【3年中考2年模拟】浙江省2022届中考数学 热点题型 7.3开放探究题（pdf） 新人教版.pdf

1、 听 觉 的 适 应 与 疲 劳听 觉 器 官 接 受 连 续 几 个 小 时 过 强 刺 激 后，听 觉 器 官 的 感 受 性 会 因 过 度 刺 激 而 显 著 降 低，这 和 适 应 现 象 不 同，往 往 要 经 过 几 个 小 时，甚至 一 昼 夜 或 几 天，听 觉 的 感 受 性 才 能 恢 复 这 种 由 于 长 时 间 强 刺 激 引 起 听 觉 感 受 性 较 长 的 时 间 的 下 降 现 象，称 为 听 觉 疲 劳 如 果 连 续 几 个月 或 几 年，听 觉 器 官 经 常 受 到 致 疲 劳 噪 音 的 作 用，则 听 觉 正 常 感 受 性 不 能 完 全 恢

2、复，有 的 会 导 致 内 耳 毛 细 胞 和 神 经 细 胞 的 退 行 性 变，听 力不 断 下 降，造 成 耳 聋，严 重 的 会 引 起 耳 鸣，妨 碍 睡 眠，引 起 血 压 升 高 和 胃 肠 功 能 紊 乱 等 开 放 探 究 题 题 型 特 点探 究 性 问 题 为 学 生 提 供 了 广 阔 的 思 维 空 间，有 利 于 调 动 学生 的 创 新 意 识 和 探 究 兴 趣，成 为 近 几 年 中 考 的 热 点 题 型 之 一 探究 型 问 题 是 指 命 题 中 缺 少 一 定 的 条 件 或 无 明 确 的 结 论，需 要 经过 推 断、补 充 并 加 以 证 明 的

3、 题 型，探 究 性 问 题 具 有 以 下 特 点：条 件 的 不 确 定 性 结 构 的 多 样 性 思 维 的 多 向 性 解 答 的 层 次 性 过 程 的 探 究 性 知 识 的 探 究 性 这 类 问 题 具 有 较 强 的 综 合 性，涉 及 的 数 学 基 础 知 识 较 为 广泛，既 能 考 查 学 生 对 基 础 知 识 掌 握 的 熟 练 程 度，又 能 考 查 学 生 的观 察、分 析、概 括 能 力，能 从 具 体、特 殊 的 事 实 中 探 究 其 存 在 的 规律，把 藏 在 表 面 现 象 中 的 一 般 规 律 挖 掘 出 来 命 题 趋 势开 放 探 究 性

4、 问 题 是 一 个 充 满 着 观 察、归 纳、猜 想、尝 试、探 究的 发 现 过 程，需 要 学 生 对 问 题 进 行 多 方 位、多 角 度、多 层 次 的 思考、审 视，对 培 养 学 生 的 创 造 性 思 维 能 力、推 理 能 力、直 觉 思 维 能力 和 全 面 提 高 学 生 的 数 学 素 养 具 有 重 要 的 意 义，倍 受 中 考 命 题者 的 青 睐，是 中 考 试 题 的 热 点 之 一 【例】（湖 南 湘 潭）如 图，抛 物 线 狔 犪狓 狓 （犪 ）的 图 象 与 狓 轴 交 于 犃、犅 两 点，与 狔 轴 交 于 点 犆，已 知 点 犅 坐标 为（，）（

5、）求 抛 物 线 的 解 析 式；（）试 探 究 犃 犅 犆 的 外 接 圆 的 圆 心 位 置，并 求 出 圆 心 坐 标；（）若 点 犕是 线 段 犅 犆 下 方 的 抛 物 线 上 一 点，求 犕 犅 犆 的面 积 的 最 大 值，并 求 出 此 时 点 犕 的 坐 标【命 题 意 图 分 析】探 索 是 人 类 认 识 客 观 世 界 过 程 中 最 生动、最 活 跃 的 思 维 活 动，探 索 性 问 题 存 在 于 一 切 学 科 领 域 之 中，在 数 学 中 则 更 为 普 遍 初 中 数 学 中 的“探 索 发 现”型 试 题 是 指 命题 中 缺 少 一 定 的 题 设 或

6、 未 给 出 明 确 的 结 论，需 要 经 过 推 断、补 充并 加 以 证 明 的 命 题，它 不 像 传 统 的 解 答 题 或 证 明 题，在 条 件 和 结论 给 出 的 情 景 中 只 需 进 行 由 因 导 果 或 由 果 索 因 的 工 作，从 而 定格 于“条 件 演 绎 结 论”这 样 一 个 封 闭 的 模 式 之 中，而 是必 须 利 用 题 设 大 胆 猜 想、分 析、比 较、归 纳、推 理，或 由 条 件 去 探索 不 明 确 的 结 论；或 由 结 论 去 探 索 未 给 予 的 条 件；或 去 探 索 存 在的 各 种 可 能 性 以 及 发 现 所 形 成 的

7、 客 观 规 律 开 放 性 试 题 重 在 开发 思 维，促 进 创 新，提 高 数 学 素 养，所 以 是 近 几 年 中 考 试 题 的 热点 考 题 观 察、实 验、猜 想、论 证 是 解 决 这 类 问 题 的 科 学 思 维 方法，学 习 中 应 重 视 并 应 用 本 题 考 查 了 二 次 函 数 综 合 题，但 用 到 的 琐 碎 知 识 点 较 多，综合 性 很 强 熟 练 掌 握 直 角 三 角 形 的 相 关 性 质 以 及 三 角 形 的 面 积公 式 是 理 出 思 路 的 关 键【解 答】（）将 犅（，）代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中，得 犪 ，即 犪 抛

8、 物 线 的 解 析 式 为 狔 狓 狓 （）由（）的 函 数 解 析 式 可 求 得 犃（，）、犆（，）犗 犃 ，犗 犆 ，犗 犅 ，即 犗 犆 犗 犃 犗 犅 又 犗 犆 犃 犅，犗 犃 犆 犗 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犅 犆 犃 犆 犅 犗 犆 犃 犗 犆 犅 犗 犅 犆 犗 犆 犅 犃 犅 犆 为 直 角 三 角 形，犃 犅 为 犃 犅 犆 外 接 圆 的 直 径 所 以 该 外 接 圆 的 圆 心 为 犃 犅 的 中 点，且 坐 标 为（，）（）由 犅（，）、犆（，），可 得 直 线 犅 犆 的 解 析 式 为 狔 狓 设 直 线 犾 犅 犆，则 该 直 线 的 解 析 式 可 表

