[32452881]12、微专题：积化和差与和差化积公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：积化和差与和差化积公式及其应用1、积化和差公式； ；2、和差化积公式；.【典例】题型1、利用积化和差与和差化积公式给角求值例1、（1）求值：sin 20sin 40sin 60sin 80【提示】；【答案】；【解析】（2）求sin220cos250sin 20cos 50的值；并根据角之间的联系，推广为三角恒等式“sin2cos2（30+）sincos（30+）=？”，试加以证明； 【提示】【答案】；【解析】；推广得： sin2cos2（30+）sincos（30+）=（试：参考以上求解加以证明）；【说明】通过本题说明：给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角比相

2、约或相消，从而化为特殊角的三角比进行计算；题型2、利用积化和差与和差化积公式给值求值例2、已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值；题型3、与解决三角形问题的交汇例3、（1）在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos；（2）在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos cos cos ；题型4、利用积化和差与和差化积公式进行探究例4、在中，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由.【归纳】1、积化和差公式； ；2、积化和差公式的推导由，得，.由.，得，.上面的四个式子统称为积化和差公式.3、积化和差公式的特点（1）同名函数

3、之积化为两角和与差的余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差的正弦的和(差)的一半；（2）等式左边为单角、，等式右边是它们的和(差)角；（3）如果左端两函数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负；4、和差化积公式；.5、和差化积公式的推导在积化和差公式中，设，则有，把代入，就得到；.上面的四个式子统称为和差化积公式.注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用.6、和差化积公式的特点（1）余弦函数的和或差化为同名函数之积；（2）正弦函数的和或差化为异名函数之积；（3）等式左边为单角和，等式右边为与的形式；（4）只有最后一组的符号为负，其余均为正；7、积化和差与和差化积公式的

4、记忆方法（1）积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差；（2）和差化积公式的记忆口诀正加正，正在前；余加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦；【即时练习】1、将cos 2xsin2y化为积的形式，结果是()Asin(xy)sin(xy) Bcos(xy)cos(xy) Csin(xy)cos(xy)Dcos(xy)sin(xy)2、在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形3、把cos 3acos 5a化为积的形式，其结果为_4、若cos xcos

5、ysin xsin y，sin 2xsin 2y，则sin(xy) 5、已知coscos，则sin cos 的值是_6、已知，则_.7、下列四个关系式中错误的个数_.；.8、(一题两空)已知sin sin ，cos cos ，则tan()_，cos()_.9、已知A，B，C是ABC的三个内角，ytan ，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论10、已知cos cos ，sin sin ，（1）求sin()的值；（2）求cos()的值；【教师版】微专题：积化和差与和差化积公式及其应用1、积化和差公式； ；【说明】规律1：公式右边中括号前的系数都有；规律2：中括号中前后两项的角分别

6、为和；规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数；2、和差化积公式；.【说明】1、和差化积公式的适用条件是：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式2、和差化积公式的适用条件是：只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式；【典例】题型1、利用积化和差与和差化积公式给角求值例1、（1）求值：sin 20sin 40sin 60sin 80【提示】注意：利用公式产生“特殊角”；【答案】；【解析】

7、原式cos 10cos 30cos 50cos 70cos 10cos 50cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.（2）求sin220cos250sin 20cos 50的值；并根据角之间的联系，推广为三角恒等式“sin2cos2（30+）sincos（30+）=？”，试加以证明； 【提示】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系；【答案】；【解析】原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin 70(2sin 70sin 30)sin 7

8、0sin 70sin 70；推广得： sin2cos2（30+）sincos（30+）=（试：参考以上求解加以证明）；【说明】通过本题说明：给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角比相约或相消，从而化为特殊角的三角比进行计算；题型2、利用积化和差与和差化积公式给值求值例2、已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值；【提示】注意：利用和差化积公式，对所求式子进行变形，并利用所给条件求解；【答案】；【解析】因为，cos cos ，所以，2sinsin.又因为，sin sin ，所以，2cossin.再因为，sin0，再由，得tan，即tan.所以，sin()；【说明】通

9、过本题说明：对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止；题型3、与解决三角形问题的交汇例3、（1）在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos；（2）在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos cos cos ；【提示】利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC；【解析】（1）左边sin(BC)2sincos2sincos2sincos2cos4sinsincos右边，所以，原等式成立；（2）由ABC180，得C180(AB)，即90，所以，cos sin .则sin Asin Bsin

