4.2.3 等差数列的前n项和（解析版）.docx

1、4.2.3 等差数列的前n项和一、等差数列的前n项和公式1、等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式2、等差数列前n项和公式的推导对于公差为d的等差数列， 由得n个，由此得等差数列前n项和公式，代入通项公式得.二、等差数列的前n项和常用的性质1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，组成公差为的等差数列；2、数列是等差数列(a，b为常数)数列为等差数列，公差为；3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；当项数为偶数时，；当项数为奇数时，.4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则三、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和

2、公式，整理成关于n的函数可得.当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点四、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略1、将配方，若，则从二次函数的角度看：当时，Sn有最小值；当时，有最大值当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值2、邻项变号法：当，时，满足的项数n使取最大值；当，时，满足的项数n使取最小值。题型一 等差数列前n项和及基本量计算【例1】记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则（ ）A1 B2 C4 D8【答案】C【解析】由，得故选：C【变式1-1

3、】设是等差数列的前n项和为，若，则_【答案】2【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故答案为：2【变式1-2】设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为（ ）A B C D【答案】A【解析】设这个等差数列的公差为，首项为，则，解得：.故选：A【变式1-3】在等差数列中，公差，则等于（ ）A或3 B或7 C3或5 D5或7【答案】A【解析】因为在等差数列中，公差，所以，解得或，故选：A【变式1-4】已知在等差数列中，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为是等差数列，所以，解得，则，构成首项为，公差为9的等差数列，则.故选：A【变式1-5】已知等差数列

4、的前项和为，求项数的值【答案】【解析】，又，解得：，解得：.题型二 由等差数列的前n项和判断等差数列【例2】已知数列的前n项和公式为，则数列（ ）A是公差为2的等差数列 B是公比为2的等比数列C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列又不是等比数列【答案】A【解析】当时，当时，也符合上式，所以的通项公式为，故为首项是，公差为的等差数列，不是等比数列.故选：A【变式2-1】已知一个数列的前项和（1）当时，求证：该数列是等差数列；（2）若数列是等差数列，求满足条件【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）当时，令，所以时，所以，此时，所以，所以，可得数列是公差为的等差数列.（2），令，得，所

5、以时，所以，所以，可得时，数列是公差为的等差数列，若数列是等差数列，则，所以【变式2-2】（多选）已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（ ）A若数列为等差数列，则数列为等差数列B若数列为等差数列，则数列为等差数列C若数列和均为等差数列，则D若数列和均为等差数列，则数列是常数数列【答案】BCD【解析】对于A中，若数列为等差数列，可得，因为首项不确定，所以数列为不一定是等差数列，所以A不正确；对于B中，若数列为等差数列，设公差为，则，可得，当时，；当时，则，由，则，所以，所以数列为等差数列，所以B正确；对于C中，由数列为等差数列，可得，则，可得，则常数，所以，即，所以，所以，且，所以，所以C正确

6、；对于D中，由数列为等差数列，可得，则，可得，因为为等差数列，所以为常数，所以，所以，所以数列是常数数列，所以D正确.故选：BCD.【变式2-3】已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A数列是等差数列 B对任意的自然数都有C是等差数列 D是等差数列【答案】D【解析】当时，；当时，不满足上式所以，故A、B错误；因为；，所以；，因为，故C错误；对D，因为，而当时，故，所以D正确故选：D题型三 等差数列前n项和与中项性质【例3】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A10 B20 C120 D110【答案】C【解析】，则.故选：C【变式3-1】已知等差数列的前项和为，若，则（