9、示 为 狔 狓 犫 当 直 线 犾 与 抛 物 线 只 有 一 个 交 点 时，可 列 方 程 狓 犫 狓 狓 ，即 狓 狓 犫 ，且 （犫），即 犫 直 线 犾：狔 狓 由 于 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺，当 犺 最 大（即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离最 远）时，犃 犅 犆 的 面 积 最 大，几 何 三 大 问 题（一）化 圆 为 方 求 作 一 正 方 形 使 其 面 积 等 于 一 已 知 圆 的 面 积 三 等 分 任 意 角 倍 立 方 求 作 一 立 方 体 使 其 体 积 是 一 已 知 立 方 体 的 二 倍 圆 与 正 方 形 都 是 常 见 的 几 何 图 形，

10、但 如 何 作 一 个 和 已 知 圆 等 面 积 的 正 方 形 呢？若 已 知 圆 的 半 径 为 ，则 其 面 积 为 （），所 以 化 圆为 方 的 问 题 等 于 去 求 一 正 方 形，其 面 积 为 ，也 就 是 用 尺 规 作 出 长 度 为 槡 的 线 段 所 以 点 犕 即 直 线 犾 和 抛 物 线 的 唯 一 交 点，有狔 狓 狓 ，狔 狓 烅烄烆，解 得狓 ，狔 犕（，）【方 法 点 拨】（）该 函 数 解 析 式 只 有 一 个 待 定 系 数，只 需 将点 犅 坐 标 代 入 解 析 式 中 即 可（）首 先 根 据 抛 物 线 的 解 析 式 确 定 点 犃 坐

11、 标，然 后 通 过 证 明 犃 犅 犆 是 直 角 三 角 形 来 推 导 出 直 径 犃 犅和 圆 心 的 位 置，由 此 确定 圆 心 坐 标（）犕 犅 犆 的 面 积 可 由 犛 犕 犅 犆 犅 犆 犺 表 示，若 要 它 的 面 积最 大，需 要 使 犺 取 最 大 值，即 点 犕到 直 线 犅 犆 的 距 离 最 大，若 设一 条 平 行 于 犅 犆 的 直 线，那 么 当 该 直 线 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 交点 时，该 交 点 就 是 点 犕【误 区 警 示】本 题 探 究 主 要 在 第（）问，要 注 意 条 件 的 运用，当 直 线 与 抛 物 线 只 有

12、一 个 交 点 时，联 立 方 程 组 时 取 ；例外 三 角 形 底 边 一 定，要 想 面 积 最 大，只 要 高 最 大 即 可 年 浙 江 省 新 题 精 练一、填 空 题 （湖 州）请 你 在 如 图 所 示 的 的 网 格 图 形 中 任 意画 一 个 圆，则 所 画 的 圆 最 多 能 经 过 个 格 点 中 的 个 格 点（第 题）二、解 答 题 （浙 江 丽 水）在 直 角 坐 标 系 中，点 犃 是 抛 物 线 狔 狓 在第 二 象 限 上 的 点，连 结 犗 犃，过 点 犗 作 犗 犅 犗 犃，交 抛 物 线 于点 犅，以 犗 犃、犗 犅 为 边 构 造 矩 形 犃 犗

13、犅 犆（）如 图（），当 点 犃 的 横 坐 标 为 时，矩 形 犃 犗 犅 犆 是正 方 形；（）如 图（），当 点 犃 的 横 坐 标 为 时，求 点 犅 的 坐 标；将 抛 物 线 狔 狓 作 关 于 狓 轴 的 轴 对 称 变 换 得 到 抛 物 线狔 狓 ，试 判 断 抛 物 线 狔 狓 经 过 平 移 变 换 后，能否 经 过 犃，犅，犆 三 点？如 果 可 以，说 出 变 换 的 过 程；如 果不 可 以，请 说 明 理 由（）（）（第 题）年 全 国 新 题 精 练一、选 择 题 （江 苏 扬 州）大 于 的 正 整 数 犿 的 三 次 幂 可“分 裂”成若 干 个 连 续 奇

14、 数 的 和，如 ，若 犿 分 裂 后，其 中 有 一 个 奇 数 是 ，则犿 的 值 是（）（江 西 南 昌）如 图，有 犪，犫，犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表，相邻 电 路 的 电 线 等 距 排 列，则 三 户 所 用 电 线（）犪 户 最 长 犫 户 最 长 犮 户 最 长 三 户 一 样 长（第 题）（第 题）（贵 州 六 盘 水）如 图 为 反 比 例 函 数 狔 狓 在 第 一 象 限 的图 象，点 犃 为 此 图 象 上 的 一 动 点，过 点 犃 分 别 作 犃 犅 狓 轴 和犃 犆 狔 轴，垂 足 分 别 为 犅、犆，则 四 边 形 犗 犅 犃 犆周 长 的 最

15、 小 值 几 何 三 大 问 题（二）三 大 问 题 的 第 二 个 是 三 等 分 一 个 角 的 问 题 对 于 某 些 角，如 、角 进 行 三 等 分 并 不 难，但 是 否 所 有 角 都 可 以三 等 分 呢？例 如 ，若 能 三 等 分 则 可 以 画 出 的 角，那 么 正 十 八 边 形 及 正 九 边 形 也 都 可 以 作 出 来 了（注：圆 内 接 正十 八 边 形 每 一 边 所 对 的 圆 心 角 为 ）其 实 三 等 分 角 的 问 题 是 由 求 作 正 多 边 形 这 一 类 问 题 所 引 起 来 的 为（）（江 苏 泰 州）四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，

16、对 角 线 犃 犆、犅 犇 相 交 于点 犗，给 出 下 列 四 组 条 件：犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆；犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆；犃 犗 犆 犗，犅 犗 犇 犗；犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆 其 中一 定 能 判 断 这 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 条 件 共 有（）组 组 组 组（第 题）（四 川 达 州）如 图，在 犃 犅 犆 犇中，犈是 犅 犆的 中 点，且 犃 犈 犆 犇 犆 犈，则 下 列 结 论不正确獉獉獉的 是（）犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 犅 犉 犇 犉 四 边 形 犃 犈 犆 犇 是 等 腰 梯 形 犃 犈 犅 犃 犇 犆二、填 空 题（第 题）

17、（贵 州 遵 义）在 的 方 格 中 有 五个 同 样 大 小 的 正 方 形 如 图 摆 放，移 动 其 中一 个 正 方 形 到 空 白 方 格 中，与 其 余 四 个 正方 形 组 成 的 新 图 形 是 一 个 轴 对 称 图 形，这样 的 移 法 共 有 种 （山 东 滨 州）根 据 你 学 习 的 数 学知 识，写 出 一 个 运 算 结 果 为 犪 的 算 式 （贵 州 安 顺）如 图，添 加 一 个 条 件 使 得 犃 犇 犈 犃 犆 犅，（第 题）（第 题）（四 川 广 元）如 图，点 犃 的 坐 标 为（，），点 犅 在 直 线狔 狓 上 运 动，当 线 段 犃 犅 最 短

