3.4.3 求角的大小 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册.docx

1、学生版第 3 章 空间向量及其应用3.4 空间向量在立体几何中的应用3.4.3 求角的大小本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大

2、威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角；（重点、难点）2、二面角的求法；3、空间三种角的范围；（易错点）1、逻辑推理：借助空间角的求解；2、数学运算：求平面的法向量；【自主学习】问题导学：预习教材P11

3、1P113的内容，思考以下问题：1、空间三种角的定义及其范围；2、空间三种角的向量求法；【知识梳理】1、用空间向量求夹角问题分类图示计算公式夹角异面直线所成的角（其中为异面直线的方向向量）直线与平面所成的角（其中为直线的方向向量，为平面的法向量）两个平面的夹角（其中为两平面的法向量）【思考】1、直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？【提示】 设为平面的一个法向量，为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则2、二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？条件平面，的法向量分别为，所构成的二面角的大小为，图形关系计算cos cos cos cos 【

4、自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等；（ ）直线l与平面的法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角；（ ）二面角的大小为，平面，的法向量分别为，则；（ ）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于30；（ ）二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小；（ ）【提示】；【答案】；【解析】；【说明】本题主要考查了空间角的概念、范围与向量所成角的联系与区别；2、若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于()A30 B150 C30或150

5、D以上均错3、若平面的一个法向量(4，1，1)，直线l的方向向量(2，3，3)，则l与夹角的余弦值为 4、已知平面的一个法向量为 (2，2，x)，平面的一个法向量为(2，x，2)且平面，的夹角为60，则x_【题型探究】题型一、利用空间向量法求异面直线的夹角例1、如图所示，已知正四棱锥PABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求：异面直线AE与BF所成角的余弦值；【提示】；【解析】【说明】1、几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向

6、量进行运算即可；2、由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意；题型二、利用空间向量法求直线与平面所成的角例2、已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别是PB，BC的中点（1）证明：CMSN；（2）求SN与平面CMN所成的角的大小【提示】【解析】【说明】若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：1、建系：依据题设的几何条件适当建立空间直角坐标系；2、确定向量：（1）找直线的一个方向向量；（2）找平面的一个法向量；3、计算夹角：，由的范围确定的大小；题型三、利用空间向量法求二

7、面角例3、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【提示】【解析】【说明】利用向量法求二面角的步骤1、建立空间直角坐标系；2、分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；3、求两个法向量的夹角；4、判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；5、确定二面角的大小；题型四、空间向量在涉及角方面的综合应用例4、如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点（1）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；（2）当AB3，AD2时

8、，求二面角EAGC的大小【素养提升】向量法求角1、两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos |.2、直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos |或cos sin .3、二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）A BCD2、已知向量，分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cos，则l与所成的角为（ ）A30B60 C15

9、0D1203、若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_4、长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为_5、已知二面角l，的法向量为(1,2，1)，的法向量为(1，3,1)，若二面角l为锐角，则其余弦值为_B级：“四能”提升训练6、正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（ ）A B CD7、已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_8、直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点

10、，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 9、如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，求异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值；10、如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（1）证明：O1O底面ABCD；（2）若CBA60，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值【教师版】第 3 章 空间向量及其应用3.4 空间向量在立体几何中的应用3.4.3 求角的大小本章将要学习的空间向量是从几何直观角度讲述

11、向量的最高境界；空间向量知识是平面向量知识的延伸与拓展，从概念理解到问题解决，或可直接化归到平面向量，或可对平面向量的理论进行类比与提升； 因此，本章的学习，特别要帮助学生在复习平面向量的基础上，理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量理论上的一脉相承，掌握它们的共性和差异；特别注意，向量理论“可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理”；在“平面向量”一章，由于只能处理平面上的问题，学生对向量这一化几何问题为代数问题的神奇功能和强大威力可能体会还不深刻；本章中，向量将为处理立体几何问题展现新视角，把许多三维空间中的逻辑推理和度量问题归结到向量的计算，使向量方法成

12、为研究几何问题的有效工具；因此，本章学习的另一个要求是，使学生能运用空间向量方法研究空间基本图形的位置关系和度量问题，体会向量方法和纯几何方法在研究立体几何问题中的共性与差异，进一步发展空间想象能力和几何直观能力；【学习目标】学习目标学科素养1、理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角；（重点、难点）2、二面角的求法；3、空间三种角的范围；（易错点）1、逻辑推理：借助空间角的求解；2、数学运算：求平面的法向量；【自主学习】问题导学：预习教材P111P113的内容，思考以下问题：1、空间三种角的定义及其范围；2、空间三种角的向量求法；【知识梳理】1、用空间向量求夹角问题分类图示

13、计算公式夹角异面直线所成的角（其中为异面直线的方向向量）直线与平面所成的角（其中为直线的方向向量，为平面的法向量）两个平面的夹角（其中为两平面的法向量）【思考】1、直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？【提示】 设为平面的一个法向量，为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则2、二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？条件平面，的法向量分别为，所构成的二面角的大小为，图形关系计算cos cos cos cos 【自我尝试】1、判断下列命题的真假（正确的打“”，错误的打“”）两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等；（ ）直线l与平面的

14、法向量的夹角的余角就是直线l与平面所成的角；（ ）二面角的大小为，平面，的法向量分别为，则；（ ）若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于30；（ ）二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小；（ ）【提示】注意理解空间角的概念、范围与向量所成角的概念与范围；【答案】 ；【解析】对于，两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角或补角，所以，是假命题；对于，直线l与平面的法向量的夹角或余角就是直线l与平面所成的角，所以，是假命题；对于，或，所以，是假命题；对于，当直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为150时，直线l与平面所成的角为60，所以，是假命题

