【七年级下册】5.4 垂线（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题5.4 垂线（知识讲解）【学习目标】1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【知识要点】1垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足特别说明：(1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：ABCD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CDAB2垂线的画法

2、：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)特别说明： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段3垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“

3、有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题4点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离特别说明：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度【典型例题】类型一、垂线定义的理解垂直直角1如图，直线，相交于点，下列条件：；，其中能说明的

4、有（）AB或C或D或或【答案】B【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可解：，可以得出，故符合题意；，故符合题意，可以得出；，不能得到，故不符合题意；故能说明的有故选：B【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O，AB与CD的关系是（）A平行B垂直C重合D以上均有可能【答案】B【分析】由图知，1+2+AOC=180，再由已知可得AOC=90，从而可得AB与CD的位置关系1+2+AOC=180，且，AOC=90，ABCD，AB与CD的位置关系是垂直故选：B

5、【点拨】本题考查了垂直的定义，结合图形得到1+2+AOC=180是本题的关键【变式2】如图，则的度数是（）ABCD【答案】C【分析】根据图象可得：1+2=90，代入求解即可得出结果解：1+2+90=180，1+2=90，1=20，2=70，故选：C【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出1+2=90是解题关键类型二、垂线垂线的画法2如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A只有嘉嘉对B只有淇淇对C两人都对D两人都不对【答案】C【分析】根

6、据垂直的定义即可解答解：嘉嘉利用量角器画90角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键举一反三：【变式1】 下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线即可解：根据分析可得，用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，选项的画法正确，故选：【点拨】此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式

7、2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A这条线段上B这条线段的端点处C这条线段的延长线上D以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线点到直线的距离垂线段画法3如图，P是OB上的一点，用刻度尺分别度量点P到直线OA和到直线OC的距离【答案】点P到直线OA的距离约为2cm，点P到直线OC的距离约为1.1cm【分析】过点P作，用刻度尺分别度量PO和PD的长度，即可得到

8、点P到直线OA和到直线OC的距离【详解】解：过点P作，用刻度尺分别度量，可得点P到直线OA的距离约为2cm，点P到直线OC的距离约为1.1cm【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度举一反三：【变式1】如图，、相交于点，平分，(1)线段_的长度表示点到的距离；(2)比较与的大小（用“”号连接）：_，并说明理由：_；(3)求的度数【答案】(1)；(2)，是因为垂线段最短；(3)【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可（1）解：线段的长度表示点到的距离，故答案为：；（2）解：比较与的大小

9、为：，是因为垂线段最短，故答案为：，是因为垂线段最短；（3）解：，平分，【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离【变式2】已知：点是直线外一点，点、是直线上三点，分别连接、（1）通过测量的方法，比较、的大小，直接用“”连接；（2）在直线上能否找到一点，使的长度最短？如果有，请在图中作出线段，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN的垂线，垂足为D，PD即所求 解：（1）通过测量可知，cm，cm，cm，故；（2）过点作，则最短理由：垂线段最短 【点拨】本题考查了

10、垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短类型四、垂线点到直线的距离垂线段的长4如图，在中，点从点出发，沿射线以的速度运动，点从点出发，沿线段以的速度运动，、两点同时出发，当点运动到点时、停止运动，设点的运动时间为秒（1）当_时，；（2）当_时，；（3）画于点，并求出的值；（4）当_时，有【答案】（1）（2）4或（3）画图见解析；（4）【分析】利用列方程得到，然后解方程即可；利用列方程得到或，然后解方程即可；先根据三角形高的定义画图，然后利用面积法求的长；根据三角形面积公式得到，然后解方程即可 解： 根据题意得，解得；故答案为：； 根据题意得或，解得或；故答案为：或；

11、如图， ，；，解得故答案为：【点拨】本题考查了三角形的面积以及求解一元一次方程，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，能结合条件列出方程是解题的关键举一反三：【变式1】 如图，点A、点B是直线l上两点，AB10，点M在直线l外，MB6，MA8，AMB90，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是_【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MPAB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值解：当MPAB时，MP有最小值，AB10，MB6，MA8，AMB90，ABMPAMBM，即10MP68，解得MP4.8故答案为：4.8【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的

12、面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键【变式2】如图，在三角形ABC中，AC5，BC6，BC边上的高AD4，若点P在边AC上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_ 【答案】【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，利用面积法即可求出此时BP的长 解：根据垂线段最短可知，当BPAC时，BP最短，SABCBCADACBP，645BP，PB，即BP最短时的值为：故答案为：【点评】此题考查了垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握线段的性质是解本题的关键中考真题专练4（2022江苏常州中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路小丽觉得行人沿

13、垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A垂线段最短B两点确定一条直线C过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键举一反三：【变式1】 （2022河南中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EOCD，垂足为O若154，则2的度数为（）A26B36C44D54【答案】B【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解 解： EOCD，故选：B 【点拨】本题考查了垂线的定

14、义，平角的定义，数形结合是解题的关键【变式2】（2021北京中考真题）如图，点在直线上，若，则的大小为（ ） ABCD【答案】A【分析】由题意易得，进而问题可求解 解：点在直线上，；故选A【点拨】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键【变式3】（2021浙江杭州中考真题）如图，设点是直线外一点，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（）ABCD【答案】C【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案【详解】解：根据点是直线外一点，垂足为点，是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，当点与点重合时有，综上所述：，故选：C【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义