18、 时，点 犅 的 坐 标 为 （新 疆）请 你 写 出 一 个 主 视 图 与 左 视 图 相 同 的 立 体 图形 是 （四 川 绵 阳）如 图 所 示，犅 犆 犈 犆，要 使 犃 犅 犆 犇 犈 犆，则 应 添 加 的 一 个 条 件 为 （第 题）（第 题）（辽 宁 丹 东）如 图，边 长 为 的 正 方 形 犃 犅 犆 犇 内 部 有一 点 犘，犅 犘 ，犘 犅 犆 ，点 犙 为 正 方 形 边 上 一 动 点，且 犘 犅 犙 是 等 腰 三 角 形，则 符 合 条 件 的 犙 点 有 个 （贵 州 黔 东 南 州）用 根 相 同 长 度 的 木 棒 在 空 间 中 最多 可 搭 成

19、个 正 三 角 形 （山 东 德 州）在 四 边 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犅 犆 犇，要 使 四 边形 犃 犅 犆 犇 是 中 心 对 称 图 形，只 需 添 加 一 个 条 件，这 个 条 件 可以 是 （广 州 白 云 区 模 拟）已 知 反 比 例 函 数 狔 犽狓，其 图 象 所在 的 每 个 象 限 内 狔 随 着 狓 的 增 大 而 增 大，请 写 出 一 个 符 合 条件 的 反 比 例 函 数 关 系 式：（安 徽）定 义 运 算 犪 犫 犪（犫），下 列 给 出 了 关 于 这种 运 算 的 几 点 结 论：（）；犪 犫 犫 犪；若 犪 犫 ，则（犪 犪）（犫 犫）犪犫；

20、若 犪 犫 ，则 犪 其 中 正 确 结 论 序 号 是 （在 横 线 上 填 上 你 认 为 所 有正 确 结 论 的 序 号）三、解 答 题 （陕 西）如 果 一 条 抛 物 线 狔 犪狓 犫狓 犮（犪 ）与 狓轴 有 两 个 交 点，那 么 以 该 抛 物 线 的 顶 点 和 这 两 个 交 点 为 顶 点的 三 角 形 称 为 这 条 抛 物 线 的“抛 物 线 三 角 形”（）“抛 物 线 三 角 形”一 定 是 三 角 形；（）若 抛 物 线 狔 狓 犫狓（犫 ）的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰直 角 三 角 形，求 犫 的 值；（）如 图，犗 犃 犅 是 抛 物 线 狔 狓

21、 犫狓（犫 ）的“抛 物 线三 角 形”，是 否 存 在 以 原 点 犗 为 对 称 中 心 的 矩 形 犃 犅 犆 犇？若 存 在，求 出 过 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 的 表 达 式；若 不 存在，说 明 理 由（第 题）（四 川 广 元）如 图，在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，点 犃、犅、犆、犇 在 同 一 直 线 上，有 如 下 三 个 关 系 式：犃 犈 犇 犉，犃 犅 犆 犇，犆 犈 犅 犉（）请 用 其 中 两 个 关 系 式 作 为 条 件，另 一 个 作 为 结 论，写 出 你认 为 正 确 的 所 有 命 题（用 序 号 写 出 命 题 书 写 形 式

22、：“如 果 ，那 么 ”）；（）选 择（）中 你 写 出 的 一 个 命 题，说 明 它 正 确 的 理 由（第 题）几 何 三 大 问 题（三）第 三 个 问 题 是 倍 立 方 埃 拉 托 塞 尼（公 元 前 年 公 元 前 年）曾 经 在 记 述 一 个 神 话 时 提 到 说 有 一 个 先 知 者 得 到 神 谕 必 须 将 立 方形 的 祭 坛 的 体 积 加 倍，有 人 主 张 将 每 边 长 加 倍，但 我 们 都 知 道 那 是 错 误 的，因 为 体 积 已 经 变 成 原 来 的 倍 这 些 问 题 困 扰 数 学 家 一 千 多 年都 不 得 其 解，而 实 际 上 这

23、 三 大 问 题 都 不 可 能 用 直 尺、圆 规 经 有 限 步 骤 解 决 （福 建 漳 州）在 数 学 课 上，林 老 师 在 黑 板 上 画 出 如 图 所示 的 图 形（其 中 点 犅、犉、犆、犈 在 同 一 直 线 上），并 写 出 四 个 条件：犃 犅 犇 犈，犅 犉 犈 犆，犅 犈，请 你 从 这 四 个 条 件 中 选 出 三 个 作 为 题 设，另 一 个 作 为 结 论，组 成 一 个 真 命 题獉 獉 獉，并 给 予 证 明 题 设：；结 论：（均 填 写 序 号）证 明：（第 题）（辽 宁 阜 新）（）如 图，在 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 中，犃 犅 犃 犆，犃

24、犇 犃 犈，犅 犃 犆 犇 犃 犈 当 点 犇 在 犃 犆 上 时，如 图（），线 段 犅 犇、犆 犈 有 怎 样 的 数 量关 系 和 位 置 关 系？直 接 写 出 你 猜 想 的 结 论 将 图（）中 的 犃 犇 犈 绕 点 犃顺 时 针 旋 转 角（），如 图（），线 段 犅 犇、犆 犈 有 怎 样 的 数 量 关 系 和 位 置 关系？请 说 明 理 由（）当 犃 犅 犆 和 犃 犇 犈 满 足 下 面 甲、乙、丙 中 的 哪 个 条 件时，使 线 段 犅 犇、犆 犈 在（）中 的 位 置 关 系 仍 然 成 立？不 必说 明 理 由 甲：犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆

25、 犇 犃 犈 ；乙：犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犈 ；丙：犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犈 （第 题）（吉 林）在 如 图 所 示 的 三 个 函 数 图 象 中，有 两 个 函 数 图象 能 近 似 地 刻 画 如 下 犪，犫 两 个 情 境：情 境 犪：小 芳 离 开 家 不 久，发 现 把 作 业 本 忘 在 家 里，于 是 返 回家 里 找 到 了 作 业 本 再 去 学 校；情 境 犫：小 芳 从 家 出 发，走 了 一 段 路 程 后，为 了 赶 时 间，以 更快 的 速 度 前 进（）情 境 犪，犫 所 对 应 的 函 数 图 象

26、 分 别 为 ，；（填 写 序 号）（）请 你 为 剩 下 的 函 数 图 象 写 出 一 个 适 合 的 情 境（第 题）（四 川 资 阳）（）如 图（），正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的 边 上，直 接 写 出 犎 犇 犌 犆 犈 犅 的 结 果；（不 必 写 计 算 过 程）（）将 图（）中 的 正 方 形 犃 犈 犌 犎绕 点 犃旋 转 一 定 角 度，如 图（），求 犎 犇 犌 犆 犈 犅；（）把 图（）中 的 正 方 形 都 换 成 矩 形，如 图（），且 已 知 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀，此 时 犎 犇 犌 犆 犈 犅 的

