9.4 向量应用（四大题型）（原卷版）.docx

1、94 向量应用课程标准学习目标体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力（1）能用向量方法解决简单的几何问题.（2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题（3）把运算结果“翻译”成几何关系【即学即练1】（2024高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.(1

2、)用，表示，.(2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.知识点02 向量方法解决物理问题的步骤用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题【即学即练2】（2024全国高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力题型一：利用向量证明平面几何问题【例1】（2024海南省直辖县级单位高一校考期末）如图所示，已知在正方形中，E，F分别

3、是边，的中点，与交于点M.(1)设，用，表示，；(2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.【变式1-1】（2024全国高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，点M为边BC的中点，求证：【变式1-2】（2024山东济南高一山东师范大学附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心(1)求重心E的坐标；(2)用向量法证明：【方法技巧与总结】用向量证明平面几何问题的两种基本思路（1）向量的线性运算法的四个步骤：选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；把计算所得结果转化为几何问题（2

4、）向量的坐标运算法的四个步骤：建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；利用向量的坐标运算找到相应关系；利用向量关系回答几何问题题型二：利用向量解决平面几何求值问题【例2】（2024福建厦门高一统考期末）在四边形中，其中，为不共线的向量(1)判断四边形的形状，并给出证明；(2)若，与的夹角为，为中点，求【变式2-1】（2024贵州贵阳高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，点E为AB上一点(1)若，求AE的长；(2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求【变式2-2】（2024河北沧州高一校考阶段练习）如图，在中，.(

5、1)求的长；(2)求的长.【变式2-3】（2024山东枣庄高一统考期末）如图，在中，点在线段上，且(1)求的长；(2)求【变式2-4】（2024辽宁朝阳高一朝阳市第一高级中学校考期末）在中，为的三等分点（靠近点）(1)求的值；(2)若点满足，求的最小值，并求此时的【方法技巧与总结】（1）用向量法求长度的策略根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则（2）用向量法解决平面几何问题的两种思想几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解坐标法：建立平面直角坐标系，实

6、现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算题型三：向量在物理中的应用【例3】（2024全国高一随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系【变式3-1】（2024全国高一课堂例题）如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力已知N，求，的大小【变式3-2】（2024高一课时练习）如图，用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上，ACW=150，BCW=

7、120.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量，重力加速度)【变式3-3】（2024全国高一随堂练习）如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）【方法技巧与总结】用向量解决物理问题的一般步骤（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题（2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型（3）参数的获得，即求出数学模型的有关解理论参数值（4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象题型四：平面几何中的平行（共线）问题【例4】（2024陕西宝鸡高一期末）如

8、图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点【变式4-1】（2024全国高一课时练习）如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上.【方法技巧与总结】利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标【变式4-2】（2024浙江宁波高一校联考期末）如图，在梯形中，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点(1)求的值；(2)求的值；(3)直线分别交线段、于，两点，若、三点在同一直线上，求的值一、单选题1（2024全国高

9、一随堂练习）已知的三个顶点分别是，则的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C斜三角形D等腰直角三角形2（2024全国高一随堂练习）马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱，当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小为，此时两只胳膊的夹角为，试估算小猴子的体重（单位）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为，）A9.2B7.5C8.7D6.53（2024福建厦门高一厦门一中校考阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（）A2B4C5D64（2024江西九江高一校考期中）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足，则点P在（）A的内部B线段AB上C

10、直线BC上D的外部5（2024江苏泰州高一统考期中）在平行四边形ABCD中，则（）AB3C4D66（2024辽宁沈阳高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知平面上的三个力，作用于同一点，且处于平衡状态若，则（）AB1CD27（2024北京丰台高一统考期末）如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（）ABCD8（2024上海徐汇高一上海中学校考期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A内心B垂心C重心D边的中点二、多选题9（2024安徽宣城高一统考期末）下列命题正确的是（）A若向量、满足，则或B若向量，的夹角为钝角，则C已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度

11、为4D设，是同一平面内两个不共线的向量，若，则，可作为该平面的一个基底10（2024全国高一随堂练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则设是内一点，的三个内角分别为，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（）AB有可能是的重心C若为的外心，则D若为的内心，则为直角三角形11（2024广东江门高一统考期末）下列说法正确的是（）A中，D为BC的中点，则B向量，可以作为平面向量的一组基底C若非零向量与满足，则为等腰三角形D已知点，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为1

12、2（2024高一单元测试）如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴、轴正半轴上（含原点）上滑动，则的值可能是（）A1BC2D三、填空题13（2024全国高一随堂练习）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）14（2024高一单元测试）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于

13、北岸的码头B处，则 .15（2024全国高一随堂练习）已知中，且，若，且，则实数的值为 .16（2024广东湛江高一湛江市第二中学校考期中）在中，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 .四、解答题17（2024全国高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小18（2024全国高一随堂练习）如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？19（2024江西九江高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q(1)若，求x，y的值；(2)求最小值20（2024广东清远高一统考期末）在ABC中，=3=3.(1)用向量表示，并判断B，E，F三点是否共线;(2)若|+|=|=，求ABC的面积.