10、C2sincossin(AB)2sincos2sincos2sin2cos 2cos cos4cos cos cos ，所以，原等式成立；【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证；特别注意：1、解决与三角形有关问题时应注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC，abc等；2、在ABC中有一些重要的三角关系：sin(AB)sin C；cos(AB)cos C；sincos，cossin；sin(2A2B)sin 2C；cos(2A2B)cos 2C；题型4、利用积化和差与

11、和差化积公式进行探究例4、在中，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由.【提示】注意：限制条件“在中”与等价转化；【解析】在中，因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以.所以.又因为，所以. 由，得；【说明】本题三角恒等变换与对数的简单交汇；用到了待定系数法与等价转化思想；【归纳】1、积化和差公式； ；2、积化和差公式的推导由，得，.由.，得，.上面的四个式子统称为积化和差公式.3、积化和差公式的特点（1）同名函数之积化为两角和与差的余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差的正弦的和(差)的一半；（2）等式左边为单角、，等式右边是它们的和(差)角；（3）如果左端两函

12、数中有余弦函数，那么右端系数为正，无余弦函数，系数为负；4、和差化积公式；.5、和差化积公式的推导在积化和差公式中，设，则有，把代入，就得到；.上面的四个式子统称为和差化积公式.注意公式推导过程中换元思想与方程思想的应用.6、和差化积公式的特点（1）余弦函数的和或差化为同名函数之积；（2）正弦函数的和或差化为异名函数之积；（3）等式左边为单角和，等式右边为与的形式；（4）只有最后一组的符号为负，其余均为正；7、积化和差与和差化积公式的记忆方法（1）积化和差公式的记忆口诀前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差；（2）和差化积公式的记忆口诀正加正，正在前；余

13、加余，余并肩；正减正，余在前；余减余，负正弦；【即时练习】1、将cos 2xsin2y化为积的形式，结果是()Asin(xy)sin(xy) Bcos(xy)cos(xy) Csin(xy)cos(xy)Dcos(xy)sin(xy)【答案】B；【解析】cos2xsin2y(cos 2xcos2y)cos(xy)cos(xy)；2、在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形【答案】B；【解析】由sin Asin Bcos2，得cos(AB)cos(AB)，cos(AB)cos Ccos C，即cos (AB)1，A

14、B0，即AB；ABC是等腰三角形；3、把cos 3acos 5a化为积的形式，其结果为_【答案】2cos 4acos a；【解析】cos 3acos 5a2coscos2cos 4acos a4、若cos xcos ysin xsin y，sin 2xsin 2y，则sin(xy) 【答案】；【解析】因为cos xcos ysin xsin y，所以cos，因为sin 2xsin 2y，所以2sincos，所以2sin，所以sin(xy)；5、已知coscos，则sin cos 的值是_【答案】；【解析】coscossincossincos 2.所以cos 2，因为，所以2，所以sin 2，且

15、sin cos 0，所以(sin cos )21sin 21.所以sin cos ；6、已知，则_.【答案】【解析】，故答案为：7、下列四个关系式中错误的个数_.；.【提示】根据三角函数和差化积公式，可直接判断，对于先将转化为，再根据三角函数的和差化积公式，化成积的形式，即可判断是否正确.【答案】3个【解析】由和差化积公式，可知：对于，故正确；对于，故错误；对于，故错误；对于，故错误.故答案为3个.8、(一题两空)已知sin sin ，cos cos ，则tan()_，cos()_.【答案】；【解析】由sin sin ，cos cos ，得2sin cos ，2cos cos ，两式相除得ta

16、n，则tan().(sin sin )2sin2sin22sin sin ，(cos cos )2cos2cos22cos cos ，则cos()cos cos sin sin ；9、已知A，B，C是ABC的三个内角，ytan ，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论【证明】A，B，C是ABC的三个内角，ABC，.ytan tan tan tan tan .因此，任意交换两个角的位置，y的值不变10、已知cos cos ，sin sin ，（1）求sin()的值；（2）求cos()的值；【提示】利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解【解析】（1）cos cos ，2sinsin又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().（2）因为cos cos ，所以2sin sin .又因为sin sin ，所以2cos sin .因为sin 0，所以由，得tan ，即tan .所以cos ()；