27、 值 与（）小 题 的 结 果 相 比 有 变 化 吗？如 果 有 变 化，直 接 写 出 变 化后 的 结 果（不 必 写 计 算 过 程）（）（）（）（第 题）现 代 数 学 上 的 三 大 难 题（一）一 是 有 棵 树，每 行 四 棵，古 罗 马、古 希 腊 在 世 纪 就 完 成 了 行 的 排 列，世 纪 高 斯 猜 想 能 排 行，世 纪 美 国劳 埃 德 完 成 此 猜 想，世 纪 末 两 位 电 子 计 算 机 高 手 完 成 行 纪 录，跨 入 世 纪 还 会 有 新 突 破 吗？（山 西）问 题 情 境：将 一 副 直 角 三 角 板（犃 犅 犆 和 犇 犈 犉）按 图（

28、）所 示 的 方 式 摆 放，其 中 犃 犆 犅 ，犆 犃 犆 犅，犉 犇 犈 ，犗 是 犃 犅 的 中 点，点 犇 与 点 犗 重 合，犇 犉 犃 犆 于 点 犕，犇 犈 犅 犆 于 点 犖，试 判 断 线 段 犗 犕与 犗 犖的数 量 关 系，并 说 明 理 由 探 究 展 示：小 宇 同 学 展 示 出 如 下 正 确 的 解 法：解：犗 犕 犗 犖，证 明 如 下：连 结 犆 犗，则 犆 犗 是 犃 犅 边 上 的 中 线 犆 犃 犆 犅，犆 犗 是 犃 犆 犅 的 角 平 分 线（依 据 ）犗 犕 犃 犆，犗 犖 犅 犆，犗 犕 犗 犖（依 据 ）反 思 交 流：（）上 述 证 明

29、过 程 中 的“依 据 ”和“依 据 ”分 别 是 指：依 据 ：依 据 ：（）你 有 与 小 宇 不 同 的 思 考 方 法 吗？请 写 出 你 的 证 明 过 程 拓 展 延 伸：（）将 图（）中 的 犇 犈 犉 沿 着 射 线 犅 犃 的 方 向 平 移 至 如 图（）所 示 的 位 置，使 点 犇 落 在 犅 犃的 延 长 线 上，犉 犇 的 延长 线 与 犆 犃 的 延 长 线 垂 直 相 交 于 点 犕，犅 犆 的 延 长 线 与犇 犈 垂 直 相 交 于 点 犖，连 结 犗 犕、犗 犖，试 判 断 线 段 犗 犕、犗 犖 的 数 量 关 系 与 位 置 关 系，并 写 出 证 明

30、 过 程（）（）（第 题）（安 徽）在 由 犿 狀（犿 狀 ）个 小 正 方 形 组 成 的 矩 形网 格 中，研 究 它 的 一 条 对 角 线 所 穿 过 的 小 正 方 形 个 数 犳（）当 犿，狀 互 质（犿，狀 除 外 无 其 他 公 因 数）时，观 察 下 列 图形 并 完 成 下 表：（第 题）犿狀犿 狀犳猜 想：当 犿，狀 互 质 时，在 犿 狀 的 矩 形 网 格 中，一 条 对 角线 所 穿 过 的 小 正 方 形 的 个 数 犳与 犿，狀 的 关 系 式 是 ；（不 需 要 证 明）（）当 犿，狀 不 互 质 时，请 画 图 验 证 你 猜 想 的 关 系 式 是 否 依

31、 然成 立现 代 数 学 上 的 三 大 难 题（二）二 是 相 邻 两 国 不 着 同 一 色，任 一 地 图 着 色 最 少 可 用 几 色 完 成 着 色？五 色 已 证 出，四 色 至 今 仅 美 国 阿 佩 尔 和 哈 肯，罗列 了 很 多 图 谱，通 过 电 子 计 算 机 逐 一 验 证 完 成，全 面 的 逻 辑 的 人 工 推 理 证 明 尚 待 有 志 者 （山 东 滨 州）我 们 知 道“连 结 三 角 形 两 边 中 点 的 线 段 叫三 角 形 的 中 位 线”，“三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 三 角 形 的 第 三边，且 等 于 第 三 边 的 一 半”类

32、 似 的，我 们 把 连 结 梯 形 两 腰 中点 的 线 段 叫 做 梯 形 的 中 位 线 如 图，在 梯 形 犃 犅 犆 犇 中，犃 犇 犅 犆，点 犈、犉 分 别 是 犃 犅、犆 犇 的 中 点，那 么 犈 犉 就 是 梯 形 犃 犅犆 犇 的 中 位 线 通 过 观 察、测 量，猜 想 犈 犉 和 犃 犇、犅 犆 有 怎 样的 位 置 和 数 量 关 系？并 证 明 你 的 结 论（第 题）（河 南）类 比、转 化、从 特 殊 到 一 般 等 思 想 方 法，在 数 学学 习 和 研 究 中 经 常 用 到，如 下 是 一 个 案 例，请 补 充 完 整 原 题：如 图（），在 犃

33、犅 犆 犇 中，点 犈 是 边 犅 犆 上 的 中 点，点 犉是 线 段 犃 犈 上 一 点，犅 犉 的 延 长 线 交 射 线 犆 犇于 点 犌，若 犃 犉犈 犉 ，求 犆 犇犆 犌 的 值（）尝 试 探 究在 图（）中，过 点 犈 作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎，则 犃 犅 和犈 犎的 数 量 关 系 是 ，犆 犌 和 犈 犎的 数 量 关 系 是 ，犆 犇犆 犌 的 值 是 （）类 比 延 伸如 图（），在 原 题 的 条 件 下，若 犃 犉犈 犉 犿（犿 ），则 犆 犇犆 犌 的 值是 （用 含 犿 的 代 数 式 表 示），试 写 出 解 答 过 程（）拓 展 迁 移如

34、图（），梯 形 犃 犅 犆 犇 中，犇 犆 犃 犅，点 犈 是 犅 犆 延 长 线 上一 点，犃 犈 和 犅 犇相 交 于 点 犉，若 犃 犅犆 犇 犪，犅 犆犅 犈 犫（犪 ，犫 ），则 犃 犉犈 犉 的 值 是 （用 含 犪，犫 的 代 数 式 表 示）（）（）（）（第 题）（江 苏 连 云 港）已 知 梯 形 犃 犅 犆 犇，犃 犇 犅 犆，犃 犅 犅 犆，犃 犇 ，犃 犅 ，犅 犆 （）（）（）（第 题）问 题 ：如 图（），犘 为 边 犃 犅 上 的 一 点，以 犘 犇、犘 犆 为 边 作 平行 四 边 形 犘 犆 犙 犇，请 问 对 角 线 犘 犙、犇 犆 的 长 能 否 相 等，

