【八年级上册】13.4 线段的垂直平分线（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题13.4 线段的垂直平分线（知识讲解）【学习目标】1理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线2能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线要点二、线段垂直平分线的性质与判定线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上特别说明线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线

2、段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心.【典型例题】类型一、线段垂直平分线的性质1、如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分(1) 若，求的周长；(2) 设，试用含的式子表示，再求当，的值【答案】(1) 14 (2) 1803，96【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EAEC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质得到ECAA，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可解：(1) DE垂直平分AC，EAEC

3、，BCE的周长BC+BE+ECBC+BE+EABC+AB14；(3) EAEC，ECAA，CE平分ACB，BCEECA，1803，当28时，18032896【点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在三角形纸片ABC中，BAC的平分线AE交BC于点E，将CED沿DE折叠，使点C落在点A处(1) 求证：BAEC(2) 若BAE32，求B的度数【答案】(1) 见分析 (2) 84【分析】（1）证明BAEEAD，EADC，从而可得结论；（2）结合（1）可得EADBAEC32，再利用三角形的内角和定理可得答案(1

4、)解：AE平分BAC，BAEEAD 将CDE沿DE对折后，点C落在点A处DE垂直平分AC， EAECEADC BAEC(2)由（1）可得，EADBAEC， EADBAEC32BAC+BCA+B180B18033284【点拨】本题考查的是轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，证明EADBAEC是解本题的关键【变式2】如图，AD与BC相交于点O，连接AB、CD并延长，相交于点E，连接OE、BD，OAOC，AC，BEDE求证：OE垂直平分BD 【分析】依次证、，再根据线段垂直平分线的性质即可求证；证明：在和中在和中OE垂直平分BD【点拨】本题主要考查三角形的全等证明、线段垂

5、直平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键类型二、线段垂直平分线的判定2、如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB，DFAC，E、F 为垂足，连接 EF 交 AD于G(1) 求证：AEAF(2) 试判断 AD 与 EF 的位置关系，并说明理由 【答案】(1)见分析 (2) AD垂直平分EF，理由见分析【分析】(1)根据角平分线的性质，可得DE=DF，利用HL证得RtADFRtADE，即可证得结论；(2)由线段垂直平分线的判定，可得AD垂直平分EF(1)证明：ABC中，BAC的平分线交BC于点D，DEAB，DFAC，DF=DE，在RtADF和RtADE中，RtADFRtADE

6、，AF=AE；(2)解：AD垂直平分EF；理由如下：DF=DE，AF=AE，点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，AD垂直平分EF【点拨】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，注意掌握数形结合思想的应用举一反三：【变式1】如图，AD与BC相交于点O，ABCD，EBED，求证：【分析】先证明AOBCOD（ASA），可得OB=OD，再由垂直平分线的判定即可得出结论证明：在和中（AAS）垂直平分【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型【变式2】在中，AE，CD为的角平分线，

7、AE，CD交于点F（1）如图1，若直接写出的大小；求证：（2）若图2，若，求证：【答案】（1）120；见分析；（2）见分析【分析】（1）综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得AFD=AFH，再结合的结论进一步证明CFH=CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对ADF和CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SFET，即可对DEF的面积进行转换，从而得出结论解：（1）解

8、：B=60，BAC+BCA=180-B=120，AE平分BAC，CD平分BCA，FAC=BAC，FCA=BCA，FAC+FCA=(BAC+BCA)= 120=60，AFC=180-(FAC+FCA)=120；证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在ADF和AHF中，ADFAHF(SAS)，AFD=AFH，AFD=CFE，AFH=CFE，由可知，AFC=120，CFE=180-120=60，AFH=CFE=60，CFH=60，即：CFH=CFE，在CFH和CFE中，CFHCFE(ASA)，CE=CH，AC=AH+CH，AC=AD+CE；（2）证：如图所示，在AC上取S、T两点，使得AD=

9、AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，AE平分BAC，DAF=SAF，在ADF和ASF中，ADFASF(SAS)，同理可证AEDAES，CEFCTF，DF=SF，DE=SE，FT=FE，DEFSEF，且AFD=AFS，CFE=CFT，AFD=CFE，AFD=AFS=CFE=CFT，由（1）可得：AFC=90+B=135，CFE=180-135=45，AFD=AFS=CFE=CFT=45，CFT=135-AFS =90，CFSF，又FT=FE，CT=CE，CF垂直平分EF，即：CFET，SFET，【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添

