6.4 匀速圆周运动中的临界问题 【帮课堂】2023-2024学年高一物理 同步学与练（ 人教版2019必修第二册）（解析版）.docx

1、6.4 匀速圆周运动中的临界问题 学习目标课程标准学习目标1会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。2知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。3能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。1、进一步熟悉匀速圆周运动的各种特点。2、会解决匀速圆周运动中的各种临界问题。02预习导学（一） 课前研读课本，梳理基础知识：物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态一、常见的临界情况(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的

2、弹力恰好为零(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等一、分析方法分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解（二）即时练习：【小试牛刀1】如图所示，一质量为2.0103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()A汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4104 NC汽车转

3、弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑D汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2答案D解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为20 m/s时，根据Fnm，得所需的向心力为1.0104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am7.0 m/s2，D正确【小试牛刀2】雨天野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会粘附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来如图所示，图中a、b、c、d为后轮轮胎边缘上的四个特

4、殊位置，则()A泥巴在图中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度B泥巴在图中的b、d位置时最容易被甩下来C泥巴在图中的c位置时最容易被甩下来D泥巴在图中的a位置时最容易被甩下来答案C解析当后轮匀速转动时，由aR2知a、b、c、d四个位置的向心加速度大小相等，A错误在角速度相同的情况下，泥巴在a点有Famgm2R，在b、d两点有FbFdm2R，在c点有Fcmgm2R.所以泥巴与轮胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下来，故B、D错误，C正确【小试牛刀3】（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘

5、的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()Ab一定比a先开始滑动Ba、b所受的摩擦力始终相等C 是b开始滑动的临界角速度D当 时，a所受摩擦力的大小为kmg答案AC解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即fm2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：faml，当fakmg时，kmgml，a ；对木块b：fbm2l，当fbkmg时，kmgm2l，b ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fam2l，fbm22l，

6、fa0.75 mtan 37，即小球做平抛运动没有落到圆锥表面上，所以落地点与O点间的距离为0.8 m。答案：(1)1.088 N(2)0.8 m【典型例题4】.(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.a绳的张力不可能为零B.a绳的张力随角速度的增大而增大C.当角速度，b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化答案AC解析小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，

7、所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故选项A正确；根据竖直方向上平衡得，Fasin mg，计算得出Fa，可知a绳的拉力不变，故B错误；当b绳拉力为零时，有ml2，计算得出2，当角速度2，b绳将出现弹力，故选项C正确；因为b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。【对点训练3】多选如图所示，底角为的圆锥体静止不动，顶端通过一根长为l1 m的细线悬挂一个质量为m1 kg的小球，细线处于张紧状态，若小球在水平面内做匀速圆周运动，角速度的取值范围介于3 rad/s到4 rad/s之间，不计一切阻力，则细线拉力F可能等于()A(55)NB(55)NC1

8、5 N D20 N解析：选BC当小球刚好没有脱离圆锥时，小球受重力mg、细线拉力F的作用，它们的合力提供向心力，mgcot m02lcos ，代入数据解得0 rad/s，此时0的取值范围介于3 rad/s到4 rad/s之间，当较小时，小球没有脱离圆锥，小球受到重力mg、细线拉力F和光滑圆锥的支持力N的作用，它们在水平方向的合力提供向心力，则Fsin Ncos mg，Fcos Nsin m2lcos ，可求得，Fmgsin m2lcos2，此时(54.5)NF10 N，当较大时，小球脱离圆锥，小球的重力mg和细线拉力F的合力提供向心力，设细线和水平方向夹角为，则Fcos m2lcos ，可求得

9、Fm2l,10 NF16 N，综上分析，选项B、C正确。【对点训练4】如图所示，AB为竖直转轴，细绳AC和BC的结点C系一质量为m的小球，两绳能承受的最大拉力均为2mg。当细绳AC和BC均拉直时ABC90，ACB53，BC1 m。细绳AC和BC能绕竖直轴AB匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(重力加速度g10 m/s2，sin 530.8，cos 530.6)()AAC5 m/sBBC5 m/sCAC5.24 m/s DBC5.24 m/s解析：选B当小球线速度增至BC被拉直后，由牛顿第二定律可得

10、，竖直方向上：TAsinACBmg，水平方向上：TAcosACBTBm，由式可得：TAmg，小球线速度增大时，TA不变，TB增大，当BC绳刚要被拉断时，TB2mg，由可解得此时，v5.24 m/s；BC绳断后，随小球线速度增大，AC线与竖直方向间夹角增大，设AC线被拉断时与竖直方向的夹角为，由TACcos mg，TACsin m，rLACsin ，可解得，60，LAC m，v5 m/s，故B正确。【题型三】联系实际【典型例题5】某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点(通过B点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平

