6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示(透课堂)-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)6.3.1&6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示【知识导学】知识点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.知识点二：平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.考点三 平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分

2、别为i，j，取i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y).，在直角坐标平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量(x2x1，

3、y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.【考题透析】透析题组一：基底的概念问题1（2021全国高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）A与B与C与D与2（2021河北省临西县实验中学高一阶段练习）设是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）A和B和C和D和3（2021浙江浙江高一期末）设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）A和B和C和D和透析题组二：基底表示向量问题4（2022内蒙古阿拉善盟第一中学高一期末）如图，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中

4、点，则（ ）ABCD5（2021全国高一课时练习）如图所示，等腰梯形中，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）ABCD6（2021广东高州高一期末）如图，四边形中，则（ ）ABCD透析题组三：平面向量基本定理7（2021浙江宁波市北仑中学高一期中）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（ ）A不可以表示平面内的所有向量；B对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对；C若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使；D若存在实数使，则.8（2021福建泉州科技中学高一阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，则

5、的最小值为（ ）A2BCD9（2021浙江金乡卫城中学高一阶段练习）在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，则（ ）ABCD透析题组四：平面向量的正交分解和坐标表示10（2021重庆实验外国语学校高一期中）设、是平面直角坐标系内分别与轴、轴正方向相同的两个单位向量，为坐标原点，若，则的坐标是（ ）ABCD11（2021全国高一课时练习）已知，则等于（ ）A(2，2)B(2，2)C(2，2)D(2，2)12（2021上海高一单元测试）已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，则（ ）ABCD透析题组五：由向量线性（坐标）运算结果求参数13（2021全国高一课时练习）已知在直角梯

6、形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P满足=2，则=（ ）A-B-1C-2D-214（2020全国高一课时练习）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（ ）.ABCD15（2021全国高一单元测试）已知，两直角边，是内一点，且，设，则ABC3D透析题型六：由向量线性（坐标）运算解决几何问题16（2021天津南开中学高一期末）如图，在矩形中，为上一点，若，则的值为（ ）ABCD117（2021江苏吴江市高级中学高一阶段练习）在矩形中，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）A48B49C50D5118（2021重庆垫江第五中学校高一阶段练

7、习）在中，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）ABCD透析题型七：由向量（坐标）线性运算解决最值和范围问题19（2021浙江温州高一期末）已知平面向量，（与不共线），满足，设，则的取值范围为（ ）ABCD20（2021湖南高一期中）已知的边的中点为D，点G为的中点，内一点P（P点不在边界上）满足，则的取值范围是（ ）ABCD21（2021广东珠海市实验中学高一阶段练习）在中，点，为所在平面内的一点，且满足，若，则的最大值为（ ）ABCD【考点同练】一、单选题22（2021全国高一课时练习）如图所示，在中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）ABCD23（2021全国

8、高一课时练习）已知，则（ ）ABCD24（2021全国高一单元测试）如果点按向量平移后得到点，则点按向量平移后得到点N的坐标为（ ）ABCD25（2022辽宁高一期末）如图，在中，若，则（ ）ABCD26（2021全国高一课时练习）已知向量=(1,0)，=(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得=(x,y)；若x1，x2，y1，y2R，=(x1,y1)(x2,y2)，则x1x2且y1y2；若x，yR，=(x,y)，且，则的始点是原点O；若x，yR，且的终点坐标是(x,y)，则=(x,y)其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D427（2021安徽

9、宣城市励志中学高一阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，E为AD上一点，若，则的值为（ ）ABCD1二、填空题28（2021全国高一单元测试）已知点，点P是直线AB上一点，且满足，则点P的坐标是_.29（2021全国高一课时练习）设点A（1，3），若，则mn的值为_30（2021四川宁南中学高一阶段练习（文）如图，在平行四边形中，设，为边的中点，则_（用与表示) 31（2021上海高一课时练习）已知点G为ABC的重心，过G作直线与

10、AB、AC两边分别交于M、N两点，且x，y，求的值为_【答案精讲】1D【解析】【分析】根据基底不共线原则判断即可.【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底，故对于A选项，共线，不满足；对于B选项，共线，不满足；对于C选项，共线，不满足；对于D选项，与不共线，故满足.故选：D.2C【解析】【分析】利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可【详解】对A，B，D，令，均无法找到一个实数使得等式成立，故均不共线，可作为基底；对C，所以两个向量共线，所以不能当成基底，故选：C.3D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知，只有不共线的两个向量才能做基底，即可求

11、解【详解】解：由题意可知，是不共线的两个向量，可以判断选项，都可以做基底，选项，故选项不能做基底故选：4B【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】由题可得：故选：B5A【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】，故选：A.6A【解析】【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用，表示.【详解】，故选：A.7D【解析】【分析】根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量+与2+2均为零向量或者2+2为零向量的特殊情况，可以判定C.【详解】由平面向量基本定理可知，A错误，D正确；对于B：由平面向量基本定理可知，若一

