河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2024 届普通高等学校招生全国统一考试数学全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合2,1,0,1,2A ，0Bx x，则 AB的真子集个数为（）A2B3C4D72

2、已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ii1zx ，则1z （）A2B1C5D23已知单位向量 a，b的夹角为 3，则 56ab（）A9B91C10D3 104据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度 y 与其花朵凋零时间 t（分钟）（在植物学上 t 表示从花朵完全绽放时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式：102tyb（b 为常数），若该种玫瑰花在凋零时间为 10 分钟时的新鲜程度为 110，则当该种玫瑰花新鲜程度为 12时，其凋零时间约为（参考数据：lg 20.3）（）A3 分钟B30 分钟C33 分钟D35 分钟5已知某圆台的体积为 21，其上、下底面圆的面积之比为1:4 且

3、周长之和为6，则该圆台的高为（）A6B7C8D96已知抛物线2:20C ypx p，过点,02p且斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M，N 两点，且32MN，则 C 的准线方程为（）A1x B2x C3x D4x 7已知数列 na是单调递增数列，221nnamn，*nN，则实数 m 的取值范围为（）学科网（北京）股份有限公司A2,B1,2C 3,2D2,38已知离散型随机变量 X 的分布列如下，则D X的最大值为（）X012PaababA 13B 23C 89D1二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选

4、对的得部分分，有选错的得 0 分9某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（）A这五名同学成绩的平均数为 78B这五名同学成绩的中位数为 74C这五名同学成绩的上四分位数为 80D这五名同学成绩的方差为 3210已知正实数 a，b 满足22ab，则21bab的可能取值为（）A2B12C21D411在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1,0A，1,0B，12AM，点 M 的轨迹为，则（）A 为中心对称图形BM 到直线()20 xayaR 距离的最大值为 5C若线段OM 上的所有点均在 中，则 OM 最大为3D使

5、4MBO成立的 M 点有 4 个三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12182(2)x的展开式中含21x的项的系数为_13已知2tan2，则 tan3 _14三个相似的圆锥的体积分别为1V，2V，3V，侧面积分别为1S，2S，3S，且123VVV，123aSSS，则实数 a 的最大值为_四、解答题：共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）已知函数 ln(1)sinf xaxxx学科网（北京）股份有限公司（1）若0a，求曲线 yf x在点,22f处的切线方程；（2）若1a，研究函数 f x 在1,0 x 上的单调性和零点个数16（15 分）2024

6、 年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于 1 月 19 日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等某高中分别随机调研了 50 名男同学和 50 名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下 22 列联表对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学40女同学20合计（1）完善以上的 22 列联表，并判断根据小概率值0.01 的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关；（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取 30 名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人数的期望和方差附：22n adbcabcdacbd，其中 nabcd 0.10.050.01x2.7063.841

7、6.63517（15 分）如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PCD 平面 ABCD，四边形 ABCD 为等腰梯形，且112ABCD，PCD为等边三角形，平面 PAB 平面 PCD 直线 l（1）证明：l平面 ABCD；（2）若 l 与平面 PAD 的夹角为 6，求四棱锥 PABCD的体积18（17 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为 A、B，且4AB，点31,2在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的标准方程；学科网（北京）股份有限公司（2）若 E，F 为椭圆 C 上异于 A，B 的两个不同动点，且直线 AE 与 BF 的斜率满足3BFAEkk ，证明：直线 EF恒过定

8、点19（17 分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：1231231 2 32 3 13 1 23 2 12 1 31 3 2123aaabbba b ca b ca b ca b ca b ca b cccc若111222abxzijyxyzk，则称 a b为空间向量a 与b的叉乘，其中111ax iy jz k（111,x y z R），222bx iy jz k（222,xyz R），,i j k 为单位正交基底以 O 为坐标原点、分别以,i j k 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知 A，B 是空间直角坐标系中异于 O 的不同两点（1）若1,