11、直路段匀减速到D点停下。已知轿车在A点的速度v072 km/h，AB长L1150m；BC为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v36 km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L250 m，重力加速度g取10 m/s2。(1)若轿车到达B点时速度刚好为v36 km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；(2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；(3)求轿车从A点到D点全程的最短时间。解析：(1)v072 km/h20 m/s，AB长L1150 m，v36 km/h10 m/s，对AB段匀减速直线运动有v2

12、v022aL1代入数据解得a1 m/s2。(2)汽车在BC段做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，Ffm为了确保安全，则须满足Ffmg联立解得：R20 m，即：Rmin20 m。(3)设AB段时间为t1，BC段时间为t2，CD段时间为t3，全程所用最短时间为t。由运动学规律得L1t1Rminvt2L2t3tt1t2t3联立以上各式，代入数据解得：t23.14 s。答案：(1)1 m/s2(2)20 m(3)23.14 s【典型例题6】如图所示是小型电动打夯机的结构示意图,电动机带动质量为的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速圆周运动,重锤转动的半径为.电动机连同打夯机底座的质量为,重锤和转轴O之间

13、连接杆的质量可以忽略不计,重力加速度g取.求:(1)重锤转动的角速度为多大时,才能使打夯机底座刚好离开地面?(2)若重锤以上述的角速度转动,当打夯机的重锤通过最低位置时,打夯机对地面的压力大小.答案：(1)(2)1500 N解析：(1)当连接杆对重锤的拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时,才能使打夯机底座刚好离开地面,即,对重锤根据牛顿第二定律有,代入数据解得.(2)重锤运动到最低点时,对重锤根据牛顿第二定律有,解得,对打夯机有.根据牛顿第三定律可知,打夯机对地面的压力.【对点训练5】多选(2016浙江高考)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R90 m的大圆弧和r4

14、0 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O距离L100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g10 m/s2，3.14)，则赛车()A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为5.58 s审题指导(1)要使赛车绕赛道一圈所用时间最短，赛车在弯道上运动的速度应最大，此时恰好由最大静摩擦力提供向心力。(2)赛车在弯道上做匀速圆周运动的速度对应赛车

15、在直道上的初速度和末速度。(3)借助三角函数知识确定直道长度和弯道对应的圆心角。解析赛车做圆周运动时，由F知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕过小圆弧后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上时，根据Fm知，其速率v 45 m/s，选项B正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率v30 m/s。如图所示，由边角关系可得60，直道的长度xLsin 6050 m，据v2v22ax知在直道上的加速度a6.50 m/s2，选项C错误；小弯道对应的圆心角为120，弧长为s，对应的运动时间t2.79 s，选项D错误。答案AB【对点训练6】如图所示为某电视台正在策划的某节目的场地设施,为水平直轨道,上面安装有电动悬挂器,可以载

16、人(人可看成质点)运动,下方水面上漂浮着一个匀速转动的半径为且铺有海绵垫的转盘,转盘轴心离平台的水平距离为L,平台边缘与转盘平面的高度差.选手抓住悬挂器后,按动开关,在电动机的带动下从A点(平台边缘)沿轨道做初速度为零且加速度为的匀加速直线运动,2 s后选手松开悬挂器.已知选手与转盘间的动摩擦因数为,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为.(1)求选手随悬挂器水平运动的位移大小和松开悬挂器时选手的速率;(2)若选手恰好落到转盘的轴心上,求L的大小；(3)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘的速度立即变为零,为保证选手落在任何位置都不会被甩下转盘,转盘的角速度应限制在什么范围?答案：(1)4 m；

17、4 m/s(2)7.2 m(3)解析：(1)选手做匀加速直线运动的位移,解得.松开悬挂器时选手的速率,解得.(2)松开悬挂器后选手做平抛运动,竖直方向有,水平方向有,解得,故转盘轴心离平台的水平距离.(3)临界情况下,选手落到转盘边缘处不会被甩下转盘,则最大静摩擦力提供向心力,有,解得,所以转盘的角速度必须满足.04体系构建圆周运动与离心运动的判定(1)当物体沿半径方向指向圆心的合力恰好等于向心力时，物体做匀速圆周运动。(2)当物体沿半径方向指向圆心的合力不足以提供向心力时，物体将做离心运动，只有提供向心力的合外力突然消失时，物体才沿切线方向飞出。(3)靠静摩擦力提供向心力时，当静摩擦力达到最

18、大静摩擦力时，物体将开始做离心运动。05记忆清单1.与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm，静摩擦力的方向一定指向圆心。(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。2.与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。0601强化训练

19、1用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，细线的张力为FT，则FT随2变化的图象是选项中的()答案C解析当角速度较小时，小球始终在圆锥面上运动，此时圆半径不变角速度增大，细线拉力增大，当角速度增大到某一值时，小球会离开圆锥面，继续做圆周运动，此时拉力仍随角速度的增大而增大，但变化率较先前大，所以只有C符合题意2.如图所示，细绳一端系着质量M8 kg的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m2 kg的物体，M与圆孔的距离r0.5 m，已知M与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

