圆和圆的半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件，得，又，动点M的轨迹是双曲线的一支故选：A19A【分析】根据椭圆定义得到，转化为，得到故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程.【详解】由题意得，因为，都在椭圆上，所以，所以，故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，即，所以，因此的轨迹方程是故选：A20B【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求

17、出答案.【详解】设双曲线的方程为，则解得故双曲线的标准方程为故选：B21(1)；(2).【分析】（1）由已知得，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.（1）根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且，所以，所以椭圆方程为.（2）根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线方程为.22(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据椭圆与双曲线的性质即可求解；（2）根据直线与双曲线的交点个数分两类讨论，可求出的范围，从而得出实轴取最大值时的值.（1）当且仅当时，方程表示椭圆；当且仅当时，方程表示双曲线（2

18、）联立得：当即时，公共点的坐标为，符合题意；当 解得或由得k的取值范围为:实轴长，所以，当且仅当k6时，等号成立因此当k6时，双曲线实轴长最长，此时双曲线的方程为23B【分析】根据双曲线的定义直接判断即可.【详解】根据双曲线的定义，只有当时，点的轨迹才是双曲线，所以乙甲，但甲乙，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B24C【分析】根据双曲线的定义求解即可.【详解】如图所示：双曲线的左焦点为，点是双曲线的右焦点，又，虚轴长为2b8，+得，的周长故选：C25C【分析】根据已知条件得出焦点坐标，并作出图形，利用双曲线的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由题意可知，所以，解得，所以双曲线的左焦点，

19、所以点是双曲线的右焦点作出双曲线，如图所示由双曲线的定义，知，由，得，又，所以的周长为故选：C.26A【分析】由题意可得，解方程即可求出，即可求出答案.【详解】由题意可得，所以双曲线的方程为故选：A27D【分析】由已知可得，设，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，计算可求最小值【详解】由双曲线知渐近线方程为，又双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线方程为，设，又弦的中点为，设，解得，解得，所以双曲线的方程为，由圆的方程可得，圆心为，半径为，当且仅当，三点共线时取等号故选：D28BC【分析】根据表示椭圆可求得或，判断A; 表示双曲线可求得或，判断B;根据表示椭圆时焦点的位置可列出相应的

20、不等式组，求得参数范围，判断C,D.【详解】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；当曲线C是双曲线时，解得或，故B正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误故选:BC29BD【分析】由双曲线的定义，可判定A错误；由，结合双曲线的方程，得到，所以B正确；结合双曲线的几何性质，可判定C错误；结合，得到，可判定D正确【详解】由题意，点是双曲线上异于的任意一点，设，对于A中，由双曲线的定义知，所以A错误；对于B中，由，可得，又由，所以，可得，所以B正确；对于C中，若P在第一象限，则当时，为等腰三角形；当时，也为等腰三角形，故点P在第一象限且使得

21、为等腰三角形的点P有两个同理可得，在第二、三、四象限且使得为等腰三角形的点P也各有两个，因此使得为等腰三角形的点P共有八个，所以C错误对于D中，由，得，从而，所以D正确故选：BD30BCD【分析】对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；当时，表示双曲线，此时双曲线的，所

22、以曲线C的焦距为定值；故D正确，故选：BCD.31BC【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A; 对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B; 对于C，将点，代入曲线：，求得曲线方程，判断C; 对于D，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，代入曲线：，有，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：BC.32BD【分析】求得的最大值判断选项A；求得判断选项B；求得的值判断选项C；求得的最小值判断选项D.【详解】

23、双曲线中、，焦距，实轴长不妨设，选项A：则，又，则由，可知，即，则的最大值为16.判断错误；选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有则，解之得，则，则则.判断正确；选项C：若，由，可得或（因为，舍去）.判断错误；选项D：由，可得即，则故，（当且仅当时等号成立）即的最小值为.判断正确.故选：BD33ABC【分析】由双曲线方程可得双曲线的c，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得的范围，利用双曲线的定义，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r【详解】因为双曲线，所以，又因为，所以,将其代入得，即，所以选项A正确；所以P的坐标为，由对称性可知

24、，由双曲线定义可知所以的周长为:，所以选项B正确；可得，则，则，所以选项C正确；因为的周长为，所以，所以，所以选项D不正确故选：ABC.34【分析】根据题意说明表示的平面内一点与两定点 距离之差的绝对值为6，求得该点所在的曲线方程，即双曲线方程，继而求得答案.【详解】由，可得 ，其几何意义为平面内一点与两定点 距离之差的绝对值为6，平面内与两定点距离之差的绝对值为6的点的轨迹是双曲线，设该双曲线的方程为 ，则得，所以该双曲线的方程是，令 ，解得 ，故答案为：350【分析】先由双曲线的定义结合已知求得，进而可求出.【详解】由题意得，联立，因此，则故答案为：0.36【分析】把两点代入双曲线方程中，

25、即可利用待定系数法进行求解.【详解】设双曲线的方程为，因为P、Q两点在双曲线上，所以解得所以所求双曲线的标准方程为.故答案为：37【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】由已知因为点P在双曲线上，、是双曲线C的左、右焦点，的面积为20，所以，所以，.对于，点P到x轴的距离为4，故错误.对于，由对称性，不妨设.因为，所以，即正确.对于，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，结合，解得，.所以在中，由余弦定理得，所以为钝角，所以正确.对于，由对称性，不妨设，由的判断过程知，则，所以，所以，所以错误.故答

26、案为：38【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点的轨迹方程.【详解】延长，交于，因为，所以，所以，所以，因为M是双曲线C右支上一点，所以，又因为P是的中点，O是的中点，所以，所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，所以点P的轨迹方程为故答案为：.39(1)；(2)【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解；(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将代入，得又点在双曲线上，有，由此得，不合题意，舍去当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，a=4，故，把点坐标

27、代入，得，解得故所求双曲线方程为（2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入，得，解得所求方程为40(1)(2)【分析】（1）由题意可得，求出，从而可求出双曲线的方程，（2）由已知结合双曲线的定义可求出，然后利用余弦定理求出，再利用同角三角函数的关系求出，从而可求出的面积(1)由题意得，得，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的方程为，(2)由（1）可得，所以，不妨设点在双曲线的右支上，则，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为41(1)或(2)或或【分析】（1）分焦点在x轴与y轴两种情况，根据双曲线定义及过的点的坐标进行求解；（2）在第一问的基础上，确定双曲线方程，分直线斜率不存在和存在两种情况,由弦长公式求出答案.(1)因为双曲线C的对称轴都是坐标轴，则C的对称中心是坐标原点.所以C的方程为标准方程.因为C过点，P到C两焦点距离的差的绝对值等于2，若C的焦点在x轴上，设，所以解得所以双曲线C的方程为.若C的焦点在y轴上，设，所以解得所以双曲线C的方程为.故C的方程为或(2)由（1）知C的方程为.所以C的右焦点为.若直线l的斜率不存在，则其方程为，代入C方程得l与C交点坐标为，则弦长为6，符合题意.若直线l的斜率存在，设，联立消去y得.所以，设，则，所以.解得，满足.所以直线l的方程为，或.综上：直线l的方程为，或，或.