10、加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键类型三、线段垂直平分线的性质与判定的应用3、如图，在中，的垂直平分线交于D，交于M，E为的中点，猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由【答案】BD=AC理由见分析【分析】求出AEDC，根据线段垂直平分线性质得出AD=AC，BD=AD，即可得出答案解：BD=AC证明：连接AD，CAE=25，ACB=65，AED=CAE+ACB=90，即AEDC，点E为CD中点，AD=AC，DM是线段AB的垂直平分线，BD=AD，BD=AC【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，线段垂直平分线的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等举一反三

11、：【变式1】如图：是的平分线上一点，垂足分别为，求证：（1）； （2）【分析】（1）利用“AAS”判定方法证明OMDOND即可证明OM=ON；（2）利用到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，证明OD是线段MN的垂直平分线，即可证明EM=EN解：（1）OD平分，MOD=NOD，OMD=OND=90，在OMD和OND中，OMDOND(AAS)，OM=ON；（2）OMDOND，OM=ON，DM=DN，OD是线段MN的垂直平分线，EM=EN【点拨】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明OMDOND是解题的关键【变式2】如图，ABC中，ABC30，AC

12、B50，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足（1）直接写出BAC的度数；（2）求DAF的度数，并注明推导依据；（3）若DAF的周长为20，求BC的长【答案】（1）100；（2）20，推导见分析；（3）20【分析】（1）由题意直接根据三角形内角和定理计算，得到答案；（2）由题意根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案解：（1）ABC+ACB+BAC180，BAC1803050100；（2）DE是线段AB的垂直平分线，DADB，DABABC30，同理可得，FACACB50，DAFBACDABFAC100305

13、020；（3）DAF的周长为20，DA+DF+FA20，由（2）可知，DADB，FAFC，BCDB+DF+FCDA+DF+FA20【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键类型四、作图线段垂直平分线4、如图，在中，ABBC(1) 请用基本尺规作图，作AB的中垂线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE（保留作图痕迹，不写作法）(2) 在（1）所作的图形中，若CEBC，求ABC的度数 【答案】 (1)见分析 (2)108【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧相交于两点，连接这两点交

14、AB于点D，交AC于点E，连接DE即可求解；（2）根据等腰三角形的性质求得AC，再利用垂直平分线的性质求得AEBE，进而得到CEB2A，再利用三角形的内角和定理求解(1)解：如图DE即为所求；(2)解：ABBC，AC又DE为AB的中垂线，AEBE，AEBA，CEB2ACECB，CEBCBE2A在ABC中，ACABC180，A36，则ABC3A108【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，理解垂直平分线的作法是解答关键举一反三：【变式1】如图，中，(1) 用无刻度直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留画图痕迹）； 作高； 作的平分线交于点，交于点；(2) 结合

15、（1）中作图，求证： 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；根据角平分线的作图步骤作图即可；（2）由证明即可解：(1)分别以A为圆心AC长为半径画弧和以B为圆心BC长为半径画弧交于点G，连接CG交AB于D，即可得到CDAB以B为圆心BC长为半径画弧交AB于H，分别以C、H为圆心大于长度为半径画圆交于点M，连接BM交AC于E，则BE为的平分线(2)证明：BE为的平分线，CDAB【点拨】本题考查尺规作图中的作角平分线和高线，熟记相关尺规作图步骤是解题的关键【变式2】如图，已知AD是的边上的中线(1) 作出的边上的高；(2) 若的面积为10，求长；(3) 若和的周长差为10，且，求长【答案】(1)作图见分析 (2)5 (3)20【分析】（1）根据三角形中高的定义过A作BC的垂线即可； （2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解三角形ABC的面积，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用两个三角形的周长差可得再结合，从而可得答案解：（1）如图所示：线段AE是所求作的BC上的高，(2) 的面积为10，AD是的边上的中线 (3) 和的周长差为10， ， 【点拨】本题考查的是作三角形的高，三角形的中线的性质，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义与性质”是解本题的关键