35、为什 么？问 题 ：如 图（），若 犘 为 边 犃 犅 上 一 点，以 犘 犇、犘 犆 为 边 作 平行 四 边 形 犘 犆 犙 犇，请 问 对 角 线 犘 犙 的 长 是 否 存 在 最 小 值？如果 存 在，请 求 出 最 小 值；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由 问 题 ：若 犘 为 边 犃 犅上 任 意 一 点，延 长 犘 犇 到 犈，使 犇 犈 犘 犇，再 以 犘 犈、犘 犆 为 边 作 平 行 四 边 形 犘 犆 犙 犈，请 探 究 对 角 线犘 犙 的 长 是 否 也 存 在 最 小 值？如 果 存 在，请 求 出 最 小 值；如果 不 存 在，请 说 明 理 由 问 题

36、：如 图（），若 犘 为 边 犇 犆 上 任 意 一 点，延 长 犘 犃 到 犈，使 犃 犈 狀犘 犃（狀 为 常 数），以 犘 犈、犘 犅 为 边 作 平 行 四 边 形犘 犅 犙 犈，请 探 究 对 角 线 犘 犙 的 长 是 否 也 存 在 最 小 值？如 果 存在，请 求 出 最 小 值；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由 现 代 数 学 上 的 三 大 难 题（三）三 是 任 三 人 中 可 证 必 有 两 人 同 性，任 六 人 中 必 有 三 人 互 相 认 识 或 互 相 不 认 识（认 识 用 红 线 连，不 认 识 用 蓝 线 连，即六 质 点 中 二 色 线 连 必

37、出 现 单 色 三 角 形）近 年 来 国 际 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 也 围 绕 此 类 热 点 题 型 遴 选 后 备 攻 坚 力 量（如 十七 个 科 学 家 讨 论 三 课 题，两 两 讨 论 一 个 题，证 至 少 三 个 科 学 家 讨 论 同 一 题；十 八 个 点 用 两 色 连 必 出 现 单 色 四 边 形；两 色连 六 个 点 必 出 现 两 个 单 色 三 角 形，等 等）单 色 三 角 形 研 究 中，尤 以 不 出 现 单 色 三 角 形 的 极 值 图 谱 的 研 究 更 是 难 点 中 的 难点，热 门 中 的 热 门 （山 东 济 宁 模 拟）数 学

38、课 上，李 老 师 出 示 了 这 样 一 道 题目：如 图（），正 方 形 犃 犅 犆 犇 的 边 长 为 ，犘 为 边 犅 犆 延 长 线上 的 一 点，犈 为 犇 犘 的 中 点，犇 犘 的 垂 直 平 分 线 交 边 犇 犆 于 点犕，交 边 犃 犅 的 延 长 线 于 点 犖 当 犆 犘 时，犈 犕 与 犈 犖的 比值 是 多 少？经 过 思 考，小 明 展 示 了 一 种 正 确 的 解 题 思 路：过 点 犈 作 直 线平 行 于 犅 犆 交 犇 犆、犃 犅 分 别 于 犉、犌，如 图（），则 可 得 犇 犉犉 犆 犇 犈犈 犘，因 为 犇 犈 犈 犘，所 以 犇 犉 犉 犆 可

39、 求 出 犈 犉 和 犈 犌 的 值，进 而 可 求 得 犈 犕 与 犈 犖的 比 值（）请 按 照 小 明 的 思 路 写 出 求 解 过 程；（）小 东 又 对 此 题 作 了 进 一 步 探 究，得 出 了 犇 犘 犕 犖的 结论 你 认 为 小 东 的 这 个 结 论 正 确 吗？如 果 正 确，请 给 予 证明；如 果 不 正 确，请 说 明 理 由（第 题）（山 东 威 海）如 图，犃 犅 犆 犇 是 一 张 矩 形 纸 片，犃 犇 犅 犆 ，犃 犅 犆 犇 在 矩 形 犃 犅 犆 犇 的 边 犃 犅上 取 一 点 犕，在犆 犇 上 取 一 点 犖，将 纸 片 沿 犕 犖 折 叠，

40、使 犕 犅 与 犇 犖交 于 点犓，得 到 犕 犖 犓（第 题）（）若 ，求 犕 犓 犖 的 度 数；（）犕 犖 犓 的 面 积 能 否 小 于？若 能，求 出 此 时 的 度数；若 不 能，试 说 明 理 由（）如 何 折 叠 能 够 使 犕 犖 犓 的 面 积 最 大？请 你 利 用 备 用 图探 究 可 能 出 现 的 情 况，求 出 最 大 值（备 用 图）（山 东 烟 台 模 拟）已 知：如 图，在 四 边 形 犃 犅 犆 犇中，犃 犅 犆 ，犆 犇 犃 犇，犃 犇 犆 犇 犃 犅 （）求 证：犃 犅 犅 犆；（）当 犅 犈 犃 犇 于 犈 时，试 证 明：犅 犈 犃 犈 犆 犇（第

41、 题）（湖 北 襄 阳）如 图，点 犇、犈 在 犃 犅 犆 的 边 犅 犆 上，连 结犃 犇、犃 犈 犃 犅 犃 犆；犃 犇 犃 犈；犅 犇 犆 犈 以 此 三 个 等式 中 的 两 个 作 为 命 题 的 题 设，另 一 个 作 为 命 题 的 结 论，构 成三 个 命 题：；（）以 上 三 个 命 题 是 真 命 题 的 为 （直 接 作 答）；（）请 选 择 一 个 真 命 题 进 行 证 明（先 写 出 所 选 命 题，然 后 证明）（第 题）开 放 探 究 题 年 浙 江 省 新 题 精 练 （）（）过 点 犃 作 犃 犈 狓 轴 于 点 犈，过 点 犅 作 犅 犉 狓 轴 于点 犉

42、 当 狓 时，狔（），即 犗 犈 ，犃 犈 ，由 犃 犈 犗 犗 犉 犅，得：犗 犉犅 犉 犃 犈犈 犗 设 犗 犉 狋，则 犅 犉 狋，（第 题）狋 狋，解 得 狋 （舍 去），狋 犅（，）过 点 犆 作 犆 犌 犌 犉 于 点 犌，犃 犈 犗 犅 犌 犆，犆 犌 犗 犈 ，犅 犌 犃 犈 狓 犮 ，狔 犮 点 犆，（）设 过 犃、犅 两 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 犫狓 犮，由 题意 得 犫 犮 ，犫 犮 烅烄烆解 得犫 ，犮 经 过 犃、犅 两 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 狓 当 狓 时，狔 （），所 以 点 犆 也在 抛 物 线 上 故 经 过 犃、犅、