9、2,1A，0,1,1B，求OA OB；证明：0OA OBOB OA（2）记AOB的面积为AOBS，证明：12AOBSOA OB（3）证明：2OA OB的几何意义表示以AOB为底面、OA OB为高的三棱锥体积的 6 倍数学参考答案1B【解析】由题意可得2,1AB ，故 AB的真子集的个数为2213 故选 B2A【解析】因为 ii1zz ，则1 i1 iz ，所以21 i(1 i)i1 i(1 i)(1 i)z ，故2211 i1(1)2z 故选 A3B【解析】由题意得222562560366160 1 1 cos913abaa bb 故 5691ab，故选 B4C【解析】由题意得 1210b，则

10、120b，令10112220t，即10210t，解得1033lg 2t 故选 C5D【解析】设上、下底面圆的半径分别为 r，R，圆台的高为 h，则由题意可得221,42()6,rRrR解得1,2,rR，学科网（北京）股份有限公司则221 (11 22)213Vh，解得9h 故选 D6D【解析】设11,M x y，22,N xy，直线:2pl yx，联立2,22,pyxypx 得22304pxpx，则0，123xxp，又 l 经过 C 的焦点,02p，则12332MNxxppp，解得8p，故 C 的准线方程为4x 故选 D7C【解析】由题意可得2(21)nnamn，由于数列 na为单调递增数列，

11、即*n N，1221(21)(1)(21)2210nnnnnaamnmnmn，整理得212nnm，令212nnnb，则11123211 20222nnnnnnnnbb，*nN，易得数列 nb单调递减，故132b 是数列 nb的最大项，则 m 的取值范围为 3,2，故选 C8C【解析】01231P XP XP Xa，故13a，易得12033b，12033b，则1133b，故221E Xababb，22221112(1)(1)3333D Xbb bbbbb，又因为1 1,3 3b，所以2 8(),9 9D X 故选 C9CD【解析】A 选项，这五名同学成绩的平均数为 6872768084765，A

12、 错误；B 选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为 76，B 错误；C 选项，5 75%3.75，故成绩从小到大排列后，第 4 个数即为上四分位数，即 80，C 正确；D 选项，五名同学成绩的方差为222221(6876)(7276)(7676)(8076)(8476)325，D 正确故选 CD10BD【解析】由题意可得22222111111(22)2()2bbbbabb bbbbb，学科网（北京）股份有限公司令1bt，则12t，22211232113bttbbtttttt，且22 2,3tt，故2132 2,bbb，所以2112,bab

13、故选 BD11ABC【解析】由题可得1,2AM，故点 M 在以 A 为圆心、半径分别为 1，2 的两圆之间（包含边界），为内径为 1，外径为 2 的圆环，A 正确；直线20 xay过定点(2,0)，故 M 到直线20 xay的距离最大时为 M 与点(2,0)的距离，则max325d，B 正确；当OM 恰与圆22(1)1xy相切时，OM 最大，此时直线OM 与 y 轴重合，故max3OM，C 正确；4MBO，则直线 BM：1yx 或1yx，直线1yx 与直线1yx 有无数点在 上，故符合的 M 点有无数个，故 D 错误故选ABC121120【解析】182(2)x的展开式的通项为8218C 2(1

14、)rrrrrTx，故令4r 可得含21x项的系数为44480C2(1)112 135 22【解析】由2tan2，可得22tantan 22 21tan，故tantan 25 2tan3tan(2)1tantan 22 14 3 2【解析】设三个圆锥的高分别为123,h h h 母线与轴线的夹角为，则2231(tan)tan33Vhhh，由123VVV，得333123hhh，同理由123aSSS可得222123ahhh，则22 3363231633 2123()()hha hahhh，则32323233211hhahh令 322311xf xx，0,x，得 2233611()1xxxfxx，令