20、，现使物体M随转台绕中心轴转动，问转台角速度在什么范围时m会处于静止状态(g10 m/s2)答案1 rad/s3 rad/s解析设角速度的最小值为1，此时M有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径向外，由牛顿第二定律得：FTMgMr，设角速度的最大值为2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：FTMgMr，要使m静止，应有FTmg，联立得11 rad/s，23 rad/s则1 rad/s3 rad/s3.细绳一端系住一个质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度处，绳长l大于h，使小球在桌面上做如图所示的匀速圆周运动，重

21、力加速度为g.若要小球不离开桌面，其转速不得超过()A. B2C. D.答案D解析对小球受力分析，小球受三个力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、绳子拉力F.小球所受合力提供向心力，设绳子与竖直方向夹角为，由几何关系可知Rhtan ，受力分析可知Fcos FNmg，Fsin mm2R4m2n2R4m2n2htan ；当球即将离开水平桌面时，FN0，转速n有最大值，此时nm，故选D.4.多选如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，A、B与转台的动摩擦因数都为，

22、设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且有kr2mg。则以下说法中正确的是()A当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 B当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 C当B刚好要滑动时，转台转动的角速度为 D当A刚好要滑动时，转台转动的角速度为 解析：选BD当B受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供向心力，则有k(1.5rr1.5r)2m2r解得： ，故A错误；当A受到的摩擦力为0时，由弹簧弹力提供向心力，则有k(1.5rr1.5r)m21.5r解得： ，故B正确；假设B先滑动，则当B刚好要滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力，弹簧弹力与静摩擦力的合力提供向心力，则有：k(1.5rr1.5r)2mg2m2r

23、解得： ，故C错误；假设A先滑动，则当A刚好要滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力，弹簧弹力与静摩擦力的合力提供向心力，则有k(1.5rr1.5r)mgm21.5r，解得： ，即A、B同时开始滑动，故D正确。5.（多选）如图所示，物体P用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为，则()A只有超过某一值时，绳子AP才有拉力B绳子BP的拉力随的增大而不变C绳子BP的张力一定大于绳子AP的张力D当增大到一定程度时，绳子AP的张力大于绳子BP的张力答案AC解析较小时，AP松弛，绳子BP的拉力随的增大而增大，故A选项正确，B选项错误当达到某一值0时，AP刚好绷紧物体P受力分析如图所

24、示，其合力提供向心力，竖直方向合力为零故FBPFAP，C选项正确，D选项错误6.（多选）质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C点，绳长分别为la、lb，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时轻杆停止转动，则()A小球仍在水平面内做匀速圆周运动B在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大C若角速度较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动D绳b未被烧断时，绳a的拉力大于mg，绳b的拉力为m2lb答案BC解析根据题意，在绳b被烧断之前，小球绕BC轴做匀速圆周运动，竖直方向上受力平

25、衡，绳a的拉力等于mg，D错误；绳b被烧断的同时轻杆停止转动，此时小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球将在垂直于平面ABC的平面内运动，若较大，则在该平面内做圆周运动，若较小，则在该平面内来回摆动，C正确，A错误；绳b被烧断瞬间，绳a的拉力与重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，绳a中的张力突然变大了，B正确7如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力的作用已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60和30，则下列说法正确的是()A小物块a和b做圆周运动所需的向心力大

26、小之比为1B小物块a和b对容器壁的压力大小之比为1C小物块a与容器壁之间无摩擦力D容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下答案A解析a、b角速度相等，向心力大小可表示为Fm2Rsin ，所以a、b所需向心力大小之比为sin 60sin 301，A正确；对b分析可得mgtan 30m2Rsin 30，结合对b分析结果，对a分析有m2Rsin 60mgtan 60，即支持力在指向转轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背离转轴方向的分力，即容器壁对a的摩擦力沿切线方向向上，C、D错误；对b有FNbcos 30mg，对a有FNacos 60Ffsin 60mg，所以，B错误8.如图所示，叠放

27、在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是()AB对A的摩擦力一定为3mgBB对A的摩擦力一定为3m2rC转台的角速度需要满足D若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体答案B解析由于物体 A、B及物体 C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B对A的摩擦力一定为FfA3m2r，又有03，由于物体 A、B及物体 C均随转

28、台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足3，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，C、D错误9.(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(重力加速度为g)()A当时，A、B会相对于转盘滑动B当，绳子一定有弹力C在范围内增大时，B所受摩擦力变大D在0时，绳子有弹力，B项正确；当时，B已达到最大静摩擦力，则在范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；在0范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由FfFTmL2可知，当增大时，静摩擦力也增大，D项正确