43、犆 三 点 的 抛 物 线 解 析 式 为 狔 狓 狓 狓（）平 移 方 案：先 将 抛 物 线 狔 狓 向 右 平 移 个 单 位，再 向上 平 移 个 单 位 得 到 抛 物 线 狔 狓（）年 全 国 新 题 精 练 解 析 ，犿 分 裂 后 的 第 一 个 数 是 犿（犿 ），共 有 犿 个 奇数 （），（），第 个 奇 数 是 底 数 为 的 数 的 立 方 分 裂 后 的 一个 奇 数 犿 解 析 犪、犫、犮 三 户 家 用 电 路 接 入 电 表，相 邻 电 路的 电 线 等 距 排 列，将 犪 向 右 平 移 即 可 得 到 犫、犮 图 形 的 平 移 不 改 变 图 形 的 大

44、 小，三 户 一 样 长 解 析 反 比 例 函 数 狔 狓 在 第 一 象 限 的 图 象，点犃 为 此 图 象 上 的 一 动 点，过 点 犃 分 别 作 犃 犅 狓 轴 和 犃 犆 狔 轴，垂 足 分 别 为 犅，犆 四 边 形 犗 犅 犃 犆 为 矩 形 设 宽 犅 犗 狓，则 犃 犅 狓，则 狊 狓 狓 狓 槡狓 ，当 且 仅 当 狓 狓，即 狓 时，取 等 号 故 函 数 狊 狓 狓（狓 ）的 最 小 值 为 故 狓 （）狓 ，则 四 边 形 犗 犅 犃 犆 周 长 的 最 小 值 为 解 析 都 能 判 断 解 析 由 相 似 形 性 质 知 犛 犃犉 犇 犛 犈犉 犅 解 析

45、沿 一 条 直 线 对 折 后 能 完 全 重 合 的 图 形 叫 轴 对 称图 形 犪 犪 犪 （答 案 不 唯 一）犇 犆 或 犈 犅 或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 解 析 ，犅 犃 犈 犅 犃 犈，即 犇 犃 犈 犆 犃 犅 当 犇 犆或 犈 犅或 犃 犇犃 犆 犃 犈犃 犅 时，犃 犇 犈 犃 犆 犅 ，（）解 析 由 犃 点 向 直 线 狔 狓 作 垂 线，因为 垂 线 段 最 短 答 案 不 唯 一 例 如：圆 或 正 方 体 等 答 案 不 唯 一 例 如：犃 犆 犆 犇 解 析 犃 犅 边 上 有 两 点，其 余 三 边 各 有 一 点 满 足 要 求 解 析 用 根 火 柴

46、 棒 搭 成 正 四 面 体，四 个 面 都 是 正 三角 形 不 唯 一，可 以 是：犃 犅 犆 犇 或 犃 犇 犅 犆，犅 犆 ，犃 犇 等（只 要 填 写 一 种 情 况）例 如 狔 狓 解 析 只 要 犽 为 负 数 即 可 解 析 犪犫 犪（犫），犫犪 犫（犪），不 正 确；若 犪犫 ，则 犪（犫）得 犪 或 犫 ，不 正 确 （）等 腰（）抛 物 线 狔 狓 犫狓（犫 ）的“抛 物 线 三 角 形”是 等 腰 直 角 三 角 形，该 抛 物 线 的 顶 点犫，犫（）满 足 犫 犫 （犫 ）犫 （）存 在 如 图，作 犗 犆 犇 与 犗 犃 犅 关 于 原 点 犗 中 心 对 称，则

47、 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 平 行 四 边 形 当 犗 犃 犗 犅 时，平 行 四 边 形 犃 犅 犆 犇 为 矩 形 又 犃 犗 犃 犅，犗 犃 犅 为 等 边 三 角 形 作 犃 犈 犗 犅，垂 足 为 犈 犃 犈槡 犗 犈 犫 槡 犫（犫 ）犫槡 犃（槡，），犅（槡 ，）犆（槡，），犇（槡 ，）设 过 点 犗、犆、犇 三 点 的 抛 物 线 狔 犿 狓 狀狓，则犿槡 狀 ，犿槡狀 解 得犿 ，狀槡 （）所 求 抛 物 线 的 表 达 式 为 狔 狓 槡 狓（第 题）（）命 题 ：如 果 ，那 么 ；命 题 ：如 果 ，那 么（第 题）（）命 题 的 证 明：犃 犈 犇 犉，犃 犇

48、犃 犅 犆 犇，犃 犅 犅 犆 犆 犇 犅 犆，即 犃 犆 犇 犅 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，犃 犇，犃 犆 犇 犅，犃 犈 犆 犇 犉 犅（）犆 犈 犅 犉（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等）命 题 的 证 明：犃 犈 犇 犉，犃 犇 在 犃 犈 犆 和 犇 犉 犅 中，犈 犉，犃 犇，犆 犈 犅 犉，犃 犈 犆 犇 犉 犅（犃 犃 犛）犃 犆 犇 犅（全 等 三 角 形 对 应 边 相 等），则 犃 犆 犅 犆 犇 犅 犅 犆，即 犃 犅 犆 犇 注：命 题“如 果 ，那 么 ”是 假 命 题 情 况 一：题 设：；结 论：犅 犉 犈 犆，犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆

49、 犉，即 犅 犆 犈 犉（第 题）在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中，犃 犅 犇 犈，犅 犈，犅 犆 犈 犉烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 情 况 二：题 设：；结 论：在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中，犃 犅 犇 犈，犅 犈，烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 犅 犆 犈 犉 犅 犆 犉 犆 犈 犉 犉 犆，即 犅 犉 犈 犆 情 况 三：题 设：；结 论：犅 犉 犈 犆，犅 犉 犆 犉 犈 犆 犆 犉，即 犅 犆 犈 犉 在 犃 犅 犆 和 犇 犈 犉 中，犅 犈，犅 犆 犈 犉，烅烄烆，犃 犅 犆 犇 犈 犉 犃 犅 犇 犈（注：若 题 设 为 ，结 论 为 则 不 可 以）（）结 论：犅

50、 犇 犆 犈，犅 犇 犆 犈 结 论：犅 犇 犆 犈，犅 犇 犆 犈 理 由 如 下：犅 犃 犆 犇 犃 犈 ，犅 犃 犆 犇 犃 犆 犇 犃 犈 犇 犃 犆 即 犅 犃 犇 犆 犃 犈 在 犃 犅 犇 与 犃 犆 犈 中，犃 犅 犃 犆，犅 犃 犇 犆 犃 犈，犃 犇 犃 犈烅烄烆 犃 犅 犇 犃 犆 犈 犅 犇 犆 犈，犃 犅 犇 犃 犆 犈 延 长 犅 犇 交 犃 犆 于 犉，交 犆 犈 于 犎 在 犃 犅 犉 和 犎 犆 犉 中，犃 犅 犉 犎 犆 犉，犃 犉 犅 犎 犉 犆，犆 犎 犉 犅 犃 犉 犅 犇 犆 犈（）结 论：乙 犃 犅 犃 犆 犃 犇 犃 犈，犅 犃 犆 犇 犃 犈