15、0fx，解得0,1x；令学科网（北京）股份有限公司 0fx，解得1,x，故 f x 在0,1 上单调递增，在1,上单调递减，所以 max12f xf，故32a，故3max2a15解：（1）当0a 时，sinf xxx，则 sincosfxxxx，则22f ，12f ，所以曲线 yf x在点,22f处的切线方程为 yx（2）当1a 时，ln1sinf xxxx，则1()sincos1fxxxxx，当1,0 x 时，101x，sin0 x，cos0 xx，则 0fx，故 f x 在1,0 x 上单调递增又因为 00f，所以 f x 在1,0 x 上的零点个数为 116解：（1）完善 22 列联表如

16、下：对计算机专业感兴趣对计算机专业不感兴趣合计男同学401050女同学302050合计7030100则22100(40 20 10 30)1004.7626.63550 50 30 7021，故根据小概率值0.01 的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为 700.7100，设抽取的 30 名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为 X，所以随机变量30,0.7XB，故30 0.721E X，30 0.71 0.76.3D X 17解：（1）证明：由题可知 ABCD，AB 平面 PCD，CD 平面 PCD，AB平面 PCD又

17、AB 平面 PAB，平面 PAB 平面 PCDl，lAB 又l 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，l 平面 ABCD（2）以 D 为原点，平面 ABCD 内垂直于 DC 的直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，学科网（北京）股份有限公司设等腰梯形 ABCD 的高为 0a a，则0,0,0D，1,02A a，3,02B a，0,2,0C，0,1,3P，设,nx y z为平面 PAD 的法向量，则0,0,n DAn DP 即10,230,axyyz 令1y 得13,1,23na为平面 PAD 的一个法向量又lAB，则可得

18、直线 l 的一个平行向量0,1,0m，设 为 l 与平面 PAD 的夹角，由11sincos,12n mn ，解得68a 1163 23(12)32816P ABCDV 18解：（1）由题意可得42ABa，则2a，又点31,2在 C 上，所以213144b，解得1b ，故椭圆 C 的标准方程为2214xy（2）证明：由（1）可得，2,0A，2,0B，易知直线 AE 与直线 BF 的斜率一定存在且不为 0，设直线 AE 的方程为)2(0yt xt，直线 BF 的方程为32yt x 由222,1,4yt xxy得222241161640txt xt，学科网（北京）股份有限公司所以2216441AE

19、tx xt，故228241Etxt，则2441Etyt，故222824,4141ttEtt由2232,1,4yt xxy 得222236114414440txt xt，所以221444361BFtx xt，故22722361Ftxt，则212361Ftyt，故22272212,361 361ttFtt若直线 EF 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线 EF 所过定点必在 x 轴上，设定点为0,0P x则22220022412413612872241361PEPFttttkkttxxtt，即2222004122841722361tttxttxt，所以222200624341722361txttxt

20、，化简可得204 1210 xt，故04x，即直线 EF 过定点4,0 19解：（1）因为1,2,1A，0,1,1B，则1212010133,1,1011ijkOA OBikjiijk 证明：设111,A x y z，222,B xy z，则1 21212212 12 11 22 1122 11221(,)OA OBy z iz x jx y kx y kx jy z iyyzz z xz x xx yzy，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得2 11 22 1122112,()OB OAy zy zz xz x x yx y，故0,0,00OA OBOB OA（

21、2）证明：因为2222222()()sin1 cos1OAOBOA OBOA OBAOBAOBOA OBOAOB ，学科网（北京）股份有限公司故22211sin()22AOBSOA OBAOBOAOBOA OB ，故要证12AOBSOA OB，只需证222()OA OBOAOBOA OB，即证2222()OA OBOAOBOA OB 由（1）111(,)OAx y z，222,OBxyz，1 22 1122 11221,OA OBy zy z z xz x x yx y，故22221 22 112211221()()OA OBy zy zz xz xx yx y，又2221121OAxyz，2222222OBxyz，2212121 2OA OBx xy yz z，则2222()OA OBOAOBOA OB 成立，故12AOBSOA OB（3）证明：由（2）12AOBSOA OB，得221()222AOBOA OBOA OBOA OBOA OBSOA OB，故261()3AOBOA OBSOA OB，故2()OA OB的几何意义表示以AOB为底面、OA OB为高的三棱锥体积的 6 倍