15、；对于，二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相等或互补，所以，是假命题；【说明】本题主要考查了空间角的概念、范围与向量所成角的联系与区别；2、若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线的夹角等于()A30 B150 C30或150 D以上均错【答案】A；【解析】直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，l1与l2这两条异面直线的夹角等于18015030，选A；3、若平面的一个法向量(4，1，1)，直线l的方向向量(2，3，3)，则l与夹角的余弦值为 【答案】【解析】cos，l与夹角的余弦为sin，.4、已知平面的一个法向量为 (2，2，x)

16、，平面的一个法向量为(2，x，2)且平面，的夹角为60，则x_【答案】0；【解析】由两平面夹角为60，故它们法向量的夹角为60或120，x0；【题型探究】题型一、利用空间向量法求异面直线的夹角例1、如图所示，已知正四棱锥PABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求：异面直线AE与BF所成角的余弦值；【提示】注意适当建立空间直角坐标系，构建与空间向量的联系；【解析】如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系由已知得A，B，E，F，所以，所以cos，.所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为；【说明】1、几何法求异面直线的夹

17、角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可；2、由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意；题型二、利用空间向量法求直线与平面所成的角例2、已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别是PB，BC的中点（1）证明：CMSN；（2）求SN与平面CMN所成的角的大小【提示】建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算，的数量积，证明(1)；求出平面CMN

18、的法向量，求线面角的余弦，求得线面角【解析】如图，设PA1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.（1）证明：，因为00，所以CMSN.（2），设(x，y，z)为平面CMN的一个法向量由0，0，得令x2，得(2,1，2)，|cos，|，SN与平面CMN所成角为45.【说明】若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：1、建系：依据题设的几何条件适当建立空间直角坐标系；2、确定向量：（1）找直线的一个方向向量；（2）找平面的一个法向量；3、计算夹角：，由的范围确定的大小；题型三、利用空间向量法

19、求二面角例3、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值【提示】（1）先证线面垂直，再证面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解【解析】（1）证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APDPP，所以AB平面PAD.因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面PAD内作PFAD，垂足为点F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直

20、角坐标系Fxyz.由（1）及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)设(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取(0，1，)设(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取(1,0,1)，则 .所以二面角APBC的余弦值为；【说明】利用向量法求二面角的步骤1、建立空间直角坐标系；2、分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；3、求两个法向量的夹角；4、判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；5、确定二面角的大小；题型四、空间向量在涉及角方面的综合应用例4、如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得

21、到的，G是的中点（1）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；（2）当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小【提示】注意理解题设，明确几何条件与空间向量的关联与自觉应用；【解析】（1）因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30；（2）以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系；由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可

22、得取z12，可得平面AEG的一个法向量(3，2)设(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量(3，2)所以；故所求的角为60；【素养提升】向量法求角1、两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos |.2、直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos |或cos sin .3、二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角【即时练习】A级：“四基”巩固训练1、已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则

23、AE，SD所成的角的余弦值为（ ）A BCD【答案】C；【解析】依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为，则A(0，1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(1,0,0)，E点坐标为，(1,0，1)，cos，故异面直线所成角的余弦值为.故选C；2、已知向量，分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cos，则l与所成的角为（ ）A30B60 C150D120【答案】B；【解析】设l与所成的角为，则sin |cos，|，60，应选B；3、若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_【答案】30；【解析】由题意得，直线l与平面的法向量所在直线的夹

24、角为60，直线l与平面所成的角为906030；4、长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为_【答案】；【解析】如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)(1,1,0)，(0,1,3)，cos，.综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为；5、已知二面角l，的法向量为(1,2，1)，的法向量为(1，3,1)，若二面角l为锐角，则其余弦值为_【答案】；【解析】.又因二面角为锐角，所以余弦值为；B级：“四能”提升训练6、正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（

25、 ）A B CD【答案】B；【解析】设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，设平面ACD的法向量为(x，y，z)，令x1，(1,1,1)，又(0,0,1)，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为；7、已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_【答案】【解析】(1,2,0)，(1,0,3)，设平面ABC的一个法向量(x，y，z)，由n0，n0，得令x2，则y1，z，.平面xOy的一个法向量为(0,

26、0,3)，cos，；8、直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为 【提示】建立空间直角坐标系，表示出，的坐标，利用向量法求解；【答案】；【解析】以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，(1,0，2)，(1，1，2)，cos，.9、如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，求异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值；【提示】以A

27、为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量，的坐标，建立函数关系式讨论最值【答案】【解析】以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0y2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2，1,0)，(1，y,2)，|，(2,1,0)，|，cos .令t2y，要使cos 最大，显然0t2.cos .当且仅当t2，即点M与点Q重合时，cos 取得最大值；10、如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形（1）证明：O

28、1O底面ABCD；（2）若CBA60，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值【提示】（1）先证明CC1AC，CC1BD，再证明O1OC1C，故O1O底面ABCD.（2）以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建系，分别求平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，. 代入公式cos |cosn1，|，求解即可【解析】（1）因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1AC，同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD，而ACBDO，且AC底面ABCD，BD底面ABCD，因此CC1底面ABCD，由题意知，O1OC1C，故O1O底面ABCD；（2）因为四棱柱ABCD

29、A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD，又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.不妨设AB2.因为CBA60，所以OB，OC1.于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)易知，(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量设(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则即取z，则x2，y2，所以(2，2，)设平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角为，易知是锐角，于是cos |cos，|.故平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值为.