51、（），（）小 芳 从 家 出 发 去 书 店 看 了 一 会 儿 书，又 返 回 家 中（注：本 题 答 案 不 唯 一，但 必 须 要 有 个 情 境，即“从 家 出 发”，“过 程 有 停 留”，“终 点 回 到 家”）（）如 图（），连 结 犃 犌，正 方 形 犃 犈 犌 犎的 顶 点 犈、犎在 正 方 形 犃 犅 犆 犇的 边上，犌 犃 犈 犆 犃 犅 ，犃 犈 犃 犎，犃 犅 犃 犇 犃、犌、犆 共 线，犃 犅 犃 犈 犃 犇 犃 犎 犎 犇 犅 犈 犃 犌 犃 犈槡 犃 犈，犃 犆 犃 犅槡 犃 犅 犌 犆 犃 犆 犃 犌槡 犃 犅槡 犃 犈槡（犃 犅 犃 犈）槡犅 犈 犎 犇 犌

52、 犆 犈 犅槡 （）如 图（），连 结 犃 犌、犃 犆，犃 犇 犆 和 犃 犎 犌 都 是 等 腰 直 角 三 角 形，犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌槡 ，犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌 犆 犃 犇 犃 犆槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ，犇 犃 犎 犅 犃 犈 在 犇 犃 犎 和 犅 犃 犈 中，犃 犇 犃 犅，犇 犃 犎 犅 犃 犈，犃 犎 犃 犈烅烄烆，犇 犃 犎 犅 犃 犈（）犎 犇 犈 犅 犎 犇 犌 犆 犈 犅槡 （）有 变 化 如 图（），连 结 犃 犌、犃 犆 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀，又 犃 犇 犆 犃 犎 犌 ，

53、犃 犇 犆 犃 犎 犌 犃 犇 犃 犆 犃 犎 犃 犌 犿 犿 狀槡，犇 犃 犆 犎 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犇 犃 犎 犆 犃 犌 犎 犇 犌 犆 犃 犇 犃 犆 犿 犿 狀槡 犇 犃 犅 犎 犃 犈 ，犇 犃 犎 犅 犃 犈 犇 犃 犃 犅 犎 犃 犃 犈 犿 狀，犃 犇 犎 犃 犅 犈 犇 犎 犅 犈 犃 犇 犃 犅 犿 狀 犎 犇 犌 犆 犈 犅 犿 犿 狀槡 狀（第 题）（）等 腰 三 角 形 三 线 合 一（或 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线、底 边 上 的 中 线、底 边 上 的 高 互 相 重 合）；角 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 距 离 相

54、 等（）证 明：犆 犃 犆 犅，犃 犅 犗 是 犃 犅 的 中 点，犗 犃 犗 犅 犇 犉 犃 犆，犇 犈 犅 犆，犃 犕 犗 犅 犖 犗 在 犗 犕 犃 和 犗 犖 犅 中，犃 犅，犗 犃 犗 犅，犃 犕 犗 犅 犖 犗烅烄烆，犗 犕 犃 犗 犖 犅（）犗 犕 犗 犖（）犗 犕 犗 犖，犗 犕 犗 犖 理 由 如 下：如 图，连 结 犆 犗，则 犆 犗 是 边 犃 犅 上 的 中 线 犃 犆 犅 ，犗 犆 犃 犅 犗 犅 又 犆 犃 犆 犅，犆 犃 犅 犅 ，犃 犗 犆 犅 犗 犆 犅 犅 犖 犇 犈，犅 犖 犇 又 犅 ，犅 犇 犖 犖 犅 犃 犆 犅 ，犖 犆 犕 又 犅 犖 犇 犈，犇

55、 犖 犆 四 边 形 犇 犕 犆 犖 是 矩 形 犇 犖 犕 犆 犕 犆 犖 犅 又 犅，犗 犆 犗 犅，犕 犗 犆 犖 犗 犅（）犗 犕 犗 犖，犕 犗 犆 犖 犗 犅 犕 犗 犆 犆 犗 犖 犖 犗 犅 犆 犗 犖，即 犕 犗 犖 犅 犗 犆 犗 犕 犗 犖（第 题）表 中 填：，关 系 式：犳 犿 狀 （）当 犿，狀 不 互 质 时，关 系 式 犳 犿 狀 不 成 立 例 如：当 犿 ，狀 时，如 图，对 角 线 所 穿 过 的 小 正 方 形 个 数 犳 ，而 犿 狀 ，等 式 犳 犿 狀 不 成 立（第 题）结 论 为：犈 犉 犃 犇 犅 犆，犈 犉 （犃 犇 犅 犆）理 由 如 下

56、：（第 题）如 图，连 结 犃 犉 并 延 长 交 犅 犆 于 点 犌 犃 犇 犅 犌，犇 犃 犉 犌 在 犃 犇 犉 和 犌 犆 犉 中，犇 犃 犉 犌，犇 犉 犃 犆 犉 犌，犇 犉 犉 犆烅烄烆，犃 犇 犉 犌 犆 犉 犃 犉 犉 犌，犃 犇 犆 犌 又 犃 犈 犈 犅，犈 犉 犅 犌，犈 犉 犅 犌 即 犈 犉 犃 犇 犅 犆，犈 犉 （犃 犇 犅 犆）（）犃 犅 犈 犎 犆 犌 犈 犎 （）犿作 犈 犎 犃 犅 交 犅 犌 于 点 犎，则 犈 犎 犉 犃 犅 犉 犃 犅犈 犎 犃 犉犈 犉 犿，犃 犅 犿 犈 犎 犃 犅 犆 犇，犆 犇 犿 犈 犎 犈 犎 犃 犅 犆 犇，犅 犈 犎

57、 犅 犆 犌 犆 犌犈 犎 犅 犆犅 犈 犆 犌 犈 犎 犆 犇犆 犌 犿 犈 犎犈 犎 犿（）犪犫 问 题 ：四 边 形 犘 犆 犙 犇 是 平 行 四 边 形，若 对 角 线 犘 犙、犇 犆 相 等，则 四 边 形 犘 犆 犙 犇 是 矩 形，犇 犘 犆 犃 犇 ，犃 犅 ，犅 犆 ，犇 犆槡 设 犘 犅 狓，则 犃 犘 狓 在 犇 犘 犆 中，犘 犇 犘 犆 犇 犆 ，即 狓 （狓），化 简 得 狓 狓 （），方 程 无 解 对 角 线 犘 犙 与 犇 犆 不 可 能 相 等 问 题 ：如 图（），在 平 行 四 边 形 犘 犆 犙 犇 中，设 对 角 线 犘 犙与 犇 犆 相 交 于

