[31535872]2022届高考数学一轮复习讲义微专题10：高斯函数f(x)=[x]的定义、性质及其应用（2）（学生版 教师版）.docx

1、【学生版】微专题：高斯函数f(x)=x的定义、性质及其应用（2）不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作；例如，；这一规定最早为大数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数；又称取整函数。由、的定义不难得到高斯函数的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为；对任意实数，都有；对任意实数，都有；一、高斯函数图像与基本性质例 试研究与画出函数以及的图像，并指出他们的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性.【解析】由题意，得的定义域为R，值域为Z； 的定义域为R，值域为； 单调性：如图 没有单调性；是非减函数，即若则；最 值：无最值； 最小值为0；奇偶性：无奇偶性； 无奇

2、偶性；周期性：无周期性； 如图，是以1为周期的周期函数；二、高斯函数性质的应用与综合例1、高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰卡尔弗里德里希高斯的名字命名，高斯函数应用范围很广，在自然科学社会科学数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为_.【提示】；【答案】；【解析】；【说明】例4、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数； 设，则函数的所有零点之和为 【提示】；【答案】；【解析】【说明】。例5、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名

3、的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则_；不等式的解集为 【提示】；【答案】；【解析】【说明】求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想；例6、高斯是德国者名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个设xR，用x表示不超过x的最大正数，用xxx表示x的非负纯小数，则yx称为高斯函数，已知数列an满足a1，an+1an，则a2019 【提示】；【答案】；【解析】；【说明】。 综上，根据高斯函数的由来、定义，结合教材中“分段函数”与“研究函数的方法与过程”，高斯函数在高考试题中，应该是既“非常切合”教材，又能考查学生的研究函数的方

4、法与过程的好素材；同时也是“新定义”题与考查学生综合应用数学知识与方法的载体。【教师版】微专题：高斯函数f(x)=x的定义、性质及其应用（2）不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，称为x的小数部分，记作；例如，；这一规定最早为大数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数；又称取整函数。由、的定义不难得到高斯函数的定义域为R，值域为Z；的定义域为R，值域为；对任意实数，都有；对任意实数，都有；一、高斯函数图像与基本性质例 试研究与画出函数以及的图像，并指出他们的定义域、值域、单调性、最值、奇偶性、周期性.【解析】由题意，得的定义域为R，值域为Z； 的定义域为R，值域为； 单调性：如图 没有单调

5、性；是非减函数，即若则；最 值：无最值； 最小值为0；奇偶性：无奇偶性； 无奇偶性；周期性：无周期性； 如图，是以1为周期的周期函数；二、高斯函数性质的应用与综合例1、高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰卡尔弗里德里希高斯的名字命名，高斯函数应用范围很广，在自然科学社会科学数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为_.【提示】先求函数的值域，再根据取整函数求解即可得答案；【答案】；【解析】令，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以函数的值域为；故答案为：；【说明】本题考查函数值域的求解方法，本题的解题方法为分离常数法，是基础题；

6、常见的函数值域的求解方法有以下几种：（1）配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域；（2）常数分离法：一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域；（3）换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解；（4）单调性法：即先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。例2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数； 设，则函数的所有零点之和为 【提示】

7、令，显然，可得出，将问题转化为函数与函数的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点，数形结合可得出结果；【答案】；【解析】因为，令，可得，则函数的零点，即为函数与函数的图象交点的横坐标，作出函数与函数的图像如下图所示：由图像可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，所以，函数的所有零点之和为；故答案为：；【说明】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图像对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题。例3、高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则_；不等式的解集为 【提示】第一空：

8、”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可；【答案】 ； ；【解析】由题意，得，当时，即；当时，即(舍)，综上；当时，即，当时，即，综上，；故答案为：；.【说明】求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想；例4、高斯是德国者名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个设xR，用x表示不超过x的最大正数，用xxx表示x的非负纯小数，则yx称为高斯函数，已知数列an满足a1，an+1an，则a2019 【提示】求出数列的前若干项，归纳出当n为奇数时，代入即可得解；【答案】；【解析】因为；所以，；由此可得到规律：当n为奇数时，；所以，.故答案为：；【说明】本题考查了数列递推公式的应用，考查了归纳推理的能力，属于中档题。 综上，根据高斯函数的由来、定义，结合教材中“分段函数”与“研究函数的方法与过程”，高斯函数在高考试题中，应该是既“非常切合”教材，又能考查学生的研究函数的方法与过程的好素材；同时也是“新定义”题与考查学生综合应用数学知识与方法的载体。