7、 ）A B C D【答案】D【解析】根据等差数列公式及性质可得，所以，所以.故选：D【变式3-2】已知在等差数列中，则项数为A B C D【答案】D【解析】由等差数列的性质可得S918，解得a52，故a5+an432，而Sn16n240，解得n15故选D【变式3-3】若数列是等差数列，首项，则使前项和成立的最大自然数是（ ）A4040 B4041 C4042 D4043【答案】A【解析】，和异号，又数列是等差数列，首项，是递减的数列，满足的最大自然数为4040故选：A【变式3-4】已知等差数列的前n项和为，且，则满足的正整数n的最大值为（ ）A11 B12 C21 D22【答案】C【解析】因为

8、，所以所以故，所以满足的正整数的最大值为21故选：C题型四 等差数列片段和的性质【例4】已知等差数列的前n项和为，若，则_【答案】【解析】由题设成等差数列，所以，则，所以.故答案为：【变式4-1】在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）A B C D【答案】D【解析】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故，即，故，故故选：D【变式4-2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A8 B12 C14 D20【答案】D【解析】等差数列的前n项和为，则，构成首项为2，公差为2的等差数列则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20故选：D【变式4-3】已知数列是等差数

9、列，为数列的前项和，则（ ）A10 B15 C20 D40【答案】C【解析】数列是等差数列，为数列的前项和， 根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，记，设，计算可得到结果为：20.故选：C.【变式4-4】已知等差数列满足，则（ ）A B C D【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，即，解得.又，解得.所以，故选：B题型五 等差数列前n项和与n的比值【例5】设为等差数列的前项的和，则数列的前2017项和为（ ）A B C D【答案】A【解析】设公差为，由故，所以，所以，所以 所以数列的前2017项和为 .【变式5-1】等差数列中，前项和为，若，则_.【答案】【解析】设的公差为，由等差数列的性

10、质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为，则故答案为：【变式5-2】在等差数列中，其前项和为，若，则的值等于( )A B C D【答案】C【解析】因为所以，所以数列 是等差数列，数列的公差是，首项为2016所以 ， 故选：C.【变式5-3】已知等差数列的前项和为，则_.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，所以，数列为等差数列，且公差为，所以，故，所以，.故答案为：.【变式5-4】（多选）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（ ）A数列是公差为的等差数列B数列是公差为的等差数列C数列是公差为的等差数列D数列是公差为的等差数列【答案】AC【解析】由已知可得，对于AB选项，所以，数列

11、是公差为的等差数列，A对B错；对于C选项，所以，数列是公差为的等差数列，C对；对于D选项，所以，数列是公差为的等差数列，D错.故选：AC.题型六 两个等差数列前n项和的比值【例6】设等差数列，的前n项和分别是，若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】因为等差数列，的前n项和分别是，所以，故选：B【变式6-1】设是等差数列的前n项和，若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】在等差数列中，由，得，故选：B【变式6-2】已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】设等差数列的公差分别为和 ,即,即 ,即 由解得，故选：C【变式6-3】若等差数列

12、和的前项的和分别是和，且，则（ ）A B C D【答案】C【解析】因为和是等差数列，故故选:C【变式6-4】两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）A B C D【答案】A【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且，所以.故选：A【变式6-5】已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】依题意，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B题型

13、七 等差数列的奇数项与偶数项和【例7】在等差数列an中，S10120，且在这10项中，则公差d_.【答案】2【解析】由,得,所以5d10，所以d2.故答案为：2.【变式7-1】等差数列中，前m项（m为奇数）和为7，其中偶数项之和为3，且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】设等差数列的公差为，解得，所以，即，解得故答案为：【变式7-2】已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）A B C D【答案】B【解析】设等差数列共有项，则，中间项为，故，故选：B.【变式7-3】已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，则公差的值为（ ）A B

14、 C D【答案】A【解析】由题意，所以，所以，.故选：A.【变式7-4】已知数列的前项和为，若，则（ ）A B C D【答案】B【解析】数列的前项和为，若，可得：，所以不正确；可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，所以正确；，所以不正确；，所以不正确；故选：B【变式7-5】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为_【答案】29【解析】因为为奇数，所以，解得所以，所以故所求的中间项为29故答案为：29题型八 含绝对值的等差数列前n项和【例8】等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（