58、点 犌，则 犌 是 犇 犆 的 中 点 过 点 犙 作 犙 犎 犅 犆，交 犅 犆 的 延 长 线 于 犎 犃 犇 犅 犆，犃 犇 犆 犇 犆 犎，即 犃 犇 犘 犘 犇 犌 犇 犆 犙 犙 犆 犎 犘 犇 犆 犙，犘 犇 犆 犇 犆 犙 犃 犇 犘 犙 犆 犎 又 犘 犇 犆 犙，犃 犇 犘 犎 犆 犙 犃 犇 犎 犆 犃 犇 ，犅 犆 ，犅 犎 当 犘 犙 犃 犅 时，犘 犙 的 长 最 小，即 为 问 题 ：如 图（），设 犘 犙 与 犇 犆 相 交 于 点 犌 犘 犈 犆 犙，犘 犇 犇 犈，犇 犌犌 犆 犘 犇犆 犙 犌 是 犇 犆 上 一 定 点 作 犙 犎 犅 犆，交 犅 犆 的

59、 延 长 线 于 点 犎 同 理 可 证 犃 犇 犘 犙 犆 犎 犃 犇 犘 犎 犆 犙，即 犃 犇犆 犎 犘 犇犆 犙 犆 犎 犅 犎 犅 犆 犆 犎 当 犘 犙 犃 犅 时，犘 犙 的 长 最 小，即 为 问 题 ：如 图（），设 犘 犙 与 犃 犅 相 交 于 点 犌 犘 犈 犅 犙，犃 犈 狀犘 犃，犘 犃犅 犙 犃 犌犅 犌 狀 犌 是 犇 犆 上 一 定 点 作 犙 犎 犘 犈，交 犆 犅 的 延 长 线 于 犎，过 点 犆 作 犆 犓 犆 犇，交 犙 犎 的 延 长 线 于 犓 犃 犇 犅 犆，犃 犅 犅 犆，犇 犙 犎 犆，犇 犃 犘 犘 犃 犌 犙 犅 犎 犙 犅 犌 ，犘

60、犃 犌 犙 犅 犌 犙 犅 犎 犘 犃 犇 犃 犇 犘 犅 犎 犙 犃 犇犅 犎 犘 犃犅 犙 狀 犃 犇 ，犅 犎 狀 犆 犎 犅 犎 犅 犆 狀 狀 过 点 犇 作 犇 犕 犅 犆 于 犕，则 四 边 形 犃 犅 犖 犇 是 矩 形 犅 犕 犃 犇 ，犇 犕 犃 犅 犆 犕 犅 犆 犅 犕 犇 犕 犇 犆 犕 犓 犆 犎 犆 犓 犆 犎 槡（狀 ）当 犘 犙 犆 犇 时，犘 犙 的 长 最 小，最 小 值 为 槡（狀 ）（）（）（）（第 题）（）过 犈 作 直 线 平 行 于 犅 犆 交 犇 犆、犃 犅 分 别 于 点 犉、犌，则 犇 犉犉 犆 犇 犈犈 犘，犈 犕犈 犖 犈 犉犈 犌，犌

61、 犉 犅 犆 犇 犈 犈 犘，犇 犉 犉 犆 犈 犉 犆 犘 ，犈 犌 犌 犉 犈 犉 犈 犕犈 犖 犈 犉犈 犌 （）正 确 作 犕 犎 犅 犆 交 犃 犅 于 点 犎，则 犕 犎 犆 犅 犆 犇，犕 犎 犖 犇 犆 犘 ，犇 犆 犘 犕 犎 犖（第 题）犕 犖 犎 犆 犕 犖 犇 犕 犈 犆 犇 犘，犇 犘 犆 犆 犇 犘，犇 犘 犆 犕 犖 犎 犇 犘 犆 犕 犖 犎 犇 犘 犕 犖 （）犃 犅 犆 犇 是 矩 形，犃 犕 犇 犖 犓 犖 犕 犓 犕 犖 ，犓 犖 犕 犓 犕 犖 ，犓 犖 犕 犓 犕 犖 犕 犓 犖 （）不 能 如 图（），过 点 犕 作 犕 犈 犇 犖，垂 足 为 犈

62、，则 犕 犈 犃 犇 （第 题（）由（）知 犓 犖 犕 犓 犕 犖 犕 犓 犖 犓 又 犕 犓 犕 犈，犖 犓 犛 犕 犖 犓 犖 犓 犕 犈 犕 犖 犓 的 面 积 最 小 值 为 ，不 可 能 小 于 （）分 两 种 情 况：情 况 一：如 图（），将 矩 形 纸 片 对 折，使 点 犅 与 点 犇重 合，此 时 点 犓 也 与 点 犇重 合（第 题（）设 犕 犓 犕 犇 狓，则 犃 犕 狓，由 勾 股 定 理，得 （狓）狓 解 得 狓 ，即 犕 犇 犖 犇 犛 犕 犖 犓 犛 犖 犆 犓 情 况 二：如 图（），将 矩 形 纸 片 沿 对 角 线 犃 犆 对 折，此 时 折痕 为 犃 犆

63、（第 题（）设 犕 犓 犃 犓 犆 犓 狓，则 犇 犓 狓 同 理 可 得犕 犓 犖 犓 犛 犕 犖 犓 犕 犖 犓 的 面 积 最 大 值 为 （）连 结 犃 犆 犃 犅 犆 ，犃 犅 犅 犆 犃 犆 （第 题）犆 犇 犃 犇，犃 犇 犆 犇 犃 犆 犃 犇 犆 犇 犃 犅 ，犃 犅 犅 犆 犃 犅 犃 犅 犅 犆（）过 犆 作 犆 犉 犅 犈 于 犉 犅 犈 犃 犇，四 边 形 犆 犇 犈 犉 是 矩 形 犆 犇 犈 犉 犃 犅 犈 犅 犃 犈 ，犃 犅 犈 犆 犅 犉 ，犅 犃 犈 犆 犅 犉 犅 犃 犈 犆 犅 犉 犃 犈 犅 犉 犅 犈 犅 犉 犈 犉 犃 犈 犆 犇 （），（）选 择 过 点 犃 作 犃 犉 犅 犆，垂 足 为 犉，由 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 性质 知 犅 犉 犆 犉，犇 犉 犈 犉，犅 犉 犇 犉 犆 犉 犈 犉，即 犅 犇 犆 犈（第 题）