6.2.2排列数教学设计【新教材 新思维高中数学】-2021-2022学年上学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）.docx

1、6.2.2 排列数一、教材分析本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习排列与排列数。排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是排列的理解，利用计数原理推导排列数公式，难点是运用排列解决实际问题。二、教学目标课程目标学科素养A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的

2、排列应用题.1.数学抽象：排列的概念 2.逻辑推理：排列数的性质 3.数学运算：运用排列数解决计数问题4.数学建模：将计数问题转化为排列问题三、教学重难点重点：理解排列的定义及排列数的计算 难点：运用排列解决计算问题 四、教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,

3、只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复一、排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示.2.排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!,这里m,nN*,并且mn.3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的

4、一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有Ann=n(n-1)(n-2)321.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成Ann=n!.另外,我们规定,0!=1.问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.例3. 计算：（1）A

5、73；2A74；3A77A44；4A64A22.解：根据排列数公式，可得（1）A73 =765=210；（2）A74 =7654=840；（3）A77A44 =7!4!=765=210；（4）A64A22=654321=720.由例3可以看出，A77A44 =7!4!；A64A22=6！=A66，即A64=A66A22 =6!2!；观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？事实上，Anm=nn-1n-2n-m+1=nn-1n-2n-m+1n-m21n-m21=AnmAn-mn-m=n!n-m!即Anm=n!n-m!例4.用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在09这10

6、个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字可以从19这9个数字中取出1个，有A91种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有A92种取法； 如图根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A91A92 =998=648.解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从19这9个数字中取出3个，有A93种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的

7、9个数中取出2个放在百位和十位，有A92种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有A92种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为A93+A92+A92=987+98+98=648.解法3：从09这10个数字中选取3个的排列数为A103，其中0在百位上的排列数为A92，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为A103-A92=1098-98=648.1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.2.元素分析法最基本,位

8、置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.跟踪训练 有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?解:(方法一分类法)分两类:第1类,化学被选上,有A31A53种不同的安排方法;第2类,化学不被选上,有A54种不同的安排方法.故共有A31A53+A54=300(种)不同的安排方法.(方法二分步法)第1步,第四节有A51种排法;第2步,其余三节有A53种排法,故共有A51A53=300(种)不同的安排方法.(方法三间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有A64种排法,而化学排第四节,有A53种排法,故共有A64-A53=300(种)不同的安排方法.通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。通过具体问题，分析、比较、归纳出对排列的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉排列和排列数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、小结四、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。