15、2）【解析】（1）由题意得：，解得，；（2），当时，；时，；当时，；当时，；即，综上所述：.【变式8-1】已知等差数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，.（2）由（1）得：，；令，解得：；当，时，；当，时，；.【变式8-2】已知数列中，（，），数列满足（1）证明是等差数列，并求的通项公式；（2）求；（3）求数列中的最大项和最小项，并说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）时，=；时（3），；理由见解析【解析】（1）证明：，又，数列是为首项，1为公差的等差数列（2）记的前n项和为，则由，得，即时，；时，时，=时=

16、（3）由，得又函数在和上均是单调递减由函数的图象，可得：，【变式8-3】若函数，其中n是正整数，则的最小值是_【答案】100【解析】易知，要使取得最小值，正整数n必然在区间上，则，或时有最小值100故答案为：100题型九 等差数列前n项和的最值问题【例9】记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（ ）A12 B12或11 C11或10 D10【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以数列满足：当时，；当时，；当时，所以取得最大值时，的取值为11或12.【变式9-1】已知等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）A B52 C54 D55【答案】D【解析】设

17、等差数列的公差为，则，解得，故.又函数的对称轴为直线，而，故当时，取得最大值.故选：D.【变式9-2】已知等差数列中，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】由等差数列的公差，知，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.故选：B【变式9-3】若等差数列满足，则的最大值为_【答案】【解析】数列是等差数列，设公差为，因为，所以，因为，所以，所以，所以因为，所以，所以，所以，因为方程有解，所以，所以，则的最大值为故答案为：.【变式9-4】设是等差数列的前项和，当取得最小值时，（ ）A1 B4 C7 D8【答案】D【解析】设数列的公差为，由已知得，解得，由于，即时

18、，时，所以时，递减，时，递增，其中，由的表达式得，所时，最小故选：D题型十 等差数列前n项和的实际应用【例10】某技校毕业生小张到某工厂实习，第一天加工某零件20件，随着对加工流程的熟悉，从第二天开始，每一天比前一天多加工1件零件，若小张在实习期间至少需要加工的零件为220件，则小张在该工厂实习的天数至少是（ ）A7 B8 C9 D10【答案】D【解析】设小张第n天加工的零件数为，则数列是以20为首项，1为公差的等差数列，则，故小张n天一共加工的零件数为，当n9时，当n10时，故，所以小张在该工厂实习的天数至少是天.故选：D.【变式10-1】“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流

19、行一时，广泛应用于各种商业场合“苏州码子”09的写法如下：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9为了防止混淆，有时要将“”“”“”横过来写已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在点处里程碑上刻着“”，在点处里程碑上刻着“”，则从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为（ ）A1560 B1890 C1925 D1340【答案】B【解析】根据题意知，点处里程碑上刻着数字34，点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从点到点的所有里程碑个数为，从点到点的所有里程碑上所刻数字之和为，故选：B【变式10-2】广丰永和塔的前身为南潭古塔，建于

20、明万历年间，清道光二十五年（1845）重修.砖石结构，塔高九层，沿塔内石阶可层层攀登而上.塔身立于悬崖陡坡上，下临丰溪河，气势峭拔.上个世界九十年代末，此塔重修，并更名为“永和塔”.每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境.某游客从塔底层（一层）进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，问这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需几步？（ ）A352 B387 C332 D368【答案】C【解析】设从第层到第层所走的台阶数为，绕第层一周所走

21、的步数为，由已知可得，所以数列为首项为，公差为的等差数列，故，数列为公差为的等差数列，故，设数列，的前项和分别为，所以，这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周止共需332步，故选：C.【变式10-3】2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（ ）A4.5寸 B3.5寸 C2.5寸 D1.5寸【答案】B【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列，由题意得：，则，则，所以公差为，所以，故选：B