12、个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故B错误；对于C：当两个向量均为零向量时，即1=2=1=2=0时，这样的有无数个，或当1+1为非零向量，而2+2为零向量(2=2=0)，此时不存在，故C错误；故选：D.8A【解析】【分析】利用重心性质及，共线得到，的关系式，再构造重要不等式，求出最小值【详解】为的重心，又在线段上，故选：9D【解析】【分析】根据M，H，N共线，设，再根据，以，为基底表示，再根据是的中点，是的中点，以，为基底表示，然后利用向量相等求解.【详解】因为M，H，N共线，所以设，因为，所以，则，又因为是的中点，是的中点，所以，则，即，解得，即，故选：

13、D10B【解析】【分析】写出、的坐标，利用平面向量线性运算的坐标表示可求得结果.【详解】由已知条件可得，因此，.故选：B.11D【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，而，所以有，故选：D12B【解析】【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.13B【解析】【分

14、析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据=2，求得点P的坐标，从而可求得的坐标，即可得出答案.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，因为ADBC，ABC=90，AB=BC=2，AD=1，所以B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，D(1，2)，所以=(0，2)，=(2，0)，因为=2，所以2=(0，2)+(2，0)=(2，2)，故=(1，1)，故P(1，1)，=(0，1)，=(1，-1)，所以.故选：B.14C【解析】【分析】由及，将由三点共线可求m的值，再用、表示，进而求即可【详解】，即且，又C、P、D共线，有，即即，而=故选：C【点睛】本题考查了由向量的几何应用求向量的数量积，首先应用

15、定比分点结合向量的加法法则求参数值，由向量加法的几何意义用已知向量表示目标向量，最后求向量的数量积15A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分别写出、点坐标，由于，设点坐标为，由平面向量坐标表示，可求出和【详解】解：如图以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点坐标为，点坐标为，设点坐标为，则故选：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题16D【解析】【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由则有：因为E为上一点，可设所以.因为，所以，即，解得：，所以.由得：，解得：，所以.故

16、选：D17B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，设，因为，所以，.因为，所以，所以.当且仅当，即，时取等号.故选: B.18D【解析】【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，设点为，直线的方程为，联立，解得，此时最大，故选：【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，

17、属于中档题19A【解析】【分析】设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，得，再由得，设，求出范围可得答案【详解】设，则，所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，则，因为，所以，因为，所以，所以，两式相加得，所以，因为，所以设，所以，因为不共线，所以不共线，所以，所以，所以，故选：A.20A【解析】【分析】先以为x轴，D为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得，结合题意知，即解得结果.【详解】以为x轴，D为原点建立如图坐标系设，则，由，有，故，点P在内，即，解得.故选：A21A【

18、解析】根据题意，建立平面直角坐标系，由，根据向量坐标运算求出的坐标，设，由，得出点满足，根据圆的参数方程，可设点，根据，得出，最后利用化一公式和三角函数求最值，即可得出的最大值.【详解】解：由题意，以原点，所直线为轴，轴建立直角坐标系，则，设，因为，所以点满足，则可设点，则由，得，所以，则的最大值为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的求法，考查利用化一公式化简和三角函数求最值，还涉及圆的方程，考查转化思想和运算能力，属于中档题.22D【解析】【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.【详解】因为在中，,，为边上的高，所以在中，又，为的中点，故选：D.2

19、3A【解析】【分析】由向量减法法则计算【详解】故选：A.24C【解析】【分析】根据平移向量以及有向线段的坐标表示即可求出【详解】因为，所以点N的坐标为故选：C25C【解析】【分析】利用向量运算求得，进而求得.【详解】，所以.故选：C26A【解析】【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误.【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x，y使，正确；举反例，=(1,0)(1,3)，但1=1，错误；由向量可以平移，所以=(x,y)与a的始点是不是原点无关，错误；当的终点坐标是(x,y)时，=(x,y)是以的始点是原点为前提的，错误故选：A

20、27C【解析】【分析】由题意建立如图所示的直角坐标系，设，根据，得，解得，再根据得到解之即得解.【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，则，.设，则，因为，所以，解得，由，得，所以解得，所以.故选：C.28【解析】【分析】先求出的坐标，再得点坐标【详解】由已知，由得，所以点坐标为故答案为：2915【解析】【分析】根据，三点的坐标可求出，根据，即可得出，从而可求出，的值，进而求出的值【详解】，；解得；故答案为：1530【解析】【分析】利用向量运算求得.【详解】.故答案为：313【解析】【分析】以为基底，由G是的重心和M，G，N三点共线，可得，即求.【详解】根据条件：，如图设D为BC的中点，则因为G是的重心，又M，G，N三点共线，即.故答案为：3.